최근 수정 시각 : 2021-08-12 21:51:39

가환대수에서의 호몰로지 추측

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1. 개요2. 상세
2.1. 영인자(零因子) 정리2.2. 베이스의 추측2.3. 교차 정리2.4. 新교차 정리2.5. 발전된 新교차 추측2.6. 직합인자 추측2.7. 표준 원소 추측
3. 설명4. 참고 문헌


Homological Conjectures in Commutative algebra

1. 개요

수학에서 호몰로지 추측은 1960년대 초부터 가환대수학에 초점을 맞춰왔다. 즉 수학자들은 크룰 차원과 크룰 깊이 등 가환환의 다양한 호몰로지적 특성과 관련된 추측들에 대하여 고민해왔다. 이에 멜빈 호슈터(Melvin Hochster)는 다음과 같은 추측들의 목록을 제시하였다.

2. 상세

이 문단에서는 다음과 같은 표기를 사용한다. [math(R)], [math(S)]는 뇌터 가환환이다. [math(R)]은 극대 아이디얼 [math( m_{R} )]을 가지는 국소환이며 [math(M)]과 [math(N)]은 유한 생성된 [math(R)]- 모듈들이다. [math(X_\bullet)]은 복합체를 뜻한다.

2.1. 영인자(零因子) 정리

만약 [math( M\neq 0 )]인 [math(M)]이 유한 사영 차원을 가지고 [math(r\in R)]이 [math(M)]의 영인자가 아니라면 [math(r)]은 [math(R)]의 영인자 역시 아니다.

2.2. 베이스의 추측

만약 [math( M\neq 0 )]인 [math(M)]이 유한한 단사적 분해(resolution)를 갖는다면 [math(R)]은 코헨-맥컬리 환이다.

2.3. 교차 정리

만약 [math( M\oplus_{R} N\neq 0 )]이 유한한 길이를 가지면 [math(N)]의 크룰 차원은 [math(M)]의 사영 차원을 넘지 못한다.

2.4. 新교차 정리

[math( 0\rightarrow G_{n}\rightarrow ...\rightarrow G_{0}\rightarrow 0 )]가 자유 [math(R)]-모듈의 유한 복합체이고, [math( \displaystyle \bigoplus _{i}H_{i}(G_\bullet))]는 유한한 길이를 가지되 0은 아니라고 하자. 그러면 크룰 차원 [math( \mathrm{dim} R\leq n )]이다.

2.5. 발전된 新교차 추측

[math( 0\rightarrow G_{n}\rightarrow ...\rightarrow G_{0}\rightarrow 0 )]가 자유 [math(R)]-모듈의 유한 복합체라고 하자. 그리고 [math( H_{i}(G_\bullet) )]는 [math( i> 0 )]일 때는 유한한 길이를 가지고, [math( i=0 )]일 때는 [math(m_R)]의 적당한 거듭제곱에 의해 0이 되는 최소 생성원을 갖는다고 하자. 그러면 [math( \mathrm{dim} R\leq n )]이 성립한다.

2.6. 직합인자 추측

만약 [math(R)]이 정칙(regular)이고 [math(R\subseteq S)]이 모듈적으로 유한한 환 확장이라면 [math(R)]은 [math(R)]-모듈 [math(S)]의 직합인자이다. 이 추측은 앙드레가 퍼펙토이드 공간 이론을 사용하여 2016년에 증명하였다. 해당 논문(불어)

2.7. 표준 원소 추측

[math( x_{1},...,x_{d} )]가 [math(R)]에 대한 변수 체계이고 [math( F_\bullet )]가 [math( F_{0}=R )]를 만족하고 [math(R)]의 잉여체의 자유 [math(R)]-분해(resolution)이며 [math( K_\bullet )]가 위 변수 체계에 대한 [math(R)]의 코쥴 복합체라고 하자. 그러면 어떠한 변수 체계나 올림(lifting)을 선택하든지 상관 없이 [math( R= K_{d}\rightarrow F_{d} )]로부터 나오는 마지막 사상은 0이 아니다.

3. 설명

위 목록은 수학에서도 최고 난도로 꼽히는 호몰로지에 대한 것 중에서도 가환대수와 관련된 추측의 목록이다. 이쪽 분야 용어를 모르는 상태에서는 위 내용이 이해가 안 가는 것이 정상이므로, 관심이 있다면 수학과 진학 후 대학원을 다니면서 가환대수와 호몰로지 대수를 배우며 대수기하학을 하는게 적절한 과정이다.

위 목록 외에도 몇 가지 추측이 더 존재한다. 영문 위키피디아 참고.

4. 참고 문헌