최근 수정 시각 : 2022-04-02 17:53:22

바이어슈트라스 분해 정리


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1. 개요2. 상세
2.1. 기본 인자2.2. 특정 영점을 갖는 전해석 함수의 존재 정리2.3. 바이어슈트라스 분해 정리
3. 계기4. 예시

1. 개요

Weierstrass factorization theorem

독일의 수학자 카를 바이어슈트라스가 정립한 바이어슈트라스 분해 정리 또는 바이어슈트라스 곱 정리는 전해석 함수(entire function)[1]가 영점을 포함한 무한곱으로 표기될 수 있다는 정리이다. 또한 모든 다항함수가 각근에서의 한 선형인수로 분해가 되므로 대수학의 기본 정리의 확장으로도 볼 수 있는 정리이다.

바이어슈트라스 분해 정리는 유리형 함수(meromorphic function)로까지 일반화하여 확장할 수 있으며, 유리형 함수가 세 가지 요소, 즉 함수의 극점 및 영점이 인수인 식, 0이 아닌 정칙함수(holomorphic function)[2]의 곱으로 나타낼 수 있다는 것을 보여준다.

또한 극점을 가진 함수를 유리형 함수의 무한합으로 표현하는 미타그레플레르 정리와 유사한 점이 있다.

2. 상세

정리에 앞서 기본 인자(elementary factor)를 짚고 넘어가야 한다. 대수학의 기본 정리를 전해석 함수로 확장하는 데에 아주 중요한 역할을 하기 때문.
정리에는 두 가지 형태가 있는데 하나는 특정 영점을 갖는 전해석 함수가 존재함을 보이는 정리이며 나머지 하나는 그 반대, 전해석 함수가 존재할 때 특정 영점을 인수로 갖는 무한곱으로 나타낼 수 있음을 보이는 정리이다. 보통 후자를 본 문서의 제목이기도 한 바이어슈트라스 분해 정리라고 한다.

2.1. 기본 인자

elementary factor. 주요 인자(primary factor)라고도 한다.
범자연수 [math(n)], [math(|z|<1)]에 대해 다음과 같이 기본 인자를 정의하자.
[math(E_n(z) = \begin{cases} 1-z && (n=0) \\ (1-z)\exp\left(\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{z^k}k\right) && (n\ge1)\end{cases})]
식을 잘 보면 [math(1-z = e^{\ln(1-z)})]이고 [math(\ln(1-z))]는 매클로린 전개에 의해
[math(\displaystyle \ln(1-z) = -\int\frac{{\rm d}z}{1-z} = -\int\sum_{n=0}^\infty z^n{\rm d}z = -\sum_{n=0}^\infty\frac{z^{n+1}}{n+1} = -\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}n)]
으로 나타낼 수 있으므로 [math(n\ge1)], [math(|z|<1)]일 때
[math(\displaystyle E_n(z) = (1-z)\exp\left(\sum_{k=1}^n\frac{z^k}k\right) = \exp\left(-\sum_{k=1}^\infty\frac{z^{n+k}}{n+k}\right))]
로도 나타낼 수 있음을 알 수 있다.

2.2. 특정 영점을 갖는 전해석 함수의 존재 정리

[math(a_n\ne0)]인 복소수 수열이 [math(|a_n|\to\infty)]이고, 정수 수열 [math(p_n)]이 모든 [math(r>0)]에 대해, [math(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac r{|a_n|}\right)^{1+p_n}<\infty)]를 만족할 때, 다음 함수
[math(\displaystyle f(z) = \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}\left(\frac z{a_n}\right))]
은 [math(a_n)]에서만 영점을 갖는 전해석 함수이다. 복소수 [math(z_0)]가 수열 [math(a_n)]에 [math(m)]개 있다면 함수 [math(f)]는 [math(z=z_0)]에서 다중도가 [math(m)]인 영점을 갖는다.

2.3. 바이어슈트라스 분해 정리

전해석 함수 [math(f)]에 관하여, 수열 [math(a_n\ne0)]이 [math(f)]의 영점이며, [math(m\ge0)]인 정수 [math(m)]에 대해 [math(\begin{cases} m>0 \Rightarrow f(0)=0 \\ m=0 \Rightarrow f(0)\ne0\end{cases})]이라고 하자. 정수 수열 [math(p_n)]과 전해석 함수 [math(g)]는 바이어슈트라스 분해 정리에 의해 다음과 같은 관계를 만족한다.
[math(\displaystyle f(z) = z^m e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}\left(\dfrac z{a_n}\right))]

3. 계기

대수학의 기본 정리의 결과로부터 2가지 사실을 알 수 있다.
  • 복소 평면에서의 유한 수열 [math(c_n)]에 관하여, [math(c_n)]이 영점인 다항식 [math(p(z))]가 존재하며, 그 꼴은 다음과 같다.
[math(\displaystyle p(z) = \prod_n(z-c_n))]
  • 복소 평면 내의 모든 다항함수는 [math(p(z))]는 [math(a\ne0)]인 상수, 영점 [math(c_n)]을 이용하여 다음과 같은 인수분해식으로 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle p(z) = a \prod_n(z-c_n))]

바이어슈트라스 분해 정리의 두 가지 형태는 위 사실을 전해석 함수로 확장한 것이라고 볼 수 있다. 이때 [math(c_n)]이 유한 수열이 아닐 경우 그 무한곱 [math(\displaystyle \prod_n(z-c_n))]은 수렴하지 않기 때문에 전해석 함수를 정의할 수 없고, 따라서 이를 보완하기 위한 추가적인 수학적 논리가 필요했다. 일반적으론 미리 정해진 영점 수열로부터 전해석 함수를 정의하거나, 대수학의 기본 정리에 의해 유도되는 영점으로 전해석 함수를 표현하는 것은 불가능하다.

이 경우 무한곱이 수렴하기 위한 필요조건은 [math((z-c_n))]과 같이 표현된 인수들이 [math(n\to\infty)]일 때 [math(1)]로 수렴하는 것이다. 따라서 주어진 점에서 [math(0)]이 되는 것은 물론, 그 점 이외에는 [math(1)]로 수렴하게 하면서 주어진 개수보다 많은 영점을 가지면 안 되는 조건을 모두 충족해야한다. 바이어슈트라스의 기본 인자 [math(E_n(z))]는 이 조건을 모두 충족하며 상기한 대수학의 기본 정리의 인수 [math((z-c_n))]과 똑같은 역할을 한다.

4. 예시

4.1. 삼각함수· 쌍곡선함수

삼각함수 · 쌍곡선함수
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[math(\begin{aligned} \displaystyle \sin{\pi}z &= \pi z \prod_{n\ne0}\left(1-\dfrac zn\right)e^{z/n} = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left\{1-\left(\dfrac zn\right)^2\right\} \\ \cos{\pi}z &= \prod_{q=2n+1,\,n\in\mathbb Z}\left(1-\dfrac{2z}q\right)e^{2z/q} = \prod_{n=1}^\infty \left\{1-\left(\dfrac {2z}{2n-1}\right)^2\right\} \\ \sinh\,z & = z \prod_{n=1}^\infty \left\{1+\left(\dfrac {z}{nπ}\right)^2\right\} \end{aligned})][3]

4.2. 감마 함수

감마 함수 [math(\Gamma(z))]에 관하여, [math(f(z) = \dfrac1{\Gamma(z)})]일때,
[math(\displaystyle \dfrac1{\Gamma(z)}=e^{\gamma z}z \prod_{n=1}^\infty\left(1+\dfrac zn\right)e^{-z/n})]

여기서 [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이다.

4.2.1. 증명 방법

바이어슈트라스는 감마함수의 단순항꼴을 정리해서 오일러-마스케로니 상수값을 가진, 새로운 감마함수의 형태를 증명했다.
[math(\displaystyle \Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^z}{\displaystyle \prod_{i=0}^n (z+i)})]
에서 [math(n^z = e^{\ln n^z} = e^{z\ln n})]이고, [math(\displaystyle \prod_{i=0}^n (z+i) = z \prod_{i=1}^n (z+i))] 이므로,
[math(\begin{aligned}\displaystyle \Gamma(z) &= \lim_{n\to\infty}\frac{n!\,e^{z\ln n}}{z\displaystyle \prod_{i=1}^n (z+i)} = \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{n!\,e^{z\ln n}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left\{ i \left(1+\dfrac zi \right) \right\}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{\cancel{n!}\,e^{z \ln n}}{\displaystyle \cancel{n!} \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)} = \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{e^{z \ln n}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)}\end{aligned})]
[math(\displaystyle \prod_{i=1}^n e^{\frac zi} = e^{z \sum\limits_{i=1}^n \frac1i})] 이므로, 위 식에 [math(1 = \dfrac{\displaystyle \prod_{i=1}^n e^{\frac zi}}{e^{z\sum\limits_{i=1}^n \frac1i}})]을 곱한다.
[math(\Gamma(z) = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{e^{z \ln n}}{e^{z \sum\limits_{i=1}^n \frac 1i}} \frac{\displaystyle \prod_{i=1}^n e^{\frac zi}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)} \\
= \lim_{n \to \infty} \frac 1z e^{z \left( \ln n - \sum\limits_{i=1}^n \frac 1i \right)} \prod_{i=1}^n \frac{e^{\frac zi}}{1+\dfrac zi} \\ = \frac 1z e^{-\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \frac{e^{\frac zn}}{1+\dfrac zn})]
이를 역수로 취하면, 바이어슈트라스 분해 정리의 기본꼴이 다음과 같이 나타난다.
[math(\displaystyle \dfrac1{\Gamma(z)}=e^{\gamma z}z \prod_{n=1}^\infty\left(1+\dfrac zn\right)e^{-z/n})]

4.2.2. 증명 방법 2

미타그레플레르 정리로 감마함수를 증명할수 있다. 자세한 건 미타그레플레르 정리 문서 참조.


[1] 복소평면의 모든 점에서 해석적, 즉 적분이 가능한 함수 [2] 연속이고, 멱급수로 쪼갤 수 있으며, 복소평면에서 미분이 가능한 함수. [3] sin 쌍곡선의 무한곱 분해는 [math(\sinh\,z = -i\sin\,iz)]을 활용해 구할수있다.