최근 수정 시각 : 2022-09-14 19:57:19

역삼각함수


파일:나무위키+유도.png  
아크사인은(는) 여기로 연결됩니다.
유튜버 아크사인에 대한 내용은 아크사인(유튜버) 문서
번 문단을
부분을
, 에 대한 내용은 문서
번 문단을
번 문단을
부분을
부분을
, 에 대한 내용은 문서
번 문단을
번 문단을
부분을
부분을
, 에 대한 내용은 문서
번 문단을
번 문단을
부분을
부분을
, 에 대한 내용은 문서
번 문단을
번 문단을
부분을
부분을
, 에 대한 내용은 문서
번 문단을
번 문단을
부분을
부분을
, 에 대한 내용은 문서
번 문단을
번 문단을
부분을
부분을
, 에 대한 내용은 문서
번 문단을
번 문단을
부분을
부분을
, 에 대한 내용은 문서
번 문단을
번 문단을
부분을
부분을
, 에 대한 내용은 문서
번 문단을
번 문단을
부분을
부분을
참고하십시오.
역삼각함수 관련 틀
[ 펼치기 · 접기 ]
초등함수
Elementary Functions
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px; word-break: keep-all"
대수함수 다항함수 ( 상수 · 1차 · 2차 · 3차 · 4차 · 추론 · 공식 ( 길이 · 넓이 ) · 소수생성) · 유리함수 · 무리함수
초월함수 지수함수( 확률밀도함수 · 허수지수함수 ) · 로그함수 ( 복소로그함수 ) · 삼각함수 · 역삼각함수 · 쌍곡선 함수 · 역쌍곡선 함수 }}}}}}}}}

특수함수
Special Functions
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="letter-spacing: -1px"
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px; word-break: keep-all"
적분 오차함수(error function)( 가우스 함수 · 가우스 적분 함수) · 베타 함수( 불완전 베타 함수) · 감마 함수( 불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수) · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수
미분방정식 르장드르 함수* · 구면 조화 함수 · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수
역함수 브링 근호 · 람베르트 [math(W)] 함수 · 역삼각함수
급수 제타 함수 · 후르비츠 제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 바이어슈트라스 타원 함수
정수론 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수
기타 헤비사이드 계단 함수 · 부호 함수 · 테트레이션( 무한 지수 탑 함수) · 집합 판별 함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수
* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. }}}}}}}}}}}}

삼각함수 · 쌍곡선함수
Trigonometric Functions · Hyperbolic Functions
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px; word-break: keep-all"
기본 개념 기하학{ 평면기하학( 삼각형 · 삼각비 · · 쌍곡선)} · 해석학{ 좌표계 · 복소평면 · 함수( 초월함수 · 특수함수)}
삼각함수 사인곡선( 위상수학자의 사인곡선) · 역함수 · 도함수 · 역도함수 · 관련 함수 · 삼각함수의 덧셈정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리 · 오일러 공식 · 푸리에 해석( 푸리에 변환) · 삼각 적분 함수 · 구데르만 함수 · 프레넬 적분 함수 · 디리클레 함수 · 볼테라 함수 · 에어리 함수 · 야코비 타원 함수
쌍곡선함수 현수선 · 쌍곡선 적분 함수 · 구데르만 함수 }}}}}}}}}

1. 개요2. 상세3. 표기법4. 항등식5. 그래프6. 도함수7. 역도함수
7.1. 특수 적분
8. 무한급수9. 기타 논의
9.1. 역삼각함수를 이용한 삼각방정식의 풀이9.2. 역삼각함수를 이용한 각 찾기9.3. 역삼각함수와 삼각함수의 합성함수9.4. 이변수함수 꼴
10. 복소수 관련
10.1. 오일러 공식을 이용한 역삼각함수 다시 쓰기10.2. 복소평면 상 역삼각함수의 그래프
11. 기타12. 관련 문서

1. 개요

inverse trigonometric function ·

삼각함수[1]을 입력받아 그 각에 대한 삼각비의 값을 출력하는 함수이다. 그것에 대한 역함수, 곧 삼각함수의 값을 입력받아 그 값에 해당하는 각을 출력하는 함수를 생각할 수 있고, 그것을 역삼각함수라 한다.

호도법에서는 단위원을 기준으로 각의 크기가 의 길이가 되기 때문에 호를 의미하는 접두사 [math(\text{arc-})]가 본래 함수의 명칭 앞에 붙는다.

2. 상세

삼각함수는 주기함수이기 때문에 일대일대응이 아니어서 역함수를 정의할 수 없다. 하지만 정의역을 제한하여 일대일 대응으로 만들면 역함수를 정의할 수 있게 된다.

이 문제를 쉽게 생각하기 위해 [math(\sin{\theta}=a)] (단, [math(|a| \geq 1)])의 방정식을 고려해보자. 이 삼각방정식의 해가 무한히 존재하는 것은 일반해의 개념을 논의하면서 보았다. 이 뜻은 한 [math(a)]의 값에 대하여 [math(\theta)] 값이 여러개 존재한다는 의미가 되는데 역삼각함수는 [math(a)]의 값에 대하여 [math(\theta)]의 값을 출력하는 함수임을 고려해보면 하나의 정의역의 원소에 대응되는 값이 여러개 존재한다는 의미가 되어 일정 조건을 걸지 않으면 역삼각함수는 함수가 될 수 없다.

하지만 일종의 제약 즉, [math(\theta)] 값을 가질 수 있는 영역을 제한한다면 일대일대응이 되어 함수가 될 수 있다. 이 제한한 영역을 주욧값(principal value)이라 한다.

각 역삼각함수의 정의역과 치역(주욧값)을 나열해보면 아래와 같다.
역삼각함수 정의역 치역
[math(\boldsymbol{y=\arcsin{x}})] [math(-1 \leq x \leq 1 )] [math(|y| \leq \dfrac{\pi}{2})]
[math(\boldsymbol{y=\arccos{x}})] [math(0 \leq y \leq \pi)]
[math(\boldsymbol{y=\mathbf{arcsec}\,{x}})] [math(x \geq 1)] 또는 [math(x \leq -1)] [math(0 \leq y <\dfrac{\pi}{2})] 또는 [math(\dfrac{\pi}{2} < y \leq \pi)][2]
[math(\boldsymbol{y=\mathbf{arccsc}\,{x}})] [math(-\dfrac{\pi}{2} \leq y <0)] 또는 [math(0 < y \leq \dfrac{\pi}{2})][3]
[math(\boldsymbol{y=\mathbf{arctan}\,{x}})] 실수 전체 [math(|y| <\dfrac{\pi}{2})]
[math(\boldsymbol{y=\mathbf{arccot}\,{x}})] [math(0<y<\pi)]

아크 사인, 아크 탄젠트, 아크 코시컨트, 아크 코탄젠트는 원점 대칭인 홀함수이다. 즉, 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned} \arcsin x &= -\arcsin \left(-x\right) \\ \arctan x &= -\arctan \left(-x\right) \\ \mathrm{arccsc}\,x &= -\mathrm{arccsc} \left(-x\right) \\ \mathrm{arccot}\,x &= -\mathrm{arccot} \left(-x\right) \end{aligned})]

반면에 아크 코사인, 아크 시컨트는 원래 함수가 짝함수인 관계로 음함수가 되는 것을 회피하기 위해 [math(x)]축 아래를 버렸으므로 홀함수도 짝함수도 아니며, 다음이 성립한다.

[math( \begin{aligned} \arccos{(-x)}&=\pi-\arccos{x} \\ \operatorname{arcsec}{(-x)}&=\pi-\operatorname{arcsec}{x} \end{aligned} )]

3. 표기법

학자, 교재, 프로그래밍 언어 마다 그 표기법이 달라 주의를 요한다. 예를 들어 아크 사인의 경우 [math(\operatorname{asin}{x})], [math(\operatorname{arcsin}{x})], [math(\sin^{-1}{x})] 등의 방법으로 표기한다. 다만 수학계가 권장하는 것은 접두사 [math(\text{arc-})]를 붙인 형태이며, -1을 첨자로 올린 방식은 제곱 표기와 혼동될 수 있어 그다지 권장하지 않는다. 따라서 해당문서에서는 수학계가 권장하는 방식인 접두사 [math(\text{arc-})]를 붙인 형태만 서술한다.

4. 항등식

  • [math(\arcsin{x}+\arccos{x}=\dfrac{\pi}{2})]
  • [math(\operatorname{arcsec}{x}+\operatorname{arccsc}{x}=\dfrac{\pi}{2})]
  • [math(\arctan{x}+\operatorname{arccot}{x}=\dfrac{\pi}{2})]
  • [math(\arccos{\biggl(\dfrac{1}{x} \biggr)}=\operatorname{arcsec}{x})]
  • [math(\arcsin{\biggl(\dfrac{1}{x} \biggr)}=\operatorname{arccsc}{x})]
  • [math(\operatorname{arcsec}{\biggl(\dfrac{1}{x} \biggr)}=\arccos{x})]
  • [math(\operatorname{arccsc}{\biggl(\dfrac{1}{x} \biggr)}=\arcsin{x})]
  • [math(\arctan{\biggl( \dfrac{1}{x}\biggr)}=\begin{cases}\operatorname{arccot}{x} \quad & (x>0)\\ \operatorname{arccot}{x}-\pi \quad & (x<0) \end{cases})]
  • [math(\operatorname{arccot}{\biggl( \dfrac{1}{x}\biggr)}=\begin{cases}\arctan{x} \quad & (x>0)\\ \arctan{x}+\pi \quad & (x<0) \end{cases})]
  • [math(\sin{(\arccos{x})}=\sqrt{1-x^{2}})]
  • [math(\cos{(\arcsin{x})}=\sqrt{1-x^{2}})]
  • [math(\sec{(\arctan{x})}=\sqrt{1+x^{2}})]
  • [math(\tan{(\operatorname{arcsec}{x})}=\sqrt{x^{2}-1})]
  • [math(\tan{(\operatorname{arcsin}{x})}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}})]
  • [math(\cos{(\operatorname{arctan}{x})}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}})]
  • [math(\arcsin{x} \pm \arcsin{y}=\arcsin{(x \sqrt{1-y^{2}} \pm y \sqrt{1-x^{2}})})]
  • [math(\arccos{x} \pm \arccos{y}=\arccos{(xy \mp \sqrt{1-x^{2}}\sqrt{1-y^{2}})})]
  • [math(\arctan{x} \pm \arctan{y}=\arctan{\biggl( \dfrac{x \pm y}{1 \mp xy} \biggr )})]

5. 그래프


파일:namu_각종_역삼각함수_그래프_수정.svg

본래의 삼각함수와 역함수 관계에 있기 때문에 해당 그래프들을 [math(y=x)]에 대하여 대칭하면 삼각함수의 그래프와 일치하게 된다. 상술했듯 정의역의 범위를 제한했으므로, 아크 탄젠트와 아크 코탄젠트를 제외하면 실수의 진부분집합에 대해서만 그래프가 나타난다.

한편, 아크 탄젠트와 아크 코탄젠트와 같은 개형의 그래프를 시그모이드라고 한다.

6. 도함수

  • [math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\arcsin x) = \dfrac1{\sqrt{1-x^2}})]
  • [math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\arccos x) = -\dfrac1{\sqrt{1-x^2}})]
  • [math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\arctan x) = \dfrac1{1+x^2})]
  • [math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\mathrm{arcsec}\,x) = \dfrac1{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}})]
  • [math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\mathrm{arccsc}\,x) = -\dfrac1{\left|x\right|\sqrt{x^2-1}})]
  • [math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\mathrm{arccot}\,x) = -\dfrac1{1+x^2})]

미분 형태에서 볼 수 있듯 제곱근 함수의 역수꼴이어서 삼각치환에서 자주 볼 수 있다.

부호는 삼각함수의 도함수와 같다.

[도함수 유도하기]
------
[1] 아크 사인
[math(\displaystyle \begin{aligned} y=\arcsin{x} \quad \Leftrightarrow \quad x=\sin{y} \end{aligned} )]
이므로 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} 1=\cos{y}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \quad \to \quad \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{1}{\cos{y}} \end{aligned} )]
한편, [math(\cos{y}=\sqrt{1-\sin^{2}{y}})]인데, 부호를 양으로만 선택한 것은 아크 사인의 치역 [math(-\pi/2 \leq y \leq \pi/2)]때문이다. 그런데, [math(x=\sin{y})]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\arcsin{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} }} \end{aligned} )]

[2] 아크 코사인
아크 사인 비슷한 과정을 거쳐 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\arccos{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} }} \end{aligned} )]

[3] 아크 탄젠트
[math(\displaystyle \begin{aligned} y=\arctan{x} \quad \Leftrightarrow \quad x=\tan{y} \end{aligned} )]
이므로 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} 1=\sec^{2}{y}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \quad \to \quad \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{1}{\sec^{2}{y}} \end{aligned} )]
한편, [math(\sec^{2}{y}=1+\tan^{2}{y})]이고, [math(x=\tan{y})]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\arctan{x})=\frac{1}{1+x^{2}} \end{aligned} )]

[4] 아크 시컨트
[math(\displaystyle \begin{aligned} y=\operatorname{arcsec}{x} \quad \Leftrightarrow \quad x=\sec{y} \end{aligned} )]
이므로 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} 1=\sec{y}\tan{y}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \quad \to \quad \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac{1}{\sec{y}\tan{y}} \end{aligned} )]
한편, 치역에 따라
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{y}= \begin{cases} \sqrt{\sec^{2}{y}-1} \quad & \left( 0<y \leq \dfrac{\pi}{2} \right) \\ \\ -\sqrt{\sec^{2}{y}-1} \quad & \left( \dfrac{\pi}{2}<y \leq \pi \right) \end{cases} \end{aligned} )]
이고, [math(x=\sec{y})]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{y}= \begin{cases} \sqrt{x^{2}-1} \quad & ( x \geq 0 ) \\ \\ -\sqrt{x^{2}-1} \quad & (x<0) \end{cases} \end{aligned} )]
이상에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\operatorname{arcsec})= \begin{cases} \dfrac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}} \quad & ( x \geq 0 ) \\ \\ \dfrac{1}{-x\sqrt{x^{2}-1}} \quad & (x<0) \end{cases} \end{aligned} )]
한편 이것을 한 번에 쓰기 위해서 절댓값의 특성을 고려하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\operatorname{arcsec}{x})= \dfrac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}} \end{aligned} )]
을 얻는다.

[5] 아크 코시컨트
아크 시컨트와 비슷한 과정을 거쳐 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\operatorname{arccsc}{x})= - \dfrac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}} \end{aligned} )]

[6] 아크 코탄젠트
아크 탄젠트와 비슷한 과정을 거쳐 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\operatorname{arccot}{x})= -\frac{1}{1+x^{2}} \end{aligned} )]

7. 역도함수

  • [math(\displaystyle \int \arcsin x\,{\mathrm{d}x} = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+{\textsf{const.}})]
  • [math(\displaystyle \int \arccos x\,{\mathrm{d}x} = x \arccos x - \sqrt{1-x^2}+{\textsf{const.}})]
  • [math(\displaystyle \int \arctan x\,{\mathrm{d}x} = x \arctan x - \frac12\ln\,(x^2+1)+{\textsf{const.}})]
  • [math(\displaystyle \int \mathrm{arcsec}\,x\,{\mathrm{d}x} = x\,\mathrm{arcsec}\,x - \mathrm{sgn}\,x \ln\,(x+\sqrt{x^2-1})+{\textsf{const.}})]
  • [math(\displaystyle \int \mathrm{arccsc}\,x\,{\mathrm{d}x} = x\,\mathrm{arccsc}\,x + \mathrm{sgn}\,x \ln\,(x+\sqrt{x^2-1})+{\textsf{const.}})]
  • [math(\displaystyle \int \mathrm{arccot}\,x\,{\mathrm{d}x} = x\,\mathrm{arccot}\,x + \frac12\ln\,(x^2+1)+{\textsf{const.}})]

부분적분을 활용하여 증명할 수 있다.

여기서 [math(\mathrm{sgn}\,x)]는 부호 함수이고, [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다.

7.1. 특수 적분

  • [math(\displaystyle \int \frac{\arcsin x}{x} \,{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{2} [2 \ln{(-e^{2i \arcsin x} + 1 )} - i \arcsin x] - \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 (e^{2i \arcsin x}) +{\textsf{const.}})]
  • [math(\displaystyle \int \frac{\arccos x}{x} \,{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{2} [2 \ln{(e^{2i \arccos x} + 1 )} - i \arccos x ] - \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 (e^{2i \arccos x} ) +{\textsf{const.}})]
  • [math(\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x} \,{\mathrm{d}x} = \frac{i}{2} [ \mathrm{Li}_2 ( -ix ) - \mathrm{Li}_2 (ix ) ] +{\textsf{const.}})]
  • [math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{arcsec}\,x}{x} \,{\mathrm{d}x} = \frac{i}{2} \mathrm{arcsec}\,x (2i \ln (e^{2i\, \mathrm{arcsec}\,x} + 1 ) + \mathrm{arcsec}\,x ) + \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 (-e^{2i \,\mathrm{arcsec}\,x} ) +{\textsf{const.}})]
  • [math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{arccsc}\,x}{x} \,{\mathrm{d}x} = \frac{i}{2} \mathrm{arccsc}\,x (2i \ln (-e^{2i\, \mathrm{arccsc}\,x} + 1 ) + \mathrm{arccsc}\,x ) + \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2 (e^{2i\, \mathrm{arccsc}\,x} ) +{\textsf{const.}})]
  • [math(\displaystyle \int \frac{\mathrm{arccot}\,x}{x} \,{\mathrm{d}x} = -\frac{i}{2} \left[ \mathrm{Li}_2 \biggl( -\frac{i}{x} \biggr) - \mathrm{Li}_2 \biggl(\frac{i}{x} \biggr) \right] +{\textsf{const.}})]

여기서 [math(\mathrm{Li}_2)]는 폴리로그함수이고, [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다.

8. 무한급수

아크 사인 생성함수
  • [math(\displaystyle \arcsin{z}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{z^{2n+1}}{2n+1} \quad (|z| \leq 1))]
[math(x!!)]는 이중계승이다.

아크 탄젠트 생성함수 또는 그레고리 급수(Gregory Series)
  • [math(\displaystyle \arctan{z}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{2n+1}z^{2n+1} \quad (|z| \leq 1) )]

9. 기타 논의

9.1. 역삼각함수를 이용한 삼각방정식의 풀이

삼각함수 문서에서 삼각방정식의 한 특수해를 [math(\xi)], [math(a)], [math(b)]는 상수, [math(|a| \leq 1)], [math(n)]을 임의의 정수라 할 때 각 방정식의 일반해는 다음과 같음을 논의했다.
방정식 일반해
[math(\boldsymbol{\sin{x}=a})] [math(x=n\pi+(-1)^{n}\xi)]
[math(\boldsymbol{\cos{x}=a})] [math(x=2n\pi \pm \xi)]
[math(\boldsymbol{\tan{x}=b})] [math(x=n\pi+\xi)]
이 성립함을 보였다. 그런데 역삼각함수의 정의를 생각하면, 한 특수해를 역삼각함수로 사용해도 된다는 것을 알 수 있다. 따라서
방정식 일반해
[math(\boldsymbol{\sin{x}=a})] [math(x=n\pi+(-1)^{n}\arcsin{a})]
[math(\boldsymbol{\cos{x}=a})] [math(x=2n\pi \pm \arccos{a})]
[math(\boldsymbol{\tan{x}=b})] [math(x=n\pi+\arctan{b})]

주의해야 할 것은 특정 구간에 대한 특수해를 구할 때인데, 역삼각함수는 치역이 정해져있어 구하는 구간이 치역과 동일한 경우를 제외하곤 방정식 [math(\sin{x}=a)], [math(\cos{x}=a)], [math(\tan{x}=b)]의 해를 [math(x=\arcsin{a})], [math(x=\arccos{a})], [math(x=\arctan{b})]로 단정해선 안된다. 이 경우 일반해에서 적당한 정수를 대입해 해당 구간 내에 해가 존재하도록 맞춰줘야 한다.

9.2. 역삼각함수를 이용한 각 찾기

윗 문단에서도 논의했지만 역삼각함수는 치역이 제한되어 있어, 어떤 삼각함수의 값을 대입한다고 해서 원하는 각이 얻어지는 것은 아니다. 따라서 윗 문단과 같이 일반해를 이용하여 조건에 맞는 각을 찾아야 한다.
오일러 공식을 이용해서 다시 쓴 역삼각함수를 이용해도 되지만, 환원 불능(casus irreducibilis)[4]이 될 수 있으므로 주의하는 것이 좋다.

9.3. 역삼각함수와 삼각함수의 합성함수

이 문단에서는 역삼각함수와 삼각함수의 합성함수 [math(\arcsin{(\sin{x})})]같은 꼴을 분석해본다.

[1] [math(\boldsymbol{\arcsin{(\sin{x})}})]
얼핏 생각하기엔 역함수와 본 함수를 합성한 것이어서 [math(\arcsin{(\sin{x})}=x)]라고 생각할 수 있다. 하지만 이것이 성립하는 것은 닫힌 구간 [math([-\pi/2,\,\pi/2])]에서만 성립한다. 그 이유는 아크 사인 함수의 치역때문으로 해당 구간을 넘어서면 역삼각함수의 치역에서 벗어나기 때문이다.

일단 가장 쉬운 단서를 파악해보자. 합성함수여도 역삼각함수의 일종이기에 [math(-\pi/2 \leq \arcsin{(\sin{x})} \leq \pi/2)]를 만족할 것이다. 또, 치역 내의 값이 함숫값으로 나오는 [math(x)]값의 구간에 대해선 [math(\arcsin{(\sin{x})}=x)]로 쓸 수 있을 것이다. 그렇기 때문에 구간을
[math(\displaystyle \begin{aligned} -\frac{\pi}{2}+n \pi \leq x \leq \frac{\pi}{2}+n \pi \quad \cdots \,(\ast) \end{aligned} )]
으로 나누어보자. 그런데 삼각함수는 각 변수의 변형이 가능하다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{x}=\sin{ \{(-1)^{n}(x-n \pi) \} } \end{aligned} )]
이므로 해당 구간에서 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \arcsin{(\sin{x})}=\arcsin{[\sin{ \{(-1)^{n}(x-n \pi) \} }]}\end{aligned} )]
이때 [math((\ast))]식을 약간 변형하면,
[math(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\leq (-1)^{n}(x+n \pi) \leq \dfrac{\pi}{2} )]
이므로 바뀐 변수에 대해선 아크 사인 함수의 치역을 만족시키므로
[math(\displaystyle \arcsin{(\sin{x})}=(-1)^{n}(x-n \pi) \quad \left(-\frac{\pi}{2}+n \pi \leq x < \frac{\pi}{2}+n \pi \right) )]

[2] [math(\boldsymbol{\arccos{(\cos{x})}})]
[1]과 비슷한 방법으로 구간을
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0+2n \pi & \leq x \leq \pi+2n \pi \end{aligned} )]
로 잡아보자. 코사인 또한 각 변수의 변형이 가능하다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{x}=\cos{(x-2n \pi)} \end{aligned} )]
변형된 각 변수는
[math(\displaystyle 0 \leq x-2n \pi \leq \pi )]
으로 아크 코사인 함수의 치역을 만족시킨다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \arccos{(\cos{x})}=x-2n \pi \quad (2n \pi \leq x \leq (2n+1)\pi ) \end{aligned} )]
하지만 이것은 반만 구한 것으로 이번엔 구간
[math(\displaystyle \begin{aligned} (2n-1)\pi \leq x \leq 2n\pi \end{aligned} )]
으로 잡고, 각 변수 변환
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{x}=\cos{(x-2n \pi)} \end{aligned} )]
을 이용하면 변환된 각변수는
[math(\displaystyle -\pi \leq x-2n \pi \leq 0 )]
여기서 한 번 더 각 변수를 변형하는데,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{x}=\cos{(x-2n \pi)}=\cos{(2n \pi-x)} \end{aligned} )]
을 이용하면 변환된 각변수는
[math(\displaystyle 0 \leq 2n \pi-x \leq \pi )]
로 아크 코사인 함수의 치역을 만족시키게 된다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \arccos{(\cos{x})}=2n \pi -x \quad (2(n-1) \pi \leq x \leq 2n\pi ) \end{aligned} )]
한 번에 그 결과를 나타내면,
[math(\displaystyle \arccos{(\cos{x})}=\begin{cases}2n \pi -x & \quad ((2n-1)\pi \leq x < 2n\pi) \\ x-2n\pi & \quad (2n\pi \leq x < (2n+1) \pi ) \end{cases} )]

[3] [math(\boldsymbol{\arctan{(\tan{x})}})]
[1]과 비슷한 방법을 적용한다. 구간을
[math(\displaystyle \begin{aligned} -\dfrac{\pi}{2} -n \pi \leq x \leq \dfrac{\pi}{2} -n \pi \end{aligned} )]
으로 나누고,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{x}=\tan{(x+n\pi)} \end{aligned} )]
으로 각 변수를 치환하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} -\dfrac{\pi}{2} \leq x+n\pi \leq \dfrac{\pi}{2} \end{aligned} )]
로 아크 탄젠트 함수의 치역을 만족하므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \arctan{(\tan{x})}=x+n \pi \quad \left( -\dfrac{\pi}{2} -n \pi < x < \dfrac{\pi}{2} -n \pi \right) \end{aligned} )]
이다.

[4] 그래프
위에서 논의한 함수들의 그래프는 다음과 같다.

파일:namu_삼각함수_역삼각함수_합성.svg

각 함수는 역삼각함수의 치역 내에서 진동하는 형태를 띄며, 아크 사인과 아크 코사인 함수는 삼각파 형태를, 아크 탄젠트 함수는 톱니파 형태를 띈다.

9.4. 이변수함수 꼴

역삼각함수 중에서 이변수함수로 정의되는 함수도 있다.
[math(\displaystyle \operatorname{atan2}{(y,\, x)} = \begin{cases}
\arctan\left(\dfrac y x\right) & \quad (x > 0) \\ \\
\arctan\left(\dfrac y x\right) + \pi & \quad (y \ge 0,\; x < 0) \\ \\
\arctan\left(\dfrac y x\right) - \pi & \quad (y < 0,\; x < 0) \\ \\
\dfrac{\pi}{2} & \quad (y > 0,\; x = 0) \\ \\
-\dfrac{\pi}{2} & \quad (y < 0,\; x = 0) \\ \\
\textsf{undefined} & \quad (y = 0,\; x = 0)
\end{cases} )]
이 함수의 결과값으로 복소수 [math(x+iy)]의 편각을 알 수 있다.

10. 복소수 관련

10.1. 오일러 공식을 이용한 역삼각함수 다시 쓰기

일반적인 삼각함수는 오일러의 공식을 이용해서 복소평면상에서 정의할 수 있고, 이렇게 확장하면 역함수를 정의하기가 용이하다.
  • [math(\arcsin z = -i\ln\,(iz+\sqrt{1-z^2}))]
  • [math(\arccos z = -i\ln\,(z+\sqrt{z^2-1}))]
  • [math(\arctan z = \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i+z}{i-z}\right)})]
  • [math( \mathrm{arcsec}\,z = -i\ln{\biggl(\dfrac1z+\sqrt{\dfrac1{z^2}-1}\biggr)})]
  • [math(\mathrm{arccsc}\,z = -i\ln{\biggl(\dfrac iz+\sqrt{1-\dfrac1{z^2}}\biggr)})]
  • [math(\mathrm{arccot}\,z = \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{z-i}{z+i}\right)})]

[유도하기]
------
오일러의 공식 [math(e^{ix}=\cos x+i\sin x)]를 이용한다.
[math(\begin{aligned}\cos x &= \dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}2 = \dfrac{e^{2ix}+1}{2e^{ix}} \\ \sin x &= \dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} = \dfrac{e^{2ix}-1}{2ie^{ix}}\end{aligned})]
각 식은 [math(e^{ix})]에 대한 2차 방정식과 같으므로 다음과 같이 변형한 뒤 근의 공식을 적용하고 자연로그를 취하면 [math(x)]를 [math(\cos x)], [math(\sin x)]로 나타낼 수 있게 된다.
[math(\begin{aligned} (e^{ix})^2 &- 2\cos xe^{ix} + 1=0 \\ e^{ix} &= \cos x \pm \sqrt{\cos^2x-1} \\ x &= -i\ln\,(\cos x \pm \sqrt{\cos^2x-1}) \\ \\ (e^{ix})^2 &- 2i\sin xe^{ix} -1 = 0 \\ e^{ix} &= i\sin x \pm \sqrt{1-\sin^2x} \\ x &= -i\ln\,(i\sin x \pm \sqrt{1-\sin^2x}) \end{aligned})]
[math(\cos x = z)]라 놓으면 [math(x = \arccos z)]이며, 마찬가지로 [math(\sin x = z)]라 놓으면 [math(x = \arcsin z)]이므로
[math(\begin{aligned} \arccos z &= -i\ln\,(z \pm \sqrt{z^2-1}) \\ \arcsin z &= -i\ln\,(iz \pm \sqrt{1-z^2}) \end{aligned})]
각 식에서 부호가 2개씩 얻어지는데, 미분했을 때 우리가 알고 있는 도함수의 꼴이 나오는 쪽을 취한다.
[math( \begin{aligned} \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(\arccos z) &= \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\{-i\ln\,(z \pm \sqrt{z^2-1})\} \\&= -i\dfrac{1\pm\dfrac z{\sqrt{z^2-1} }}{z\pm\sqrt{z^2-1}} \\&= -i\dfrac{\dfrac{\sqrt{z^2-1}\pm z}{\sqrt{z^2-1} }}{z\pm\sqrt{z^2-1}} \\&= \mp i\dfrac1{\sqrt{z^2-1}} \\ &= \mp i\dfrac1{i\sqrt{1-z^2}} \\&= \mp\dfrac1{\sqrt{1-z^2}} \\ \\ \therefore \arccos z &= -i\ln\,(z+\sqrt{z^2-1}) \end{aligned})]

또한
[math(\begin{aligned} \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(\arcsin z) &= \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\{-i\ln\,(iz \pm \sqrt{1-z^2})\} \\&= -i\dfrac{i\mp\dfrac z{\sqrt{1-z^2} }}{iz\pm\sqrt{1-z^2}} \\&= -i\dfrac{\dfrac{i\sqrt{1-z^2}\mp z}{\sqrt{1-z^2} }}{iz\pm\sqrt{1-z^2}} \\& = -i\dfrac{\pm i}{\sqrt{1-z^2}}\\&=\pm\dfrac1{\sqrt{1-z^2}} \end{aligned})]
따라서
[math( \arcsin z = -i\ln\,(iz+\sqrt{1-z^2}))]

또한 복소수 [math(z = re^{i\theta})]에서 편각 [math(\arg z = \theta)]의 범위를 구간 [math((-\pi,~\pi])]로 잡으면 [math(\ln i = \ln e^{i\pi/2 } = i\pi/2)]이므로
[math(\begin{aligned} \arccos z &= -i\ln\,(z+\sqrt{z^2-1}) \\& = -i\ln\,\{i(-iz+\sqrt{1-z^2})\} \\& = -i\{\ln i + \ln\,(-iz+\sqrt{1-z^2})\} \\ &= -i\ln i - i\ln\,(-iz+\sqrt{1-z^2}) \\& = -i^2\frac\pi2 + i\ln\frac1{-iz+\sqrt{1-z^2}} \\& = \frac\pi2 + i\ln\,(iz+\sqrt{1-z^2}) \\ &= \frac\pi2 - \arcsin z \end{aligned})]
가 되어 실수 범위의 함수에서 성립하던 성질도 여전히 유효함을 알 수 있다.

[math(\arctan x)]의 경우 도함수를 적분함으로써 유도할 수 있다.
[math(\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan x &= \dfrac1{1+x^2} \\&= \dfrac1{(x+i)(x-i)} \\&= \dfrac1{2i}\dfrac1{x-i}-\dfrac1{x+i} \end{aligned})]
이므로
[math(\displaystyle \arctan x = \int \frac1{2i}\biggl(\dfrac1{x-i}-\dfrac1{x+i}\biggr)\mathrm{d}x = \frac1{2i}\ln\,\biggl|\frac{x-i}{x+i}\biggr| + {\textsf{const.}})]
여기서 치역이 주욧값의 범위를 취한다고 하면, [math(\arctan 0 = 0)]이므로 절댓값을 벗겨서
[math(\begin{aligned}\arctan x &= \dfrac1{2i}\ln{\left(\dfrac{i-x}{i+x}\right)} \\ &= -\dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i-x}{i+x} \right)} \\ &= \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i+x}{i-x} \right)}\end{aligned})]
[math(\sec z = x)]라 놓으면 [math(\cos z = x^{-1})]이므로 [math(z = \mathrm{arcsec}\,x = \arccos{x^{-1}})], 즉
[math(\mathrm{arcsec}\,z = \arccos{z^{-1}} = -\ln\,(z^{-1}+\sqrt{z^{-2}-1}))]
같은 방식으로
[math(\begin{aligned} \mathrm{arccsc}\,z &= \arcsin\dfrac1z \\&= -i\ln\,\biggl(\dfrac iz+\sqrt{1-\dfrac1{z^2}}\biggr) \\ \\ \mathrm{arccot}\,z &= \arctan\dfrac1z = \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i+\dfrac1z}{i-\dfrac1z} \right)} \\&= \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{zi+1}{zi-1}\right)} \\&= \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{z-i}{z+i}\right)}\end{aligned})]
을 얻는다.

이 식은 삼각함수를 복소평면으로 확장해도 성립한다. 주의해야할 점은 [math(\arctan z)]와 [math(\mathrm{arccot}\,z)]인데
[math(\begin{aligned} \dfrac\pi2 - \arctan z &= \dfrac\pi2 - \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i+z}{i-z}\right)} \\& = \dfrac\pi2 + \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i-z}{i+z}\right)} \\ &= \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i-z}{i+z} - \pi i \right)} \\&= \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i-z}{i+z}e^{-\pi i} \right)}\\& = \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{i-z}{i+z}\cdot -1\right)} \\ &= \dfrac i2\ln{\left(\dfrac{z-i}{z+i}\right)} \end{aligned})]
이렇게 실수 함수에서 성립했던 성질을 유도하려면 편각 [math(\arg z)]의 범위를 [math((-\pi,~\pi])]에서 [math([-\pi,~\pi))]로 재조정해야한다는 문제점이 있다. 즉 편각의 주욧값 [math((-\pi,~\pi])] 범위로는 저 관계가 유도가 안 된다. 그냥 [math(\arctan z + \mathrm{arccot}\,z)]를 계산만 해줘도 알 수 있는데 결과값 [math( i\ln\,(-1)/2)]에서 주욧값 범위로는 [math(\ln\,(-1) = \pi i)]이므로 식의 결과가 [math(\pi/2)]가 아닌 [math(-\pi/2)]가 나온다는 것을 알 수 있다.

의외의 사실로 저 정의를 통해 유리수 삼각비[5]에 대응하는 각도를 구할 수 있다.

10.2. 복소평면 상 역삼각함수의 그래프

파일:Complex_arcsin.jpg 파일:Complex_arccos.jpg 파일:Complex_arctan.jpg
[math(\arcsin z)] [math(\arccos z)] [math(\arctan z)]
파일:Complex_ArcSec.jpg 파일:Complex_ArcCsc.jpg 파일:Complex_ArcCot.jpg
[math(\operatorname{arcsec} z)] [math(\operatorname{arccsc} z)] [math(\operatorname{arccot} z)]

11. 기타

  • 위에서 구구절절 설명이 길었지만, 사실 개념 자체는 삼각비를 배울 때부터 함께 따라다녔다고 봐도 과언이 아니다. 가장 단적인 예가 삼각 방정식인데, 직각삼각형의 변 길이가 모두 주어졌을 때 각도[6]를 구하는 과정에서 (구체적으로는 무엇인지 아직 모르는 상태이지만) 역삼각함수를 생각하고 있다고 볼 수 있다.
  • 원주율의 근본에 밀접한 함수이기 때문에 원주율 계산에 사용되기도 한다.
  • 나무위키 상에서 [math(TeX)]을 이용하여 [math(\operatorname{arcsec}{x})], [math(\operatorname{arccsc}{x})], [math(\operatorname{arccot}{x})]를 입력하려면 각각 \operatorname{arcsec}{x}, \operatorname{arccsc}{x}, \operatorname{arccot}{x}로 입력한다. 이 외에도 \(연산자 명)이 지원되지 않는 함수들은 \operatorname{(연산자 명)}을 이용한다.[7]
  • 경사도 밑변 분의 높이 비율 분율( %, )로 표기하는데, 이를 각도로 나타내기 위해 역삼각함수를 사용할 수 있다.

12. 관련 문서




파일:CC-white.svg 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 문서의 r593에서 가져왔습니다. 이전 역사 보러 가기
파일:CC-white.svg 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 다른 문서에서 가져왔습니다.
[ 펼치기 · 접기 ]
문서의 r593 ( 이전 역사)
문서의 r ( 이전 역사)



[1] 일반적으로 호도법으로 나타낸 각을 받는다. [2] 일부 사람들은 계산의 용의성을 이유로 [math(0 \leq y <\pi/2)] 또는 [math(\pi < y \leq 3\pi/2)]로 하기도 한다. [3] 일부 사람들은 계산의 용의성을 이유로 [math(-\pi \leq y <-\pi/2)] 또는 [math(0 < y \leq \pi/2)]로 하기도 한다. [4] 어떤 실수가 허수단위가 포함되게 표현되는 것. [5] [math(\{3,4,5\})] 같은 피타고라스 세 쌍으로 나타낼 수 있는 유리수 [6] 교과과정상 [math(30\degree)], [math(45\degree)], [math( 60\degree)]만 다루기는 하지만은. [7] \mathrm{(연산자 명)} 방법을 사용할 수 있으나 이 경우엔 변수와 연산자 명 사이가 자동으로 띄워지지 않으므로 \operatorname{(연산자 명)}을 사용하는게 맞다.