최근 수정 시각 : 2022-07-15 15:54:03

미적분의 기본정리


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1. 개요2. 역사3. 미적분의 제1 기본정리
3.1. 증명
4. 미적분의 제2 기본정리
4.1. 증명 14.2. 증명 24.3. 확장된 버전
5. 르베그 적분 버전

1. 개요

Fundamental Theorem of Calculus (FTC) ·

미적분에 관한 기본 정리. 대수학의 기본정리, 산술의 기본정리, 선형대수학의 기본정리와 함께 기본정리라고 불리는 정리들 중 하나이다. 당연히 미적분학에서 매우 중요한 정리고, 평균값의 정리와 함께 미적분의 근간이 된다.

미적분의 발견자 중 한 명으로 여겨지는 아이작 뉴턴은 이 정리에 대해 다음과 같은 말을 남겼다.
미적분의 기본 정리를 발견하는 순간 심장이 멎는 줄 알았다.
아이작 뉴턴

2. 역사

미적분의 기본정리는 다항함수에 관해서 에반젤리스타 토리첼리[1]가 미적분 개발 전에 발견했고[2] 아이작 배로[3]가 좀 더 일반화시켰다.

아이작 뉴턴 고트프리트 폰 라이프니츠가 누가 원조니 하며 논쟁하고 나서 약 반 세기 뒤 오귀스탱 루이 코시에 의하여 이전에 비해 대단히 엄밀해지고, 현재 교과서에서 보는 미적분의 기본정리와 차이가 거의 없는 정리가 완성된다.

이후에 베른하르트 리만을 비롯한 수학자들이 온갖 엽기적인 상황([math(f)]가 연속이 아니어도 된다거나)과 엽기적인 함수( 유리수에서는 1, 무리수에서는 0을 가지는 함수는 어떻게 적분할 것인지 등)들에 대한 문제를 해결하면서 더더욱 엄밀해진다.

3. 미적분의 제1 기본정리

함수 [math(f: [a,\,b] \to \mathbb{R} )]가 연속이라 하자. 이때, 함수 [math(g: [a,\,b] \to \mathbb{R} )]를 다음과 같이 정의한다.

[math(\displaystyle g(x) = \int_a^x f(t) \,{\rm d}t )]

그러면 함수 [math(g)]는 구간 [math([a,\,b] )] 위에서 연속이고, 구간 [math((a,\,b) )]에서 미분 가능하며,

[math(\displaystyle g'(x) = \frac{\rm d}{{\rm d}x} \int_a^x f(t) \,{\rm d}t = f(x) )]

가 성립한다. 즉, [math(g'(x)= f(x))]이다.

단순히 '적분한 뒤 도함수를 구하면 원래 함수가 된다'는 식으로 이해하면 곤란하다. 이 정리는 정적분이라는 범함수 해석학적인 성질을 규명해놓은 정리로서, 처음에 주어진 함수 [math(f)]의 정적분을 이용해 정의한 함수 [math(g)]가 [math(f)]의 부정적분들 중 하나라는 것을 말한다.

이를 일반화한 것이 라이프니츠 미분법이다.

3.1. 증명

파일:나무_미적분의기본정리_1.png
함수 [math(f(x) )] 는 구간 [math([a,\,b] )] 내의 [math([x,\,x+h] )] 구간에서 연속이므로, 적분의 평균값 정리에 따라

[math(\displaystyle \frac1h \int_x^{x+h} f(t) \,{\rm d}t = f(c) )]

를 만족하는 점 [math(c)]가 구간 [math( (x,\,x+h) )] 내에 존재한다. 양 변에 [math(h \rightarrow 0)]의 극한을 취하면

[math(\displaystyle \lim_{h\to0} \frac1h \int_x^{x+h} f(t) \,{\rm d}t = \lim_{h\to0} f(c) )]

이다. [math(h \rightarrow 0)]으로 가까워짐에 따라 [math(c \rightarrow x)]로 가까워지므로 [math(\lim\limits_{h\to0} f(c) = f(x) )]이고, 따라서

[math(\displaystyle \lim_{h\to0} \frac1h \int_x^{x+h} f(t) \,{\rm d}t = f(x) )]

가 성립한다. 또한

[math(\displaystyle g(x+h)-g(x) = \int_a^{x+h} f(t) \,{\rm d}t - \int_a^x f(t) \,{\rm d}t )]

이므로, 이를 정리하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} g(x+h)-g(x) &= \int_a^{x+h} f(t) \,{\rm d}t + \int_x^a f(t) \,{\rm d}t \\&= \int_x^{x+h} f(t) \,{\rm d}t \end{aligned} )]

이고, 양 변을 [math( h )] 로 나누고 [math(h \rightarrow 0)]으로의 극한을 취하면

[math(\begin{aligned} \displaystyle \lim_{h\to0} \frac{g(x+h)-g(x)}h &= \lim_{h\to0} \frac1h \int_x^{x+h} f(t) \,{\rm d}t \\&= \lim_{h\to0} f(c) \\&= f(x) \end{aligned} )]

가 된다. 도함수의 정의에 따라

[math(\displaystyle \lim_{h\to0} \frac{g(x+h)-g(x)}h = g'(x) )]

이므로, 최종적으로 [math(g'(x)=f(x) )]가 성립한다

4. 미적분의 제2 기본정리

함수 [math(f)]가 [math([a,\,b] )] 위에서 연속이고 함수 [math(F)]가 [math(f)]의 임의의 부정적분일 때, 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle \int_a^b f(t) \,{\rm d}t = F(b)-F(a) )]

미적분의 제1 기본정리에서 바로 유도된다. 이로부터, 미분의 역연산으로서 역도함수(부정적분)가 정적분과 어떠한 관계에 있는지 알 수 있다. 즉, FTC2는 정적분을 계산할 때 부정적분이 어떠한 형태로 사용되는지를 나타내는 정리인 것이다.

정적분이 먼저 정의되고 그것을 계산하는 방법으로 부정적분이 되는데, 현대 한국을 포함한 여러 나라들의 교육 과정에서는 거꾸로 부정적분부터 배우고 있다. 이는 그렇게 하는 것이 수학적 개념의 이해에 더욱 도움이 되기 때문이다. 다만, 정적분부터 가르치고 부정적분을 그 다음에 가르치자는 주장도 없지는 않다.

이 두 정리가 없었다면? 우리는 아직도 정적분을 계산할 때 구간을 분할하고 각각의 구간의 임의의 값에 대해 그 리만합의 극한값을 구하는 노동을 하고 있어야 한다. 혹시 궁금하다면 [math(\sqrt x)]의 정적분을 [math(1)]부터 [math(2)]까지 구분구적법을 통해 계산해보자. 부정적분이 쉽게 구해지지 않는 경우도 있는데 이 경우 구분구적법을 통해 컴퓨터로 근삿값을 구해야 한다. 심지어는 부정적분이 되는데 2 기본정리가 먹히지 않는 함수도 존재한다.

대학 미적분학에서는 미적분의 기본정리의 확장판으로 선적분의 기본정리, 발산 정리, 스토크스 정리 등의 다양한 바리에이션을 볼 수 있다.

4.1. 증명 1

미적분의 제1 기본정리에 의해, 함수

[math(\displaystyle g(x) = \int_a^x f(t) \,{\rm d}t )]

는 [math(f(x) )]의 부정적분 중 하나이다. [math(F(x) )]가 [math(f(x) )]의 부정적분이라면 적당한 상수 [math(C)]에 대해(why?[4])

[math(\displaystyle F(x) = \int_a^x f(t) \,{\rm d}t +C )]

가 성립한다. 따라서

[math(\displaystyle F(b) = \int_a^b f(t) \,{\rm d}t +C )]

이고, 적분의 성질

[math(\displaystyle F(a) = \int_a^a f(t) \,{\rm d}t +C =0+C=C )]

를 이용하여 [math(C)]를 소거하면 다음과 같이 증명이 완료된다.

[math(\displaystyle F(b)-F(a) = \int_a^b f(t) \,{\rm d}t )]

4.2. 증명 2

파일:나무_미적분의기본정리_2.png

[math(f(x) )]의 부정적분 [math(F(x) )]를 고려하자. [math(F(x) )]는 구간 [math([a,\,b] )]에서 연속이고 구간 [math((a, \,b) )] 구간에서 미분 가능한 함수라고 가정한다. 위 그림은 구간 [math([a,\,b] )]를 [math(n)]등분한 것을 나타낸다. [math(b=x_n)], [math(a=x_0)]임을 이용하여 [math(F(b)-F(a) )]를 재배열하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
F(b)-F(a) = \sum_{k=1}^n [F(x_k)-F(x_{k-1}) ]
\end{aligned} )]

함수 [math(F(x) )]가 구간 [math([x_{k-1},\,x_k] )]에서 연속이고 구간 [math((x_{k-1},\,x_k) )]에서 미분 가능한 함수이므로, 평균값 정리에 의해

[math(\dfrac{F(x_k)-F(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}} = F'(c_k^*) = f(c_k^*) )]

를 만족하는 [math(c_k^*)]가 구간 [math((x_{k-1},\,x_k) )] 사이에 반드시 존재하며

[math(\displaystyle F(x_k)-F(x_{k-1}) = (x_k-x_{k-1}) f(c_k^*) )]

로 표현 가능하다. 이를 위의 재배열된 식에 대입하여 합으로 표현하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle F(b)-F(a) = \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) f(c_k^*) )]

양변에 [math(n\rightarrow\infty)]의 극한을 취하면, 좌변은 상수로 남아

[math(\displaystyle F(b)-F(a) = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) f(c_k^*) )]

가 되고, [math(x)]의 변량 [math(x_k - x_{k-1})]은 [math(x_k - x_{k-1} = \Delta x)]가 되어 다음과 같이 표현된다.

[math(\displaystyle F(b)-F(a) = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f(c_k^*) \Delta x )]

마지막으로, 아래와 같이 합의 기호를 적분 기호로 바꾸고,

[math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \quad \to \quad \displaystyle \int_a^b)]

[math(\Delta x)]를 [math({\rm d}x)]로 표현하면 최종적으로 아래와 같이 증명이 완료된다.

[math(\displaystyle F(b)-F(a) = \int_a^b f(x) \,{\rm d}x )]

4.3. 확장된 버전

함수 [math(f)]에 대한 연속조건을 리만적분가능하고 역도함수를 갖는다는 것으로 약화시킬 수도 있다. 즉, 다음과 같이 진술할 수 있다.

함수 [math(f: [a,\,b] \rightarrow \mathbb{R})]에 대하여

[math(\displaystyle \int_a^b f(x) \,{\rm d}x = A \qquad \quad F'(x) = f(x) )]

인 실수 [math(A)]와 함수 [math(F: [a,\,b] \rightarrow \mathbb{R} )]가 존재한다고 하자. 그러면

[math(\displaystyle \int_a^b f(x) \,{\rm d}x = F(b)-F(a) )]

가 성립한다.

5. 르베그 적분 버전

르베그 적분을 배우게 되면 이 공식을 약간 다른 형태로 익히게 된다.
  • [math(f(x))]가 단조증가하면
    {{{#!wiki style="text-align: center"

    [math(\displaystyle \int_a^b f'(t) \,{\rm d}t \le f(b)-f(a) )]}}}
    이다.
  • [math(f(x))]가 절대연속이면
    {{{#!wiki style="text-align: center"

    [math(\displaystyle \int_a^b f'(t) \,{\rm d}t = f(b)-f(a) )] }}}
    이다.

즉, 등호가 성립하지 않을 수도 있다! 물론 이런 것들은 실생활에서는 전혀 볼 일이 없는 변태 같은 반례들뿐이기에 크게 걱정할 필요는 없다. 물론 수학을 전공하겠다면 이야기가 다르다. 대학 이후 과정에서의 수학은 대체로 엄밀성을 매우 중요하게 여기기 때문이다. 수학에 흥미가 있는 고등학생이라면 어떤 함수가 이런 조건을 만족시킬 수 있을지 상상해보는 것도 재미있을 것이다. 물론, 고등학교 수학 정도의 지식으로는 아무리 특이한 함수를 상상해 봐도 아무것도 떠오르지 않을 것이다... 기껏해야 초등함수들을 온갖가지 방법으로 섞는 수준..
[1] 화학에 나오는 바로 그 양반. [math(1,rm atm)]에 해당하는 수은주의 높이가 [math(76\,\rm cm)]임을 밝혀낸 사람 맞다. [2] 물론 당시에 '[math(\int)]'라는 기호는 쓰지 않았다. 이는 라이프니츠가 고안한 기호. [3] 뉴턴의 스승으로, 뉴턴에게 교수직을 물려준다. [4] 평균값 정리가 쓰인다