최근 수정 시각 : 2022-09-03 20:33:40

발산 정리


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1. 개요
1.1. 2차원에서의 발산정리1.2. 3차원에서의 발산정리
2. 관련 문서

1. 개요

발산 정리(Divergence theorem) 혹은 가우스 정리(Gauss's theorem)라고도 한다. 물리학의 가우스 법칙과도 관련이 있다. 미분위상수학의 스토크스 정리의 특수한 경우이기도 한데, 대학 미적분학에서 보통 스토크스 정리(Stokes theorem)라고 하면 켈빈-스토크스 정리(Kelvin-Stokes theorem)를 뜻한다.

어떤 벡터장 [math(\mathbf{F}(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)=(f_1,\,f_2,\,\cdots,\,f_n))]의 발산

[math(\displaystyle \mathrm{div} \,\mathbf{F} = \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f_i}{\partial x_i} )]

로 정의한다.

1.1. 2차원에서의 발산정리

좌표평면의 유계인 영역 [math(D)]에서 정의된 벡터장 [math(F(x,\,y))]에 대하여

[math(\displaystyle \int_{\partial D} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \,\mathrm{d}s = \iint_D \nabla \cdot \,\mathbf{F} \,\mathrm{d}V )]

가 성립한다. 여기서 [math(n)]은 영역 [math(D)]의 경계선에 대한 단위법선벡터다.

하지만, 영역 [math(D)]가 벡터장 [math(\mathbf{F})]을 포함하지 않을 때([math(\mathbf{F})]가 [math(D)]의 어딘가에서 정의되지 않을 때), 발산정리를 섣불리 사용할 수는 없다. 대표적인 예시가 각 원소 벡터장 [math(\mathbf{A}(x,\,y) = \dfrac{(x,\,y)}{x^2+y^2})]이며, 원점 [math(O)]에서 벡터장이 정의되지 않는다. 이 때는 벡터장이 정의되지 않는 그 부분을 포함하는 아주 작은 영역(계산의 편의를 위해 보통 원/구를 잡는다)을 따로 설정하여 계산하는 방법을 쓴다. (이차원 가우스 정리)

1.2. 3차원에서의 발산정리

공간 속에서 유계이고 닫힌 한 영역 [math(R)]에서 정의된 일급 벡터장 [math(\mathbf{F})]에 대하여

[math(\displaystyle \iint_{\partial R} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}S = \iiint_R \mathrm{div} \,\mathbf{F} \,\mathrm{d}V )]

이다. 이 때 얻는 결과는 '삼차원의 한 영역을 지나는 벡터장의 flux는 그 영역에서 발산함수를 적분한 값'이란 것이다. 예를 들어 원뿔모양의 필터(곡면)가 있고, 그 필터를 지나는 물의 속도에 대한 벡터장을 알고 있을 때, 그 벡터장의 발산함수를 곡면에 따라 적분하여 얻은 값이 단위 시간당 지나가는 물의 양인 것이다.

2. 관련 문서