|
특수함수 Special Functions |
||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="letter-spacing: -1px" {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px; word-break: keep-all" |
[math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. | |
| <colbgcolor=#383B3D> 적분 | 오차함수(error function)( 가우스 함수 · 가우스 적분 함수) · 베타 함수( 불완전 베타 함수) · 감마 함수( 불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수) · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수 | |
| 미분방정식 | 르장드르 함수[math(^\ast)] ( 구면 조화 함수) · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수 | |
| 역함수 | 브링 근호 · 람베르트 W 함수 · 역삼각함수 | |
| 급수 | 제타 함수 · 후르비츠 제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 폴리감마 함수 · 바이어슈트라스 타원 함수 | |
| 정수론 | 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 피 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수 | |
| 기타 | 헤비사이드 계단 함수 · 부호 함수 · 테트레이션( 무한 지수 탑 함수) · 지시함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수 | |
|
삼각함수 ·
쌍곡선함수 Trigonometric Functions · Hyperbolic Functions |
||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
<colbgcolor=#f080b0> 기본 개념 | 기하학{ 평면기하학( 삼각형 · 삼각비 · 원 · 쌍곡선)} · 해석학{ 좌표계 · 복소평면 · 함수( 초월함수 · 특수함수)} |
| 삼각함수 | 사인곡선( 위상수학자의 사인곡선) · 역함수 · 도함수 · 역도함수 · 관련 함수 · 삼각함수의 덧셈정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리 · 오일러 공식 · 푸리에 해석( 푸리에 변환) · 삼각 적분 함수 · 구데르만 함수 · 프레넬 적분 함수 · 디리클레 함수 · 바이어슈트라스 함수 · 볼테라 함수 · 에어리 함수 · 야코비 타원 함수 | |
| 쌍곡선함수 | 현수선 · 쌍곡선 적분 함수 · 구데르만 함수 | }}}}}}}}} |
1. 설명
삼각 적분 함수( 三 角 積 分 函 數, trigonometric integrals)는 특수함수의 하나로, 각각 [math(\mathrm{Si}(x))], [math(\mathrm{Ci}(x))]로 표기하며, 정의는 다음과 같다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Si}(x) &\equiv \int_{0}^{x}\frac{\sin{t}}{t}\,\mathrm{d}t \\ \mathrm{Ci}(x) &\equiv -\int_{x}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\mathrm{d}t \end{aligned})][1]
이 함수에 대한 그래프는 아래와 같다.
위 그래프에서 보듯 [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Si}(x) = {\pi}/{2} )], [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Ci}(x) = 0)]이다.
2. 특징
특이하게도 사인, 코사인만 적분이 정의되고 그 외의 삼각함수는 적분이 정의되지 않으며, 원본 함수와는 달리 [math({\mathrm{Si}(x)}/{\mathrm{Ci}(x)})]를 한다고 탄젠트 적분 함수를 만들 수 있는 것도 아니다.사인 곡선에서 유도되는 함수인 만큼 파동이나 전기적 신호를 다루는 학문에서 널리 쓰인다.
둘 다 대칭함수이다. [math(\mathrm{Si}(x))]는 홀함수, 실수부를 취한 [math(\Re(\mathrm{Ci}(x)))]는 짝함수이다.[2]
양수 범위에서 [math({\rm Si}(x))]는 [math(x=\pi)]에서, [math({\rm Ci}(x))]는 [math(\displaystyle x={\pi}/{2})]에서 최댓값을 갖는다.
다음은 같이 급수 전개식을 갖는다. 이 식은 독일의 수학자 요한 폰 졸트너가 1809년에 제시했다.[출처] 아래의 식에서 [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이다.
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\operatorname{Si}(x) &= \sum_{r=1}^\infty \frac{(-1)^{r-1} x^{2r-1}}{(2r-1)\cdot(2r-1)!} \\ \operatorname{Ci}(x) &= -\gamma -\ln x -\sum_{r=1}^\infty \frac{(-1)^r x^{2r}}{2r \cdot (2r)!} \end{aligned} )] |
2.1. 윌브레이엄-기브스 상수
|
수학
상수 Mathematical Constants |
|||||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
[math(^\ast)] 초월수임이 증명됨. | ||||
|
[math(0)] (덧셈의 항등원) |
[math(1)] (곱셈의 항등원) |
[math(sqrt{2})] (최초로 증명된 무리수) |
[math(495)], [math(6174)] ( 카프리카 상수) |
[math(0)],
[math(1)], [math(3435)], [math(438579088)] ( 뮌하우젠 수) |
|
|
[math(pi)] (원주율)[math(^\ast)] |
[math(tau)] (새 원주율)[math(^\ast)] |
[math(e)] (자연로그의 밑)[math(^\ast)] |
[math(varphi)] (황금수) |
[math(i)] (허수단위) |
|
|
[math(G)] (카탈랑 상수) |
[math(zeta(3))] (아페리 상수) |
[math({rm Si}(pi))] (윌브레이엄-기브스 상수) |
[math(gamma)] (오일러-마스케로니 상수) |
[math(gamma_n)] (스틸체스 상수) |
|
|
[math(Omega)] (오메가 상수)[math(^\ast)] |
[math(2^{sqrt{2}})] (겔폰트-슈나이더 상수)[math(^\ast)] |
[math(C_n,)] (챔퍼나운 상수)[math(^\ast)] |
[math(A,)] (글레이셔-킨켈린 상수) |
[math(A_k,)] (벤더스키-아담칙 상수) |
|
|
[math(-e, {rm Ei}(-1))] (곰페르츠 상수) |
[math(mu)] (라마누잔-졸트너 상수) |
[math(B_{2})], [math(B_{4})] (브룬 상수) |
[math(rho)] (플라스틱 상수) |
[math(delta)], [math(alpha)] (파이겐바움 상수) |
|
Wilbraham-Gibbs constant
위에서 언급한 [math({\rm Si}(x))]의 최댓값인 [math({\rm Si}(\pi))]는 따로 윌브레이엄-기브스 상수라는 이름이 붙어 있다. 약 [math(1.851937)] 정도의 값으로, 푸리에 급수의 부산물 중 하나이다. 헨리 윌브레이엄과 조시아 윌러드 깁스가 발견했다.
저 윌브레이엄-기브스 상수에 [math(\displaystyle {2}/{\pi})]를 곱하면 '기브스 상수'[4]라는 또 다른 상수가 된다.
3. 관련 문서
[1]
그래프 그려주는 프로그램 중 하나인 Desmos에서는 무한대를 입력할 수 없던 시절부터 [math(\displaystyle \mathrm{Ci}(x)=\int_0^x\frac{\cos t-1}t\,\mathrm{d}t+\ln x-\int_0^1\ln{\!\left[\ln{\!\left(\frac1t \right)} \right]}\mathrm{d}t)]로 입력할 수 있다. 요즘은
infty라 쓰면 [math(\infty)]가 입력되지만 아직까지 사용은 제한적이다. 당장 이 함수도 제대로 출력되지 않는다.
[2]
실수부를 취하지 않을 경우 [math(x<0)] 범위에서 [math(\mathrm{Ci}(x)=\Re(\mathrm{Ci}(x))+i\pi)]이므로 짝함수가 아니다.
[출처]
Johann Georg von Soldner, 1809,
treatise Théorie et tables d'une nouvelle fonction transcendante (영어 번역: Theory and tables of a new transcendental function)
[4]
약 [math(1.178980)]