최근 수정 시각 : 2022-03-28 17:29:09

삼각 적분 함수


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1. 설명2. 특징
2.1. 윌브레이엄-기브스 상수
3. 관련 문서

1. 설명

삼각 적분 함수( , trigonometric integrals)는 특수함수의 하나로, 각각 [math(\mathrm{Si}(x))], [math(\mathrm{Ci}(x))]로 표기하며, 정의는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Si}(x) &\equiv \int_{0}^{x}\frac{\sin{t}}{t}\,\mathrm{d}t \\ \mathrm{Ci}(x) &\equiv -\int_{x}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\mathrm{d}t \end{aligned})][1]

이 함수에 대한 그래프는 아래와 같다.

파일:나무_삼각적분함수_그래프_NEW.png
위 그래프에서 보듯 [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Si}(x) = {\pi}/{2} )], [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Ci}(x) = 0)]이다.

2. 특징

특이하게도 사인, 코사인만 적분이 정의되고 그 외의 삼각함수는 적분이 정의되지 않으며, 원본 함수와는 달리 [math({\mathrm{Si}(x)}/{\mathrm{Ci}(x)})]를 한다고 탄젠트 적분 함수를 만들 수 있는 것도 아니다.

사인 곡선에서 유도되는 함수인 만큼 파동이나 전기적 신호를 다루는 학문에서 널리 쓰인다.

둘 다 대칭함수이다. [math(\mathrm{Si}(x))]는 홀함수, 실수부를 취한 [math(\Re(\mathrm{Ci}(x)))]는 짝함수이다.[2]

양수 범위에서 [math({\rm Si}(x))]는 [math(x=\pi)]에서, [math({\rm Ci}(x))]는 [math(\displaystyle x={\pi}/{2})]에서 최댓값을 갖는다.

2.1. 윌브레이엄-기브스 상수

수학 상수
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[math(\ast)]: 초월수임이 증명됨.
[math(0)]
(덧셈의 항등원)
[math(1)]
(곱셈의 항등원)
[math(sqrt{2})]
(최초로 증명된 무리수)
[math(495)], [math(6174)]
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[math(0)], [math(1)], [math(3435)], [math(438579088)]
( 뮌하우젠 수)
[math(pi^{ast})]
(원주율)
[math(tau^{ast})]
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[math(e^{ast})]
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[math(delta)], [math(alpha)]
(파이겐바움 상수)
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[math(gamma_n)]
(스틸체스 상수)
[math(Omega^{ast})]
(오메가 상수)
[math(2^{sqrt{2},ast})]
(겔폰트-슈나이더 상수)
[math(B_{2})], [math(B_{4})]
(브룬 상수)
[math(i)]
(허수단위)
[math(rho)]
(플라스틱 상수)
[math(mu)]
(라마누잔-졸트너 상수)
[math(C_n,^{ast})]
(챔퍼나운 상수)
[math(zeta(3))]
(아페리 상수)
[math({rm Si}(pi))]
(윌브레이엄-기브스 상수)
[math(-e, {rm Ei}(-1))]
(곰페르츠 상수)
}}}}}}}}} ||

Wilbraham-Gibbs constant

위에서 언급한 [math({\rm Si}(x))]의 최댓값인 [math({\rm Si}(\pi))]는 따로 윌브레이엄-기브스 상수라는 이름이 붙어 있다. 약 [math(1.851937)] 정도의 값으로, 푸리에 급수의 부산물 중 하나이다. 헨리 윌브레이엄 조시아 윌러드 깁스가 발견했다.

저 윌브레이엄-기브스 상수에 [math(\displaystyle {2}/{\pi})]를 곱하면 '기브스 상수'[3]라는 또 다른 상수가 된다.

3. 관련 문서



[1] 그래프 그려주는 프로그램 중 하나인 Desmos에서는 무한대를 입력할 수 없던 시절부터 [math(\displaystyle \mathrm{Ci}(x)=\int_0^x\frac{\cos t-1}t\,\mathrm{d}t+\ln x-\int_0^1\ln{\!\left[\ln{\!\left(\frac1t \right)} \right]}\mathrm{d}t)]로 입력할 수 있다. 요즘은 infty라 쓰면 [math(\infty)]가 입력되지만 아직까지 사용은 제한적이다. 당장 이 함수도 제대로 출력되지 않는다. [2] 실수부를 취하지 않을 경우 [math(x<0)] 범위에서 [math(\mathrm{Ci}(x)=\Re(\mathrm{Ci}(x))+i\pi)]이므로 짝함수가 아니다. [3] 약 [math(1.178980)]