최근 수정 시각 : 2022-06-03 22:15:33

면적분

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1. 개요2. 스칼라장의 면적분3. 벡터장의 면적분4. 관련 문서

1. 개요

, surface integral

벡터 미적분에 등장하는 개념. 곡면에 대한 적분이다. 3차원 공간에 어떤 스칼라장 [math(f)] 또는 벡터장 [math(\mathbf{F})]를 곡면 [math(S)] 위에서 적분하는 것. 평범한 1차원 적분을 확장한게 선적분이라면, 2차원인 이중적분을 비슷하게 확장한 것이 이 면적분이다.

[math(\oiint)] 같이 적분기호에 고리가 있는 경우가 있는데, 적분 대상인 곡면이 닫혀 있다는 것을 뜻한다.[1]

2. 스칼라장의 면적분

곡면 [math(S)]에서 스칼라장 [math(f)]의 적분:
[math(\displaystyle \iint_S f \,\mathrm{d}S = \iint_{\Sigma} f(\mathbf{s}(u,\,v)) \left\|\frac{\partial\mathbf{s}}{\partial u} \times \frac{\partial\mathbf{s}}{\partial v}\right\| \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v)]
여기서 [math(\mathrm{d}S)]는 [math(S)]의 미소 면적, [math(\mathbf{s})]는 [math(S)]를 [math(uv)] 평면으로 매개화한 것, [math(\Sigma)]는 [math(S)]에 대응되는 [math(uv)] 평면의 일부분이다. 좌변은 면적분이며, 우변은 평범한 이중적분이다.

3. 벡터장의 면적분

곡면 [math(S)]에서 벡터장 [math(\mathbf{F})]의 적분:
[math(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_{\Sigma} \mathbf{F}(\mathbf{s}(u,\,v)) \cdot \!\left(\frac{\partial\mathbf{s}}{\partial u} \times \frac{\partial\mathbf{s}}{\partial v}\right) \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v)]
[math(\mathrm{d}\mathbf{S})]는 [math(S)]의 미소 면적인 [math(\mathrm{d}S)]의 크기를 가졌으면서 [math(\mathrm{d}S)]와 수직인 벡터, [math(\mathbf{s})]는 [math(S)]를 [math(uv)] 평면으로 매개화한 것, [math(\Sigma)]는 [math(S)]에 대응되는 [math(uv)]평면의 일부분이다. 좌변은 면적분이며, 우변은 평범한 이중적분.

이 정의는 방향의 모호함이 있는데, 방향을 바꾸면 마이너스가 붙는다(또는 외적의 순서가 바뀐다). 따라서 면적분을 할 때는 문제를 내는 이가 방향을 잡아줘야 한다. 단, 폐곡면이라면 닫힌 공간 바깥쪽을 양의 방향으로 잡는게 일반적이다.

벡터장의 면적분은 벡터장의 선속이라고 보면 된다[2]. 예를 들어, [math(\mathbf{F})]가 물의 속력장이라면, [math(S)]에 대한 면적분은 시간당 [math(S)]를 통과하는 (방향성이 있는) 물의 부피다.

4. 관련 문서


[1] 이를 폐적분(closed integral) 이라 한다. [2] 이 개념은 전기장과 자기장을 다루는 전자기학에서 중요하다. [3] 폐곡면의 면적분을 구할때 매우 유용한 정리다.