최근 수정 시각 : 2024-05-19 21:13:18

0.999…=1

해석학· 미적분학
Analysis · Calculus
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"
<colbgcolor=#26455A>실수와 복소수 실수( 실직선 · 아르키메데스 성질) · 복소수( 복소평면 · 극형식 · 편각) · 근방 · 유계 · 콤팩트성 · 완비성
함수 함수 · 조각적 정의 · 항등함수 · 역함수 · 멱함수 · 다변수함수( 동차함수 · 음함수) · 다가 함수 · 함수의 그래프 · 좌표계 · 닮은꼴 함수 · 극값 · 볼록/오목 · 증감표
초등함수( 대수함수 · 초월함수 · 로그함수 · 지수함수 · 삼각함수) · 특수함수 · 범함수( 변분법 · 오일러 방정식) · 병리적 함수
극한·연속 함수의 극한 · 수열의 극한 · 연속함수 · ε-δ 논법 · 수렴( 균등수렴) · 발산 · 부정형 · 점근선 · 무한대 · 무한소 · 0.999…=1
중간값 정리 · 최대·최소 정리 · 부동점 정리 · 스털링 근사 · 선형근사( 어림)
수열· 급수 수열 · 급수( 멱급수 · 테일러 급수( 일람) · 조화급수 · 그란디 급수( 라마누잔합) · 망원급수( 부분분수분해)) · 그물
오일러 수열 · 베르누이 수열 · 월리스 곱
단조 수렴 정리 · 슈톨츠-체사로 정리 · 축소구간정리 · 급수의 수렴 판정 · 리만 재배열 정리 · 바젤 문제 · 파울하버의 공식 · 오일러-매클로린 공식 · 콜라츠 추측미해결
미분 미분 · 도함수( 이계도함수 · 도함수 일람) · 곱미분 · 몫미분 · 연쇄 법칙 · 임계점( 변곡점 · 안장점) · 매끄러움
평균값 정리( 롤의 정리) · 테일러 정리 · 역함수 정리 · 다르부 정리 · 로피탈 정리
립시츠 규칙 · 뉴턴-랩슨 방법 · 유율법
적분 적분 · 정적분( 예제) · 스틸체스 적분 · 부정적분( 부정적분 일람) · 부분적분( LIATE 법칙 · 도표적분법 · 예제) · 치환적분 · 이상적분( 코시 주요값)
미적분의 기본정리 · 적분의 평균값 정리
리시 방법 · 2학년의 꿈
다변수· 벡터 미적분 편도함수 · 미분형식 · · 중적분( 선적분 · 면적분 · 야코비안) · 야코비 공식
라그랑주 승수법 · 오일러 동차함수 정리 · 선적분의 기본정리 · 스토크스 정리( 발산 정리 · 그린 정리 변분법
미분방정식 미분방정식( 풀이) · 라플라스 변환
측도론 측도 · 가측함수 · 곱측도 · 르베그 적분 · 절대 연속 측도 · 라돈-니코딤 도함수
칸토어 집합 · 비탈리 집합
복소해석 코시-리만 방정식 · 로랑 급수 · 유수 · 해석적 연속 · 오일러 공식( 오일러 등식 · 드 무아브르 공식) · 리우빌의 정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리
함수해석 공간 위상 벡터 공간 · 국소 볼록 공간 · 거리공간 · 프레셰 공간 · 노름공간 · 바나흐 공간 · 내적공간 · 힐베르트 공간 · Lp 공간
작용소 수반 작용소 · 에르미트 작용소 · 정규 작용소 · 유니터리 작용소 · 컴팩트 작용소
대수 C*-대수 · 폰 노이만 대수
정리 한-바나흐 정리 · 스펙트럼 정리 · 베르 범주 정리
이론 디랙 델타 함수( 분포이론)
조화해석 푸리에 해석( 푸리에 변환 · 아다마르 변환)
관련 분야 해석기하학 · 미분기하학 · 해석적 정수론( 1의 거듭제곱근 · 가우스 정수 · 아이젠슈타인 정수 · 소수 정리 · 리만 가설미해결) · 확률론( 확률변수 · 중심극한정리) · 수치해석학 · 카오스 이론 · 분수계 미적분학 · 수리물리학 · 수리경제학( 경제수학) · 공업수학
양-밀스 질량 간극 가설미해결 · 나비에 스토크스 방정식의 해 존재 및 매끄러움미해결
기타 퍼지 논리
}}}}}}}}} ||

1. 개요2. 설명3. 증명
3.1. 수학적 증명3.2. 간단한 설명들3.3. 무한소를 도입한 수 체계에서
4. 반박과 재반박5. 논란이 발생하는 이유
5.1. 교육과정상의 문제5.2. 실생활/타 학문에서의 문제
6. 기타
6.1. 무한수
7. 외부 링크8. 관련 문서

1. 개요

[math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac9{10^k} = 1)]

아주 오래전부터 수많은 사람들에게 셀 수 없이 많은 착각을 불러일으킨 명제.

결론부터 말하자면 현대수학에서 명제 [math(0.999\cdots=1)]은 참이다.

2. 설명

명제의 진위를 헷갈리는 이유는 정확한 용어의 정의 없이 직관만으로 논증하려 했기 때문이다. 가령 무한소수라는 것을 점점 다가가는 같은 식의 임의로 움직인다는 개념을 집어넣곤 하는데 수학에 다가가는 수라는 개념은 없다. 원주율을 [math(3.14159\cdots)]라고 쓴다고 해서 이것이 원주율에 다가가는 수가 아니듯이 말이다.

대한민국의 경우 일반적으로 고등학생 때 극한 수박 겉 핥기 식으로만 배우게 되며 수학교사들 중에서도 해석학을 심도 있게 배운 사람이 적다 보니[1] 고등학교 수학 과정에서 문이과를 불문하고 잘못 이해하고 넘어가기 십상이다.

이러한 논리에는 어쩔 수 없는 부분도 있는데 무한대라는 개념부터 엄밀히 하기에는 갈 길이 멀고[2] 해석학이란 학문 자체가 수학의 근본 중 하나[3]인 만큼 고등학교 수준으로는 작정하고 제대로 배우기가 매우 어렵다. 이렇다 보니 어쩔 수 없이 극한의 개념 역시 앞서 설명한 '무한히 가까워지는'이라든지 '다가가는' 같은 적당한 오류를 허용하면서 가르칠 수밖에 없는 상황이다. 거칠게 말하면 수학교육학이라는 분야는 청소년들이 수포자가 되지 않도록 이런 엄밀하지 않은 논리를 어느 정도까지 용인할 것인지 고민하는 학문이니 일선 수학교사들은 교육학을 잘 모르는 비사범계열 수학 전공자들의 지적이 억울할 수 있다.[4]

비슷한 예로는 초등학교 수학에서는 음수 개념을 배우지 않아 크기가 작은 자연수에서 큰 자연수를 뺄 수 없다고 가르치고, 중학교 수학에서는 [math((-1)\times(-1)=1)] 문제에 대해 증명을 생략하고 참으로 정의된 개념이라고 가르치며, 고등학교 수학 과정에 들어가기 전까지는 허수를 배우지 않기에 중학교 수학에서는 제곱해서 음수가 되는 것은 불가능하다고 배운다.[5] 이렇듯 학습자의 수준을 고려한 적당한 오류는 불가피한 것이다. 참고로 [math((-1)\times(-1)=1)] 문제는 벡터라는 개념을 알아야 증명을 통해 엄밀하게 이해할 수 있는데, 해당 과정은 고등학교 수학 끄트머리에 나온다.

다만 [math(0.999\cdots)]라는 표기는 엄밀한 표현[6]의 문제일 뿐 직관적인 표기[7]에 대해 염려할 것은 없다. 이러한 표기에 유한소수인 [math(0.999\cdots9)] 같은 것을 들이미는 것은 혼란만 심화될 뿐이다. 순환 마디 위에 점을 찍어 나타내는 표기를 쓰면 더욱 명확한데 [math(0.999\cdots = 0.\dot9 \ne 0.999\cdots9)]이다.

3. 증명

3.1. 수학적 증명

다행히도 [math(0.999\cdots=1)]이라는 사실은 수학적으로 아주 간단하게 증명할 수 있다. 대학교 기초 수준의 수학 지식이 있다면 이해하는 데에 무리는 없을 것이다.

[math(0.999\cdots)]과 같은 표기를 쓰기 전에 일단 ' 무한소수'라는 것이 무엇인지를 알 필요가 있다. 정의는 간단하다. 자연수 [math(n)]에 대하여 수열 [math(\{a_n\})] 을 생각하자. 만약에 알아보고 싶은 무한소수가 [math(0.999\cdots)]라고 한다면 [math(a_1 = 0.9,\,a_2 = 0.99,\,a_3 = 0.999,\,\cdots)]이 될 것이다. 무한소수라는 것은 이러한 수열의 극한으로써 정의된다.

간단히 설명하자면, [math(a_n)]의 극한이 [math(a)]라는 것은 어떤 양수 [math(varepsilon)]에 대하여, [math(n)]이 어떤 자연수 [math(N)]보다 크면 [math(a_n)]과 [math(a)]의 차이가 [math(varepsilon)]보다 작아지는 자연수 [math(N)]이 존재한다는 것, 달리 말하자면 [math(N)]을 [math(varepsilon)]의 함수 [math(N(varepsilon))]으로 나타낼 수 있음을 의미한다. 직관적으로도 이 정의는 우리가 일상적으로 말하는 '무한히 접근한다'라는 표현과 일맥상통함을 이해할 수 있을 것이다. 이 정의를 만족하지 않고도 [math(a_n)]가 [math(a)]로 무한히 접근할 방법이 있을까 고민해 본다면 명확하다.

첫 번째 문제는 수열 [math(\{a_n\})]의 극한값이 존재하는지에 대한 것이다. 두 번째 문제는 이 극한값이 무엇인지에 대한 문제이다. 다행히도, 임의의 무한소수에 대해 수열 [math(\{a_n\})]의 극한값은 존재하고, 그 극한값은 이 수열의 상한(supremum), 풀어 쓰면 '모든 자연수 [math(n)]에 대해 [math(a_n)]보다 크거나 같은 숫자의 집합에서 가장 작은 수'와 같다.

이를 증명하기는 어렵지 않다. 일단 집합 [math(A=\{a_n \mid n\in\mathbb{N}\})]이 상계(upper bound)를 가진다는 것을 보이자. 예를 들어 '[math(10)]'은 임의의 [math(a_n)]보다 크거나 같으므로 이 집합의 상계이다. 실수의 완비성에 의해 공집합이 아닌 실수의 부분집합에 상계가 존재한다면 상한(supremum = least upper bound)[8]은 언제나 존재한다. 수학자들이 부등호를 적절하게 조절하여 임의의 집합에 대해서도 항상 존재할 수밖에 없도록 만든 개념이라서 그렇다. 이는 하한(infimum = greatest lower bound)도 마찬가지. 자세한 것은 링크를 참조.

그다음은 이 상한이 이 수열의 극한값이라는 것을 증명해야 한다. 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem)에 의하면, 임의의 수열이 위로 유계이고 증가하는 수열이라면 그 극한값이 존재하며 극한값은 그 수열의 상한과 같다.

이를 증명하기 위해 위 명제가 성립하지 않는다고 가정하자. 즉, 수열 [math(\{a_n\})]이 증가 수열이고, 위로 유계임에도 불구하고 집합 [math(A)]의 상한 [math(c)]로 수렴하지 않는다고 가정해 보자. 그러면 극한의 정의에 의해 어떤 [math(\varepsilon)]이 존재하여 아무리 [math(N)]을 키워도 [math(N)]보다 큰 [math(n)]이 존재하여 [math(c)]과 [math(a_n)]의 차이가 [math(\varepsilon)]보다 커야 한다. [math(a_n)]은 단조증가수열이기에 [math(a_n < c - \varepsilon)]이라면 모든 [math(m\le n)]에 대해 [math(a_m < c - \varepsilon)]을 만족한다. 집합 [math(S = \{k \mid a_k < c - \varepsilon \})]를 가정하자. [math(S)]는 자연수의 집합이고 [math(S)]의 상한이 없기에 [math(S = N)]이 된다. 즉 모든 [math(a_n)]에 대해 [math(a_n < c - \varepsilon)]이다. 하지만 그럴 경우, [math(c)]가 집합 [math(A)]의 상한이라는 가정에 위배된다. 왜냐하면 [math(c-0.5\varepsilon)]라는 수는 [math(c)]보다 작으면서도 [math(\{a_n\})]의 상계가 될 수 있기 때문이다. 이는 [math(c)]가 상한이라는 정의와 모순된다. 따라서 위 명제가 성립하므로, 수열 [math(\{a_n\})]의 극한값이 존재하며 그 값은 집합 [math(A)]의 상한과 같다.

이제 모든 증명이 끝났다. [math(\begin{aligned}a_n=1-\dfrac1{10^n}=0.\overbrace {999\cdots 9}^n\end{aligned})]이라고 하자. 그러면 집합 [math(A)]의 상한은 [math(1)]이다. 따라서 [math(0.999\cdots=1)]이다. 본 항목 서두에서 언급한 충분히 큰 자연수 [math(N(\varepsilon))]역시 [math(N(\varepsilon) = \left\lceil\log_{10}\dfrac1\varepsilon\right\rceil = -\lfloor\log_{10}\varepsilon\rfloor)][9]같은 형태로[10] 항상 존재하는 것을 알 수 있는데, 천장 함수의 정의에 따라 [math(N(\varepsilon)=\left\lceil\log_{10}\dfrac1\varepsilon\right\rceil\ge\log_{10}\dfrac1\varepsilon)]이고 [math(n>N)]이면 [math(10^n>10^N\ge10^{\log_{10}\frac1\varepsilon} = \dfrac1\varepsilon \Rightarrow \dfrac1{10^n}<\dfrac1{10^N}\le\varepsilon)]이므로 [math(|a_n-1| = \dfrac1{10^n}<\varepsilon)]을 만족한다. 따라서 충분히 큰 양수 [math(N)]은 [math(N = \left\lceil\log_{10}\dfrac1\varepsilon\right\rceil)]처럼 [math(\varepsilon)]의 함수 형태로서 존재함을 알 수 있으며 따라서 [math(n\to\infty)]의 극한, 즉 [math(0.999\cdots=1)]이다.

3.2. 간단한 설명들

아래의 설명들은 수학적 정의에 본질적인 문제가 있다. 기본적인 정의를 엄격하게 하지 않은 상태에서 일반인이 납득할만한 개념을 기초로 최대한 우회해서 설명하는 것에 불과하다. 직관적인 이해를 우선하는 교육학적으로는 이정도 설명으로도 증명으로 수용할 수 있지만 수학적으로 이것을 증명이라고 하려면 기본적인 정의가 잘 정의되었는지에 대한 증명 계산과정을 뒷받침하는 증명이 선행되어야 한다.
  • 뺄셈을 이용하는 방법
[math(1-0.999\cdots=0.000\cdots=0)]
[math(1-0=0.999\cdots=1)]
[math(\begin{array}{r} \begin{array}{r}\\ 9~\big) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \!\!\!\!\!\!\!\: \begin{array}{r}1 \\ \hline 9 \\ 9 \\ \hline 0 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \end{array} \quad \begin{array}{r} \begin{array}{r}\\ 9~\big) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \!\!\!\!\!\!\!\: \begin{array}{r}0.9999\cdots \\ \hline 9.0\qquad\;\;\; \\ 8\;1\qquad\;\;\; \\ \hline 90\quad\;\;\; \\81\quad\;\;\; \\ \hline 90\quad\;\;\; \\81\quad\;\;\; \\ \hline90\;\;\; \\ 81\;\;\; \end{array} \end{array})]
피제수보다 크지 않은 최댓값이 나오도록 계산을 하는 기존 방식(왼쪽)이라면 [math(9\div9 = 1)]이지만, 오른쪽과 같이 진분수를 소수로 바꿨을 때의 계산법을 이용함으로써 [math(9\div9 = 0.\dot9)]임을 보일 수 있고, 따라서 [math(0.\dot9 = 1)]이다.[11] 사실 이 방식이 중등교육 과정에서 [math(0.\dot9 = 1)]을 납득시킬 수 있는 가장 간단한 방법이다.[12]
* [math(\dfrac13 = 0.333\cdots)]을 이용하는 방법[13]
우선 [math(\dfrac13 = 0.333\cdots)]을 증명하기 위해, 세로셈법에 수학적 귀납법을 적용해서 '세로셈법에서 [math(k)]번째 연산의 결과 소수점 아래 [math(k)]번째 자리가 [math(3)]이 된다.'를 보이고 이어서 '[math(k\to\infty)]이면 소수점 아래의 모든 자리가 [math(3)]이 되면서 수렴한다.'를 보이자. 아래 증명에서 [math(\overbrace{}^n)]은 중괄호 밑의 자릿수가 [math(n)]개임을 의미한다.
1. [math(k=1)]일 때, [math(1 = 3\times0.{\color{red}3}+0.1)]이므로 자명하다.
1. [math(k=n)]일 때 참이라고 가정하면 [math(1 = 3\times0.\overbrace{\color{red}333\cdots33}^n + 0.\overbrace{000\cdots0}^{n-1}1)]이고 [math(0.\overbrace{000\cdots0}^{n-1}1 = 3\times0.\overbrace{000\cdots00}^n{\color{red}3} + 0.\overbrace{000\cdots00}^n1)]이므로 대입해서 공통부분을 묶어내면 [math(1 = 3\times0.\overbrace{\color{red}333\cdots333}^{n+1} + 0.\overbrace{000\cdots00}^n1)]이 된다. 이는 [math(k=n+1)]일 때의 관계식이므로 [math(k=n+1)]일 때 역시 참이다.
1. [math(0.\overbrace{000\cdots0}^{n-1}1 = \dfrac1{10^n})]이고, 모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(0<n<10^n)]이므로 [math(0<\dfrac1{10^n}<\dfrac1n)]이 성립한다. 실수의 아르키메데스 성질에 의해 [math(n\to\infty)]일 때 수열 [math(\left\{\dfrac1n\right\})]은 [math(0)]으로 수렴하므로, 샌드위치 정리에 의해 수열 [math(\left\{\dfrac1{10^n}\right\})]도 [math(0)]으로 수렴한다. 2에서 다룬 항등식 [math(1 = 3\times0.\overbrace{333\cdots3}^k + \dfrac1{10^k})]을 변형하면 [math(0.\overbrace{333\cdots3}^k = \dfrac13 - \dfrac1{3{\cdot}10^k})]이 되는데 [math(k\to\infty)]일 때 우변이 [math(\dfrac13)]로 수렴하므로, [math(\dfrac13)]을 소수 표기로 나타내면 [math(0.\overbrace{333\cdots3}^\infty = 0.333\cdots = 0.\dot3)], 즉 소수점 아래의 모든 자리수가 [math(3)]이 되며 이는 수렴하는 값이다. 따라서 [math(\dfrac13 = 0.333\cdots)]이다.
i. 위 증명에 의해 [math(\dfrac13 = 0.333\cdots)]이다.
i. [math(\dfrac13\times3 = 1)]이다.
i. [math(\dfrac13\times3=0.333\cdots\times3 = 0.999\cdots)], 따라서 [math(\bf0.999\cdots = 1)]이다.
  • [math(a = 0.999\cdots)]로 두면 [math(10a = 9.999\cdots)]이고, [math(10a - a = 9a = 9.999\cdots - 0.999\cdots = 9)] 이므로, [math(a = 1)]
    이는 중학교 수학 교과서에도 나오는 증명이다. 그러나 이 증명을 확실히 하기 위해서는 훨씬 많은 수의 공리와 보조정리가 필요하다. 가장 크게 문제가 되는 것은 [math(a)]의 소수점 아래 [math(9)]의 개수와 [math(10a)]의 소수점 아래 [math(9)]의 개수인데, 분명히 둘 사이에는 한 개의 차이가 있음에도 [math(10a-a)]라는 연산을 통해 그 차이가 말끔하게 없어지는 현상에 관한 논리적 타당성, 바꿔 말하자면 무한개에 1을 더한 것을 같은 무한개로 봐도 되는지에 대한 논리, 즉 무한의 가산성을 따지는 문제로 넘어가게 된다.[14] 또한 저렇게 뺄셈 연산을 할 수 있다는 것은 [math(a)] 자체가 수렴한다는 것이 전제되어 있으므로 논리를 전개하기 전에 [math(a)]가 수렴한다는 것부터 보이고 넘어가야 한다. 이를 위해서는 본 문서 서두에서도 언급된 단조 수렴 정리가 필요하고, 이 정리를 적용하기 위해 위로 유계라는 것까지 보여야 한다.
  • [math(0.999\cdots)]는 순환소수 [math(0.\dot9)]를 다르게 쓴 것이다. 이 순환소수를 유리화하면 [math(\dfrac9{10-1} = \dfrac99)]이므로 [math(1)]이 된다.
    순환소수의 유리화라는 것이 바로 아래에서 설명하는 수렴하는 등비급수의 계산법에서 나온 것이다. 즉 두 번째 방법과 마찬가지로 극한값의 존재 여부를 건너뛴 셈.
  • 정 [math(\cdots)]이라는 표시가 거슬린다면 등비급수를 생각할 수도 있다. [math(a = 0.999\cdots = 0.9+0.09+0.009+0.0009\cdots)]이므로 등비급수의 합을 구하는 방법에 의해 첫째항이 [math(0.9)]이고 공비가 [math(0.1)]이므로, [math(\dfrac{0.9}{1-0.1}=1)]이다.
    아니면 중학교 2학년 1학기 때 배우는 순환소수 분모 0이 아닌 분수로 나타내는 법으로 증명할 수 있다. [math(a.\dot b = \dfrac{\overline{ab}-a}{9} \therefore 0.999\cdots = 0.\dot9 \rightarrow a = 0, b = 9 \therefore \dfrac99=1)]이다.[15]
  • [math(0.999cdotsne1)]이라고 하자.
    그러면 실수의 삼분법(trichotomy)[16]에 따라 [math(\begin{cases}0.\dot9>1 \\ 0.\dot9<1\end{cases})] 중 하나를 만족한다. 일단 [math(0.\dot9)]는 정수 부분이 [math(1)]보다 작으므로 자명하게 [math(0.\dot9>1)]은 거짓이다. 다음으로 [math(0.\dot9<1)]라면 실수의 조밀성에 따라 [math(0.\dot9<a<1)]인 어떤 실수 [math(a)]가 존재하고 [math(a:=0.a_1a_2a_3\cdots ~(a_i \in \{0,\,1,\,2,\,\cdots,\,9\}))]라 하자. [math(0.999\cdots < 0.a_1a_2a_3\cdots)]인데 [math(a_1)]이 [math(0,\,1,\,2,\,\cdots,\,8)]중 하나라면 [math(0.\dot9>a)]이므로 모순. 따라서 [math(a_1=9)]이다. 같은 방법을 계속 반복하면 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(a_n=9)]가 되는데 이는 앞서 가정한 [math(0.\dot9<a<1)]에 모순이므로 [math(0.\dot9<1)]역시 거짓이다. [math(\begin{cases}0.\dot9>1\\0.\dot9<1\end{cases})]의 두 가지 경우가 모두 거짓이므로 [math(0.\dot9\ne1)]이라는 가정이 틀렸다. 따라서 [math(0.\dot9=1)]이다.
  • 모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(0<n<10^n)]이므로 [math(0<\dfrac1{10^n}<\dfrac1n)]이 성립한다. 실수의 아르키메데스 성질에 의해 수열 [math(\left\{\dfrac1n\right\})]은 [math(0)]으로 수렴하므로, 샌드위치 정리에 의해 수열 [math(\left\{\dfrac1{10^n}\right\})]도 [math(0)]으로 수렴한다. 그러면 극한의 성질에 따라 [math(\lim\limits_{n\to \infty}\left(1-\dfrac1{10^n}\right)=1)] 상기 증명들에 쓰인 것보다는 다소 고급 개념인 '극한'이 쓰였지만 [math(0.\dot9)]라는 수의 본질을 잘 드러내는 증명인데 [math(0.\dot9)] 자체가 극한 [math(\lim\limits_{n\to\infty}{\left(1-\dfrac1{10^n}\right)})]의 수렴값([math(1)])을 다르게 나타낸 표기법 중 하나라는 것이다. 즉, 둘 사이에는 어떠한 미세한 차이가 있는 게 아니고 그냥 같다.

3.3. 무한소를 도입한 수 체계에서

많이들 헷갈려 하는 것 중 하나로, 무한소를 고려하면 [math(0.999\cdots\neq 1)]일 것 같아 보이지만 그렇지 않다. 무한소의 개념을 허용한 비표준 해석학에서도 [math(0.999\cdots=1)]이다. 왜냐하면 무한소수 자체가 실수를 표기하는 한 방법이기 때문이다. 다만, 초실수 중에는 [math(1)]에 무한히 가깝지만, [math(1)]보다는 작은 수가 존재하는데, 예를 들어서 수열 [math(a_n=0.9+0.09+0.009+\cdots+9\cdot(0.1)^n)]에 대응하는 초실수가 존재해서[17] 이 수는 [math(1)]과의 차가 [math(0)]보다 크고 임의의 양의 실수보다 작다. 이 수를 [math((a_n)_{U})]라고 하면, 임의의 [math(1)]보다 작은 실수 [math(x)]에 대하여
[math(x<(a_n)_U< 0.999\cdots=1)]
이다. '직관적'으로 움직이는 수(?) 같은 것은 [math(0.999\cdots)]이 아니라 [math(\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n\frac9{10^i}\right)_U)]인 셈. 이것은 어디까지나 정의의 문제이다.

물론, 수학은 자유롭기 때문에[18] 누군가 혼자 [math(0.999\cdots)]이란 [math(\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n\frac9{10^i}\right)_U)]를 나타내는 표기법으로 삼을 수도 있을 것이다. 그러나, 표기의 일관성을 고려하면, 수많은 이름 없는 무리수들이 표기법을 잃어버리게 된다. 예를 들어 [math(0.239495994929039202045\cdots)]이라는 무한 소수는 수열 [math((0.2,\,0.23,\,0.239,\,0.2394,\,0.23949,\,\cdots))]에 대응하는, 실수가 아닌[19] 초실수가 될 터인데, 그렇다면 기존의 [math(0.239495994929039202045\cdots)]가 나타내고 있던 무리수는 무슨 방법으로 표현해낼지가 문제가 된다. 극한을 이용해서
[math(\lim\limits_{n\to\infty}(0.2,\,0.23,\,0.239,\,0.2394,\,0.23949,\,\cdots))]
라고 표현할 수 있겠지만,[20] 초실수체라는 복잡한 개념 때문에, 더 쉽고 더 자주 사용하는 실수를 번거롭게 표기해야 할 이유가 전혀 없다.그리고 모든 초실수를 표현할 수 있는 십진 표기법이 이미 존재한다. 그런 표기법하에서
[math(1=0.999\cdots=0.99\cdots;\cdots 999\cdots)][21]라고 한다. 자세한 내용은 참조.

4. 반박과 재반박

물론 이에 대한 반박은 단순히 인터넷 꾸준글 수준이 아니라 역사적이라고 해도 될 만큼 오래 있었다.
  • [math(0.999\cdots)]는 [math(1)]에 한없이 다가가는 수이지 [math(1)]이 안 된다.
    • 다시 한번 강조하지만 다가가는 수 따위는 수학에서 존재하지 않는다. 숫자 [math(1)]이 [math(1.0001)]도 [math(0.9999)]도 아닌 정확한 [math(1)]인 것처럼 [math(0.999\cdots)]는 엄연히 고정된 수이고 그 값은 매우 정확히 [math(1)]이다. 값이 고정된 "숫자"임에도 생김새 때문에 매우 많은 사람들이 '다가간다'고 착각하고 있다. 극한에서 다가간다는 표현을 쓰는 것은, [math(x)]값, 함숫값 또는 수열의 항 등이 점점 어떤 값에 가까운 값을 갖게 된다는 의미이지, 특정한 숫자 자체가 움직인다는 뜻은 아니다. [math(0.9)], [math(0.99)], [math(0.999)]와 같은 유한소수를 순차적으로 떠올리면서 [math(0.999\cdots)]를 생각한다면, 그것은 결국 [math(1-\varepsilon)]의 값에서 [math(\varepsilon)]의 차이를 줄여나간다는 의미와 같다. 이 문제 때문에 엡실론-델타 논법에서는 '한없이'와 '다가간다'라는 표현 자체가 배제된 채로 전개된다.
  • [math(0.999\cdots)] 가 1과 같다면 [math(1 - 0.999\cdots=0)]이 성립되어야 한다.
    • [math(1 - 0.999\cdots)]는 [math(0.000\cdots)]으로 [math(0)]이기에 [math(1 - 0.999\cdots = 0)]이다.
  • [math(0.999\cdots)] 가 [math(1)]과 같다면 각각의 제곱도 [math(1)]이어야 한다.[22]
    • 양변에 로그를 취해 [math(2 \log 0.999\cdots = 2 \log 1 = 0)]임을 보일 수 있다.[23]

조금 더 그럴싸한 반박으로는 다음과 같은 것이 있다. "[math(S = \{x\mid x<1\})]이라 하자. [math(0.9)]는 [math(S)]의 원소이다. [math(0.99)] 역시 [math(S)]의 원소이다. [math(0.\overbrace{999\cdots9}^k)]가 [math(S)]의 원소일 때, [math(0.\overbrace{999\cdots9}^{k+1})] 역시 [math(S)]의 원소이다. 따라서 [math(0.999\cdots)] 역시 [math(S)]의 원소일 수밖에 없고 [math(0.999\cdots<1)]이다."라는 것이다. 당연하지만 틀린 증명인데, 왜냐하면 이 논리는 모든 자연수 [math(n)]에 대해 유한소수 [math(0.\overbrace{999\cdots9}^n)]가 [math(S)]의 원소임을 말해줄 뿐이고, [math(S)]가 실수에서 닫힌 집합(closed set)이 아니기 때문이다. 어떤 집합이 닫혀있다는 것은, [math(S)]의 원소로 이루어진 임의의 수렴하는 수열 [math(\{a_n\})]에 대해 그 극한값이 [math(S)]의 원소라는 것으로 정의된다. 이런 정의가 있다는 것은 당연하지만 모든 실수의 부분집합이 닫힌 집합인 것은 아님을 암시한다. 임의의 자연수 [math(n)]에 대해 [math(0.\overbrace{999\ldots9}^n)]가 [math(S)]의 원소이더라도 [math(0.999\cdots)]는 그렇지 않을 수도 있다는 것을 의미한다.

5. 논란이 발생하는 이유

5.1. 교육과정상의 문제

현재 한국 중등교과의 순환소수 도입에서 [math(0.999\cdots=1)]의 문제를 논하는 것은 금기시되고 있다. 교육부 및 평가원의 2015 개정 교육과정 고시[24]에는 대놓고 "유한소수를 순환소수로 나타내는 것은 다루지 않는다."라고 교수학습 유의사항에 명시되어 있다. 유한소수를 순환소수로 나타낼 수 있는 경우는 [math(XXX.XX999\cdots)] 같은 꼴이 유일하기 때문에, 이건 누가 봐도 이 문제를 저격한 것이다. 그 다음 항목이 바로 "순환소수를 분수로 고치는 것은 순환소수가 유리수임을 이해할 수 있는 정도로 다룬다"이다.

순환소수의 개념이 상당히 느슨하게 다루어지고 있지만, 소수가 나오는 수준을 생각하면 이게 맞다. 초등교과에서 제기된 소수의 나눗셈에 대한 의문을[25] 조금이나마 풀어주면서 한편으로는 실수에 대한 도입 역할로서 무한소수를 소개하는 정도에 그쳐야 하는데, 이런 상황에서 극한이니 뭐니 하며 만리장성을 쌓으려 들면 바로 수포자를 양산하는 악순환이 시작된다. 실제로 1960년대~1970년대 즈음에 아동·청소년의 인지능력이나 심리적 발달주기 따위는 알 바 아니라는 듯이 오로지 학술적 엄밀함만을 강조하는 본질주의적 수학교육이 유행했으나 결과적으로 수포자만 늘어났던 전례가 있다.[26] 이런 교육학적 고찰도 없이 [math(0.999\cdots=1)]에 대한 오해의 원인을 무작정 교사들이 멍청하다거나 엄밀한 정의를 가르치지 않는 교육과정이 틀려먹었다고 단순하게만 주장하는 것은 비판이라기보다는 부당하고 모욕적인 '비난'에 가깝다. 교사는 당연히 전공자이며, 내용을 몰라서 못 가르치는 게 아니라 교육 과정과 학생의 발달 단계를 고려하여 내용을 알아도 안 가르치는 것이다.

문제는 이 [math(0.999\cdots)]의 존재를 생각하지 않으면서 오개념이 발생하는 위험이다. 대부분의 사람들이 극한의 정의에만 매몰되어 [math(0.999\cdots=1)]에 불편함을 느끼는 심리적인 이유를 간과하는데, 바로 수의 기수법 표현이 유일하다는 고정관념이다. 사실 [math(0.999\cdots=1)]을 보면 바로 '어 생각해보니 그러네'라는 소리가 나오긴 하지만, 이 점을 생각하지 않는다면 이건 [math(0.999\cdots=1)]을 알고 있는 사람도, 심지어 수학 전공자들도 가끔씩 착각하는 오개념이다. 또한 저 식은 유한소수 표현이랑 순환소수 표현이 같아질 수 있다는 것을 의미하기도 하며 애초에 유한소수라는 개념이 특정 진법에서 소수점 아래에서 끝에 오는 [math(\bf0)]은 생략한다는 인위적인 약속에 의해 생겨난 작위적인 개념이며 소수점 아래에서 특정 자리수 이후로 [math(\bf0)]이 반복되는 무한 소수를 다르게 부르는 것에 불과하다.[27]유한소수와 순환소수는 칼같이 나누어 질 수 있는 게 아니고, 실수의 하위분류는 더더욱 아니다. 수의 표현과 수의 차이를 엄밀히 구분하지 못하는 것은 추상성이 충분히 발달하지 못한 초/중등 과정에서 흔히 발생하는 오개념 중 하나이다. 하지만 [math(0.999\cdots=1)]은 상기한 오개념들의 '유일한' 반례이기 때문에, 10진법 외의 진법을 배우지 않는 한 이것만 없으면 모든 실수를 소수표현으로 유일하게 나타내고, 유한소수/순환소수의 분류 기준을 엄밀히 세우는 것이 그럴듯해 보이는 착각을 준다. 이런 상황에서 기존의 고정관념을 지키고자 한다면 [math(0.999\cdots=1)]을 부정하기 위해 이상한 논리를 만들어내게 되는 것이다.

상기 증명 항목의 세로셈법 계산을 '끝없이 계산하는 것' 혹은 순환소수의 표기를 무한급수 개념으로 대체함에 따라 직관적으로 '무한히 계산하는 것', '다가가는 수' 등으로 오해하게 된 것도 한몫한다. '[math(\cdots)]'과 같은 표기를 쓰는 이유는 단지 [math(0.\dot9)], [math(0.\overline9)] 같이 순환마디를 명시하는 표기를 쓰지 않으면 10진법 체계에서 해당 값을 정확하게 나타낼 수 없기 때문(표기상의 문제)에 불과하며, \'한없이 다가가가는 중' 혹은 ' 끝없이 계산 중'이라는 것을 의미하는 게 아니다. 이는 수직선( 실직선)을 이용해서 도식화하면 더 명확해지는데 [math(\dfrac{0.999\cdots}9 = 0.111\cdots = 0.\dot1 = \dfrac19)]이며 이는 수직선상에 구간 [math([0,1])]을 [math(9)]등분하는 점 중 가장 작은 값의 고정된 점이다. [math(0.999\cdots = 9\times0.111\cdots)]는 앞선 점보다 원점에서 [math(9)]배 떨어진 고정된 지점이며, 그 값은 정확하게 [math(9\times\dfrac19 = 1)]로, '다가가는 수' 혹은 '한없이 가까워지는 것'이 아님이 명확하게 드러난다.

즉 유한소수와 순환소수를 수의 '표현'이 아니라 '수' 자체로 간주하는 사고방식, 기수법 표현의 유일성에 대한 정확하지 못한 언급, 유리수가 유한소수와 순환소수로 분류된다는 뉘앙스를 주는 서술방식 이들 모두가 [math(0.999\cdots=1)]에 대한 오해에 기여한다고 볼 수 있다. 이상적인 중등 수학 교사라면 항상 [math(0.999\cdots)]을 염두에 두며 오해의 소지가 있는 이런 표현들을 피하면서도, 한편으로는 수준 밖 내용을 끌어들이지 않기 위해 [math(0.999\cdots)]에 대한 언급 자체를 되도록 피해야 하며, 만약 혹시 모를 학생이 [math(0.999\cdots)]을 물어본다면 학생의 수준 내에서 정확하게 설명해 줄 수 있어야 한다. 물론 현실에서는 그런 거 깔끔하게 씹는 참고서가 넘쳐나며 그런 참고서를 본 학생들의 수학교사를 향한 질문도 매년 반복된다. 하지만 이런 질문에 슬기로운 대처와 썩 만족스럽지 못한 반응을 보이는 학생에 대한 적절한 지도는 막 처음으로 모의수업을 해보는 사범대생과 중등교원임용 수험생부터 오랜 경력의 정교사에 이르기까지 늘 고민과 시행착오를 반복하며 자신만의 교육철학을 정립해야 하는 교사들의 숙명이다.

5.2. 실생활/타 학문에서의 문제

[math(0.999\cdots=1)]은 수학적으로 확립된, 의심할 수 없는 사실이지만 실생활이나 수학 이외의 학문에서는 유의미하게 쓸 일이 없다. 수를 직관적이고 실용적으로 받아들이는 일반인 입장에서 선뜻 받아들이기 힘든 이유 중 하나로 생각해 볼 수 있다. 예를 들어 '[math(0.999\cdots=1)]이면 네 키는 [math(\rm170\,cm)]라고 안 하고 [math(\rm169.999\cdots\,cm)]라고 하냐?' 라는 유머가 있다.

대학에서 물리나 화학 등을 배워보면 알겠지만, 실제 세계에서 볼 수 있는 측정값이라는 것은 측정하는 기계의 한계[28]로 인해 오차가 있을 수밖에 없다는 전제를 깔고 들어간다.[29] 여기서 나온 개념이 바로 유효숫자. 즉, 키 [math(\rm170\,cm)]는 한 치의 오차가 없는 정확한 수치가 아니라 키가 [math(\rm169.5\,cm)]에서 [math(\rm170.5\,cm)] 사이라는 것을 의미한다.[30] 실제 세계에서의 모든 측정값은 측정의 한계 때문에 이렇게 연속적인 수치인 것처럼 착각하게 되는 이산적인 수치로 되어 있다.[31] 따라서 [math(0.999\cdots)] 같은 수치는 수학 이론으로 이뤄진 수학의 세계에서만 존재하는 것이며, 실용적인 용도로는 접할 일이 없다. 즉, 일상적인 어림법과 직관으로 수를 받아들이는 일반인들과, 수학 이론과 공리계를 통해서 수를 받아들이는 수학자는 애초에 수를 바라보는 시선이 다르기 때문에 이해하기 어려운 것이다.

여기서 불거지는 문제 중 하나가 바로 무리수를 받아들이는 것이다. 수학사에서 수 체계의 완성이 복소수 사원수가 가장 늦었을 것 같지만, 실제로는 실수가 가장 늦게 완성되었다.[32][33] 그 정도로 실수에 대한 이해 과정이 어렵다는 방증이다.[34]

다만 그 자체로 단위가 정의된 값[35]이나 '사과 2개', '연필 3개' 등에서 쓰이는 2, 3 같은 숫자는 오차 없이 쓸 수 있다. 하지만 전자는 정의된 값이지 측정된 값은 아니며 후자는 소수 표현을 사용할 필요가 전혀 없다. 사과 한 개면 한 개고 두 개면 두 개지, '사과 1.4269개' 같은 것은 상상할 수 없기 때문이다.[36] 물론 실생활에서는 '사과 반 개' 같은 표현이 쓰이기도 하지만, 이건 사과를 정확히 [math(\dfrac12)]개씩 나눴다는 것이 아니라 적당히 반쯤으로 나눴다는 뜻이므로 수학적으로 논의할 가치는 없다. 물론 눈에 안 띄는 물건에 대해서도 세어야 하나, 이에 대해서는 반올림이다.

6. 기타

[math(0.999\cdots=1)]이라는 것은 [math(1+1=2)]라는 사실만큼이나 당연한 것이지만, 언뜻 보기에 너무나 오해하기 쉬운 모습 때문인지 현재까지도 인터넷 등지에서는 게시판이나 포럼에서는 격렬한 논란을 일으켜 불바다로 만드는 떡밥으로 언급된다. 북미에서 인터넷이 보급되면서 시작해 지금까지도 한번 판 터지면 양쪽에서 그야말로 입에서 거품을 무는 장관이 펼쳐진다. 블리자드 배틀넷에서 하루가 멀다 하고 이 주제를 가지고 싸움이 나자 2004년 블리자드에서 공식으로 [math(0.999\cdots=1)]이 옳습니다하고 공지한 적이 있다.

이는 중등수학에서 '순환하는 무한소수의 분수꼴 표현'과 고등수학에서 '극한값을 이용한 무한소수의 합 구하기'를 철저하다 못해 훈련하듯 배우는 대한민국도 예외는 아니라 디시인사이드 수학 갤러리의 공지글, 나무위키의 [math(0.999\cdots=1)] 문서 등에 그 고충이 묻어나고 있다.[37] 특히 수갤에서는 워낙 자주 올라온 꾸준글이어서 금지 떡밥으로 지정되어 공지에 오르는 등 수갤러들이 얼마나 이 문제로 오랫동안 지겹도록 시달리고 있는지 알 수 있다.

한국에서도 유명한 수학 귀신에서도 주인공 로베르트가 [math(0.999\cdots)]에는 마지막 [math(9)]가 없으니 [math(1)]이 아니라는 의문을 던지고 테플로탁슬을 매우 빡치게 한다. 책의 77쪽 참고.

수학과 전혀 상관없을 법하지만 격투만화인 그래플러 바키의 등장인물 오로치 돗포의 회상씬에서 등장하기도 했다. [math(0.999\cdots)]의 마지막 [math(9)]를 찾기 위해 노력했지만 결국엔 [math(0.999\cdots=1)]임을 인정한다.

월드 오브 워크래프트의 공격대 던전 울두아르에서 '고대 기록관 자료 원반' 퀘스트를 수행하면 알갈론이 아제로스를 분석한 후 신호 오메가를 보낼 확률은 [math(99.99\cdots\%)]의 순환소수라고 한다.

2011년 3월 20일 한국산업인력공단 주최로 실시된 사회조사분석사 자격증 시험에 응시해 [math(59.999\cdots)]점을 득점했으나 합격기준점수인 [math(60)]점에 미달돼 불합격 처리 됐던 사건이 있다. 다행히 국민권익위원회에 의해 시정조치되어 합격으로 고쳐졌다.

이와 관련된 썰이 하나 있는데 케이크를 3등분하면 [math(0.333\cdots)]인데 그럼 남은 [math(0.000\cdots1)][38]은 어디 있냐고 묻자 칼에 붙어있다는 드립을 친다.

6.1. 무한수

무한소수와 비슷하게, 단지 소수점 아래로 가는 것이 아닌 위의 자리로 무한대로 같은 숫자가 반복되는 십진수, 예컨대 [math(\cdots 333333333333333333=\dot{3})]을 생각해 보자. 이는 무한등비급수 [math(3+30+300+3000+\cdots)]과 같은데, 급수가 무한대로 발산하기 때문에 어떠한 값을 가지지 못한다. 그렇지만 이 값이 어떤 실수 [math(x)]라고 가정해 보자. 그렇다면 [math(x-10x=\cdots 3333333-\cdots3333330=3)]이므로, [math(x=-\dfrac{1}{3}=-0.\dot{3}=-0.333333333\cdots)]이다. 즉, 무한등비급수 [math(3+30+300+3000+\cdots)]의 값이 정의된다면 그것은 [math(-\dfrac{1}{3})]이다.[39]

그렇다면 ...9999인 경우는 어떻게 될까? 마찬가지로, 이 값은 -1이 된다. ...9999에 1을 더해 보자. 그러면 무한히 0이 반복되는 십진수가 나온다. 우리는 모든 자릿수가 0인 수는 0뿐이라는 것을 이미 알고 있다. 즉 소수점을 기준으로, 소수점 뒤로 9를 무한히 쓰면 1이, 소수점 앞으로 9를 무한히 쓰면 -1이 되는 일이 일어나는 것이다. 무한소수를 직관으로 이해하는 사람은 0.9999...=1을 받아들일 수는 있을지언정, ...9999=-1이라고 받아들일 수는 없을 것이다. 심지어는 0.9999...=1이라고 철석같이 믿고 이해하던 사람도 말이다. 이건 당연하다. 0.9999...는 하나의 값으로 정의되지만, ...9999는 값을 정의할 수 없기 때문이다. 위의 계산 과정은 그저 그 값을 정의할 수 있다고 억지로 가정한 뒤에 풀이한 것이다. 물론 수학적으로 의미가 전혀 없는 과정은 결코 아니다.[40] 이런 걸 응용한 것을 p진수라고 하는데, p진수에서는 코시 엡실론-델타 논법에서 수렴할 때 쓰는 절댓값 대신 p진 거리로 바꾼 것뿐이다. p진 거리는 오른쪽부터 세서 처음으로 0이 아닌 수의 자리의 위치를 본다.

사실 생략되어 있을 뿐 우리가 십진수로 쓰는 모든 표현은 소수점이 끝나는 것처럼 보이는 자리 뒤에 0이 무한히 많이, 그리고 맨 앞 자릿수 앞에도 0이 무한히 많이 붙어 있는 형태로 쓸 수 있다는 것은 금방 이해할 수 있다. 무한수 및 무한소수는 이렇게 무한히 반복되는 형태로 인해 정보량이 제약된 어떠한 형태를 유한한 정보량의 유리수로 대입하여 정의한 것에 불과하다. 즉, 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... 를 계속 하면 언젠가 1이 된다는 게 아니라, 1을 다른 방식으로 0.999...라고 표현하기로 약속했다고 이해하는 편이 무한소수의 정의 관점에서는 더 정확한 표현이다.

7. 외부 링크

8. 관련 문서



[1] 학부 전공수학 과목은 대학원에 가지 않은 수학도가 혼자만의 힘으로는 도저히 땜질하기 어려울만큼 휘발성이 매우 강한 토픽들이다. 3대 작도 불능 문제의 작도불능성 증명만 해도 학부 수준 현대대수학에서 중요한 토픽으로 꼽히지만 임용시험에 붙고 교육현장에서 일하다보면 교사들도 학생들 앞에서 수학상식으로 살짝 언급하는 수준을 넘어 직접 엄밀하게 증명하라 요구받을 경우 머릿속에 남아있는게 없어서 못하는게 현실이다. 이는 수학뿐만이 아닌 대부분의 교과 과목에서 모두 나타나지만 현실적으로 해결할 방법이 없는 현상이다. [2] ZFC 공리계, 초한기수, 절대적 무한 같은 빌드업이 선행돼야 한다. [3] 그 유명한 아이작 뉴턴이 비슷한 오류를 저질러서 수학자도 아닌 조지 버클리한테 까였고, 이를 계기로 코시 바이어슈트라스에 의해 미적분학을 엄밀하게 바닥부터 쌓아올려 완성시킨 게 해석학이다. [4] 사실 현대수학의 학습방법과 교육방법부터가 학습자를 위한 동기부여 따위는 내다버린 채 연역적이고 철학적이고 피곤하고 딱딱하고 불친절한 커리큘럼으로 점철되어 있다는 본질적인 문제가 있다. 본 문서에서 소개하는 떡밥은, 사실상 선행과정을 아득바득 클리어하며 올라온 학습자들에게 "너희들은 아무것도 모른다"며 채찍질을 거듭하는 지적 고문의 극히 순한맛에 불과하다. 수학교육 내실화(가급적 많은 분량을 엄밀하게 가르치자!)를 주장하는 대한수학회의 원성이 교육부에겐 늘 무시당하는 이유이기도 하다. 이런 채찍질에 질려 환멸에 빠져드는 많은 수학과생들이 수포자(수학과 기준의 수포자)로 흑화하여 다른 전공분야와 직무분야로 발길을 돌리며, 이 채찍질을 견뎌내는 독종들만이 대학원에서도 살아남아 수학자다운 수학자로 태어나는 것이다. [5] 한 술 더 뜨면 대학의 관련 전공에서는 복소평면에서 벗어나 제곱해서 [math(-1)]이 되지만 [math(i)]가 아닌 또다른 허수 [math(j)]와 [math(k)]가 존재할 수 있다는 사원수 개념을 배우게 될 것이다. [6] 정수부가 0이고 소수부에 9가 무한히 오는 숫자를 [math(0.999\cdots)]로 쓰는 것이 수학에서 잘 정의되어 있는지 묻는다면 수학자들은 아니라고 할 것이다. [7] [math(0.999\cdots)]를 정수부가 0이고 소수부에 9가 무한히 오는 숫자로 인식하는지 묻는다면 절대 다수의 사람들은 그렇다고 할 것이다. [8] [math(x)]가 상계이고 [math(a < x)]인 모든 [math(a)]에 대해서 [math(a)]가 상계가 아니라면 [math(x)]는 상한이다. [9] [math(\lceil x \rceil)]은 천장 함수, [math(\lfloor x \rfloor)]은 바닥 함수라고 하며, 각각의 정의는 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}\lfloor x\rfloor&=\max\{n\in\mathbb Z\colon n\le x\} \\ \lceil x\rceil&=\min\{n\in\mathbb Z\colon n\ge x\}\end{aligned})]
바닥 함수는 흔히 말하는 가우스 기호와 같은 함수로, 소수점 아래를 버리는 함수이며, 천장 함수는 반대로 소수점 아래를 정수로 올리는 함수다.
[10] 부등식을 만족하는 [math(N)]을 구하는 것이기 때문에 [math(N(\varepsilon))]이 단 하나로 정해지는 건 아니다. 이를테면 [math(N(\varepsilon)=\left\lceil\log_{10}\dfrac2\varepsilon\right\rceil)]라고 놓아도 똑같은 과정을 거쳐 [math(\dfrac1{10^n}<\dfrac\varepsilon2)]이 얻어지므로 [math(|a_n-1|<\varepsilon)]을 만족한다. [11] 보통은 최댓값이 나오지 않는 값을 넣게 되면 그 다음 자릿수에서 두 자릿수 이상이 나오기 때문에 결과적으로 먼저 구한 앞 자릿수에 더해야하는 번거로운 과정이 들어간다. 이 과정을 피하기 위해 크지 않은 최댓값이 나오도록 계산하게 가르치는 것이다. 단, 세로셈법으로 계산한 결과 뺄셈에서 [math(0)]으로 딱 나누어 떨어지는 과정에 한하여 위와 같이 한자릿수가 무한히 이어지는 계산이 가능하다. 즉 [math(\dfrac12 = 0.5 = 0.4\dot9)]나 [math(\dfrac15 = 0.2 = 0.1\dot9)]도 같은 방법으로 보일 수 있다. [12] 이와 동시에 '소수점 아래에서 반복되는 [math(0)]은 생략한다'는 약속을 같이 고려하면 [math(9\div9 = 1)]는 사실 [math(9\div9 = 1.\dot0)]임을 알 수 있다. 즉, 본질적으로 모든 소수는 순환소수이며 유한소수는 '순환마디의 길이가 [math(1)]이고 그 값이 [math(0)]인 순환소수'로 정의할 수 있다. 이렇게 정의하면 십진법에서 유한소수였던 것이 다른 진법에서 무한소수가 되는 것(예: [math(\dfrac18 = 0.125)]는 9진법에서 [math(0.\dot1_{(9)})])이 그다지 이상한 현상이 아님을 알 수 있다. 애초에 [math(0)]이 반복되는 순환소수([math(0.125 = 0.125\dot0)])이기 때문이다. [13] 같은 방식으로 [math(\dfrac19 = 0.111\cdots)]을 이용할 수도 있다. [14] 즉 임의의 유한수에 무한소를 더한 걸 기존의 유한수와 동일한 값으로 취급할 지에 대한 문제다. 1+무한소=1.000...=1 꼴의 논리다. 다만 무한소수의 소수점 뒤에 붙은 숫자의 개수는 절대적으로 무한하기 때문에 별 문제는 없다. [15] 무한소수 2.1문단 참조. [16] 임의의 두 실수 [math(a,\,b)]의 관계는 [math(\begin{cases}a = b \\ a < b \\ a > b\end{cases})] 중 하나만 성립한다. [17] 유리수에서 실수를 구성할 때, 유리수 코시 수열을 이용하는 것 처럼 실수열을 이용하여 실수에서 초실수를 만들어 낼 수 있다. [18] 그러나 자유에는 책임이 뒤따르고, [math(0.999\cdots\ne1)]이라고 한다면 [math(0.999\cdots)]는 도대체 뭔지 엄밀하게 정의해줄 의무가 뒤따른다. [19] ultrapower construction에 의한 방법에서 어떤 수열이 어떤 실수 [math(r)]에 대응되려면, 적어도 그 수열의 무한개의 항이 [math(r)]이어야 한다. 이 경우에는 소수 [math(n)]번째 이하의 자리에서 모두 [math(0)](즉, 유한소수)이 아닌 이상은 불가능하다. [20] 같은 논리로 [math(\pi= 3.14\cdots)] 라고하면 안되고, 수열 [math(3,\,3.1,\,3.14,\,\cdots)]의 극한으로 나타내야만 한다. 물론 이 경우에는 나타낼 기호가 있어서 앞의 경우보다는 문제가 적겠지만... [21] [math(1)]과 [math(0.999\cdots)]는 그냥 일반적인 실수의 십진법이고 우변이 초실수의 십진법이다. 소수점 이하의 수 중에서 '[math(;)]'의 좌측에 있는 [math(0\sim 9)]는 자연수 [math(n)]에 대해 소수 [math(n)]번째 자리의 수이고, '[math(;)]'의 우측에 있는 [math(0\sim 9)]는 자연수가 아닌 초자연수 [math(H)]에 대해 소수 [math(H)]번째 자리의 수이다. [22] 로지컬이 이것으로 반박했다. [23] 좌변에서 로그를 자연로그로 골라 테일러 전개
[math(\ln 0.999\cdots=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n+1}(-1+ 0.999\cdots)^n}n)]
를 풀어 이 무한합이 수렴하는지를 보면 된다.
[24] 여기서 확인 가능. 수학과는 별책 8 [25] 초등 6학년까지의 소수의 나눗셈에서는 유한자리까지만 계산하고 나머지는 근삿값 처리하고, 무한한 자릿수를 언급하는 것은 금지된다. [26] 이를 새수학운동 내지는 수학교육 현대화 운동, 현대수학운동이라 칭한다. 자세한 사연은 스푸트니크 쇼크, 니콜라 부르바키, 제3차 교육과정 참조. [27] 대표적인 예로 [math(\dfrac18=0.125)]같이 10진법에서 유한소수로 보이는 소수도 9진법에서는 [math(0.\dot1_{(9)})]인 무한소수이자 10진법이라도 0.125 뒤에 0이 무한이 붙는 게 된다. [28] 더 나아가면 측정하는 기계의 한계를 완전히 배제하더라도 불확정성 원리를 피할 수 없다. [29] 고등학교 과정까지는 계산상의 편의를 위해 이 개념을 생략하고 측정값 역시 수학적인 수로 취급한다. 이 역시 일반인과 과학자 사이에 인식의 괴리가 발생하는 이유 중 하나이다. 대학 과정부터는 실험값에 반드시 오차범위를 추가하지 않으면 '나는 이 값이 단 [math(1)] 퀙토미터의 오차도 없는 정확한 값이라고 주장한다!' 라는 뜻이 되기 때문에 틀린 답이 된다. [30] 단 오직 자연수만 띠는 개수의 경우 오차 없이 완벽히 도달할 수 있다. [31] 또한 기계도 이정도인데 완벽하지 않은 인간은 어떤가 할 수도 있다. 이런 식으로 확률론까지 내세울 수도 있을 정도. [32] 복소수는 지롤라모 카르다노 삼차방정식 풀이를 위해 유용하게 써먹었으며, 사원수는 윌리엄 로원 해밀턴이 다리 난간에 칼로 낙서를 하며 뚝딱 만들었다. [33] 우리가 아는 실수 체계가 완성된 것은 19세기에 데데킨트 절단이 등장한 것으로 이제 100년이 좀 넘었다. 이후에 하이네-보렐 정리, 볼차노-바이어슈트라스 정리 같은 것들이 등장해서 실수의 정의는 더더욱 엄밀해졌다. 이른바 ' 콤팩트성'이라는 개념이 이 과정에서 등장한 것이다. [34] 실제로 실수의 성질을 연구하는 실해석학은 별별 희한한 반례가 튀어나온다. 예컨대 미분은 되는 함수인데, 그 도함수로 정적분을 구할 수 없는 함수가 있다면 믿겠는가? [35] 대표적인 예로 (진공에서의) 빛의 속도가 있다. 미터의 정의 자체가 빛의 속도에 따라 되어 있기 때문. 따라서 빛의 속도 [math(\rm299\,792\,458\,m/s)]를 [math(\rm299\,792\,457.999\cdots\,m/s)]라고 적는 것은 맞는 표현이다. [36] 물론, 사과 14269개를 10000명의 사람에게 나눠주는 상황에 통계학을 동원하면 '1인당 평균 1.4269개'라는 표현은 존재할 수 있다. 그러나, 평균 역시 측정값이며 평균 말고도 통계학에서 다루는 여러 추정값 역시 오차가 있는 측정값이다. [37] 당장 이 문서의 역사 부분만 봐도 격렬한 수정전쟁이 일어난 것을 목격할 수 있을 것이다. [38] 현대수학에서는 정의되지 않는다. 있다해도 소수부의 0이 무한개가 아닌 유한소수로 본다. [39] 하지만 반박도 당연히 있다. 만약[math(\cdots33333=-\frac{1}{3})]이라면 이렇게 된다. 우변의 [math(-\frac{1}{3})]을 좌변으로 이항하면 [math(\cdots333333.333333\cdots=0)]이라는 것이다. 당연히, 이 말도 일리는 있다. 다만 기본적으로 저런 라마누잔합은 통상적인 계산과 다르다고 보기 때문에 이항 자체가 큰 의미가 없다. 애당초 무한급수의 합은 절대수렴하지 않는 이상 순서의 재배치등에 큰 영향을 받는 경우가 많아서 이항은 아예 논외다. [40] 이것도, 바로 위의 주석과 같다.