splitting field
1. 개요
분해체란 어떤 체 위의 다항식이 주어졌을 때, 해당 체의 확대체 중에서 이 다항식을 인수분해하여 그 모든 해를 원소로 가지는 최소의 확대체를 의미한다. 즉, 수학적으로는 다음과 같이 표기한다.주어진 체 [math(F)]에 대하여, [math(f(x) \in F\left[x\right], \text{deg}f(x)\geq 1)]에 대하여 다음 조건을 만족하는 최소차수의 확대체 [math(\text{SF})]를 [math(F)]상에서 [math(f(x))]의 확대체 라고 한다.
* [math(\text{deg}f(x)=n)]인 다항식 [math(f(x))]가 [math(F)]의 대수적 폐포[1] [math(\overline{K})]상에서 [math(\displaystyle f(x)=c\prod_{k=1}^{n}(x-\alpha_k))]로 인수분해된다고 할 때
[math(\text{SF}(f(x)/F):=F(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)(\subseteq\overline{F}))]
* [math(\text{deg}f(x)=n)]인 다항식 [math(f(x))]가 [math(F)]의 대수적 폐포[1] [math(\overline{K})]상에서 [math(\displaystyle f(x)=c\prod_{k=1}^{n}(x-\alpha_k))]로 인수분해된다고 할 때
[math(\text{SF}(f(x)/F):=F(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)(\subseteq\overline{F}))]
즉, 분해체 [math(L)]은 [math(f(x))]가 1차식의 곱으로 완전히 인수분해할 수 있는 [math(F)]의 최소 확대체다.
또한, [math(F)] 상의 분해체 [math(E)]는 다음과 동치이다.
[math(E)]가 [math(F)]상의 분해체 [math(\iff \exists f(x)\in F\left[x\right] {\sf s.t.} E=\text{SF}(f(x)/F))]
2. 동형사상 확장정리
체 [math(F, K)]에 대하여
① [math(\sigma:F\to K)]는 환동형사상
② [math(\alpha:F)]위에서 대수적
③ [math(p(x)=\text{irr}(\alpha, F)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n)]에 대하여
[math(\overline{p}(x)=\sigma(a_0)+\sigma(a_1)x+\cdots+\sigma(a_n)x^n(\in K\left[x\right]))]라고 하고 [math(\overline{p}(\beta)=0(\beta\in\overline{K}))]
[math(\Rightarrow\exists \theta:F(\alpha)\to K(\beta))]인 환동형사상 [math(\text{s.t}\,\theta(\alpha)=\beta, \theta|_{F}=\sigma)](즉 [math(\theta)]는 [math(\sigma)]의 확장)
이를 동형사상 확장정리라고 한다.① [math(\sigma:F\to K)]는 환동형사상
② [math(\alpha:F)]위에서 대수적
③ [math(p(x)=\text{irr}(\alpha, F)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n)]에 대하여
[math(\overline{p}(x)=\sigma(a_0)+\sigma(a_1)x+\cdots+\sigma(a_n)x^n(\in K\left[x\right]))]라고 하고 [math(\overline{p}(\beta)=0(\beta\in\overline{K}))]
[math(\Rightarrow\exists \theta:F(\alpha)\to K(\beta))]인 환동형사상 [math(\text{s.t}\,\theta(\alpha)=\beta, \theta|_{F}=\sigma)](즉 [math(\theta)]는 [math(\sigma)]의 확장)
2.1. 증명
함수 [math(\hat{\sigma}:F\left[x\right]/<p(x)>\to K\left[x\right]/<\overline{p}(x)>, \hat{\sigma}(f(x)+<p(x)>)=\overline{f}(x)+<\overline{p}(x)>)]를 정의하자.[2]|
① 먼저 [math(\hat{\sigma})]가 단사함수임을 보이자. [math((\because) f(x)+<p(x)>, g(x)+<p(x)>)]에 대하여 [math(f(x)+<p(x)>=g(x)+<p(x)>\\\iff f(x)-g(x)\in <p(x)>\\\iff f(x)-g(x)=p(x)h(x))]인 [math(F)] 상의 다항식 [math(h(x))]가 존재한다. 즉 [math(\iff \overline{f}(x)-\overline{g}(x)=\overline{p}(x)\overline{h}(x)\in<\overline{p}(x)>\\\iff \overline{f}(x)+<\overline{p}(x)>=\overline{g}(x)+<\overline{p}(x)>)]이므로 [math(\hat{\sigma})]는 잘 정의된 단사함수이다. |
|
② 이제 [math(\hat{\sigma})]가 전사함수임을 보이자. [math((\because)g(x)+<\overline{p}(x)>\in K\left[x\right]/<\overline{p}(x)>))]에 대하여 [math(g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m, f(x)=\sigma^{-1}(b_0)+\sigma^{-1}(b_1)x+\cdots+\sigma^{-1}(b_m)x^m)]이라 두자. 그러면 [math(\overline(f)(x)=g(x))]이므로 [math(\hat{\sigma}(f(x)+<p(x)>)=\overline{g}(x)+<\overline{p}(x)>)] 따라서 [math(\hat{\sigma})]는 잘 정의된 전단사함수이다. |
|
③ 이제 [math(\hat{\sigma})]가 환준동형사상임을 보이자. [math((\because) f(x)+<p(x)>, g(x)+<p(x)>)]에 대하여 [math(\hat{\sigma}(f(x)+<p(x)>+g(x)+<p(x)>))] [math(=\hat{\sigma}(f(x)+g(x)+<p(x)>))] [math(=\overline{f}(x)+\overline{g}(x)+<\overline{p}(x)>)] [math(=\overline{f}(x)+<\overline{p}(x)>+\overline{g}(x)+<\overline{p}(x)>)] [math(=\hat{\sigma}(f(x)+<p(x)>)+\hat{\sigma}(g(x)+<p(x)>))] [math(\hat{\sigma}(\left[f(x)+<p(x)>\right]\left[g(x)+<p(x)>\right]))] [math(=\hat{\sigma}(f(x)g(x)+<p(x)>))] [math(=\overline{f}(x)\overline{g}(x)+<\overline{p}(x)>)] [math(=(\overline{f}(x)+<\overline{p}(x)>)(\overline{g}(x)+<\overline{p}(x)>))] [math(=\hat{\sigma}(f(x)+<p(x)>)\hat{\sigma}(g(x)+<p(x)>))] 따라서 위의 결과로 전단사함수 [math(\hat{\sigma})]가 환준동형사상이므로 환동형사상이라는 것을 알 수 있다. 이제 함수 [math(\theta)]를 다음과 같이 정의하자. 단, 아래의 [math(\psi)]는 대입 준동형사상[3]으로, 다음과 같이 정의된다. [math(\psi_{\alpha}:F\left[x\right]/<p(x)>\to F\left[\alpha\right])] [math(\theta=\psi_{\beta}\circ\hat{\sigma}\circ\psi_{\alpha}^{-1}:F(\alpha)\to F(\beta))][math(\psi_{\alpha}(g(x)+<p(x)>)=g(\alpha))] 그러면 [math(\theta)]는 환동형사상들의 합성이므로 당연히 환동형사상이며, 따라서 [math(\theta(\alpha)=\beta)]가 된다. |
[1]
분해체의 극한에 가까운 개념으로, 모든 다항방정식이 완전하게 일차식으로 분해되는 최소체를 의미한다. 유리수체의 경우 복소수체가 그렇지 않나 싶을수도 있는데, 유리수체에서는 정수계수 다항방정식을 주로 다루기 때문에 초월수가 포함될 수 없어서 복소수체는 대수적폐포보다 큰 체이며, 유리수체의 대수적폐포는 복소수체의 진부분체중 하나로 취급된다. 간단히 말하면 복소수체에서 초월수를 모조리 제거한 체를 의미.
[2]
[math(\overline{p}(x), \overline{f}(x))]는 체 [math(F)] 위에서 정의된 [math(p(x), f(x))]를 대수적 폐포 [math(\overline{F})]상으로 확장한 다항식을 말한다. 즉, 다항식 자체는 동일하지만, 그 다항식을 체 [math(F)]에서 정의하느냐, [math(\overline{F})] 위에서 정의하느냐의 차이.
[3]
흔히 미지수로 오해되기 쉬운 다항식의 부정원 [math(x)]를 실제 미지수인 아래첨자(아래의 경우 [math(\psi_{\alpha})]는 [math(\alpha)], [math(\psi_{\beta})]는 [math(\beta)])로 대응시키는 준동형사상. 전단사함수 한정으로 환동형사상이기도 하다.