최근 수정 시각 : 2024-04-28 21:33:32

로랑 급수


해석학· 미적분학
Analysis · Calculus
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1. 개요2. 정의3. 개형4. 사용법

1. 개요

série de Laurent / Laurent series / Laurent

테일러 급수 복소해석학에서 사용할 수 있도록 해석적으로 확장한 급수.
당연히 18세기에 발표된 테일러 급수보다 나중인 1843년, 프랑스의 수학자 피에르 알퐁스 로랑(Pierre Alphonse Laurent)이 발표했다.

해석함수에 대해서 테일러 급수를 전개하면 남는 항을 음의 지수 단위까지 계속해서 급수전개하여 얻어지는 꼴이다.
복소평면에서의 해석함수는 무한번 미분할 수 있다는 것에서 테일러 정리에 의해 자명하게 존재성과 유일성이 유도된다. 그래서 복소해석학에서는 테일러 정리 대신 로랑 정리라고 한다. 다만 주의점이 있다면, 로랑 정리에서는 어떤 점에서 두 양의 실수의 반지름을 가진 근방 내부에서 해석적이어야만 적용할 수 있다. 자세한 내용은 아래 문단의 로랑 정리를 참조.

2. 정의

함수 [math(f(z))]이 주어졌을 때, 이 함수 상의 어떤 점 [math(z_0)]에 대하여 양의 실수 [math(R_0<R_1)]이 존재하여 다음의 범위 [math(R=\{z \in \mathbb{C}|R_0<|z-z_0|<R_1\})]에서 해석적이라고 하자. 그러면 이 함수 [math(f(z))]는 [math(R)]에 속하는 모든 점에서 다음과 같이 수렴하는 멱급수 형태로 표현할 수 있다.
  • [math(f\left(z\right)=\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}\left(z-z_0\right)^{n}=\sum_{n=2}^{\infty}c_{-n}\left(z-z_0\right)^{-n}+c_{-1}\left(z-z_0\right)^{-1}+\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\left(z-z_0\right)^{n}})]

또한, 이 때 [math(c_n)]과 [math(c_{-n})]은 각각 다음과 같이 계산한다.
  • [math(\displaystyle c_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz)]
  • [math(\displaystyle c_{-n} = \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{-(n+1)}}dz)]

이를 로랑 정리(Laurent's Theorem)라고 한다.

3. 개형

지수가 0 이상의 정수인 부분을 로랑 급수의 해석부(Analytic Part)[1]라고 하고 수식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\left(z-z_0\right)^{n}
\end{aligned})]
지수가 음수인 부분을 로랑 급수의 주부(Principal Part)라고 하고 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}\left(z-z_0\right)^{-n}=\sum_{n=2}^{\infty}c_{-n}\left(z-z_0\right)^{-n}+c_{-1}\left(z-z_0\right)^{-1}
\end{aligned})]

단, 테일러 급수에서는 계수 부분을 미분으로 계산했으나, 로랑 급수에서는 해석부라면 몰라도 주부의 계수를 계산할 때는 코시 적분 공식을 이용한다.[2]

참고로 로랑 급수를 전개했을 때 주부의 항이 유한개면 극(pole), 해석부만으로 이루어져 있으면 제거 가능 특이점(removable singularity), 주부의 항이 무한개 즉 주부가 [math(\displaystyle \frac{1}{z-z_0})]에 대한 멱급수 형태라면 본질적 특이점(혹은 진성 특이점)(essential singularity)이라고 부른다.

4. 사용법

이 급수의 주된 사용처는 역시 복소해석학으로, 복소해석학의 가장 기본적인 개념인 유수를 얻어내는 수단으로서 사용된다.
위의 개형에서 [math(k=-1)]에 해당하는 [math(c_{-1}\left(z-z_0\right)^{-1})]의 계수, [math(c_{-1})]은 유수(, residue[3])라고 부른다. 이런 이름이 붙은 이유는 로랑 급수 형태로 전개한 함수를 닫힌 곡선으로 선적분해보면 알 수 있는데, 유수를 제외한 나머지 항이 전부 0이 되면서 유수만 남기 때문이다.

또한, 기본적으로 전해석함수의 유수는 0이지만 본질적 특이점[4]을 갖는 해석함수 [math(f(z))]의 경우 해당 특이점을 [math(z_n)], 각 특이점의 유수를 [math(\operatorname{Res}\left[f, z_n\right])]라고 하면 해당 특이점을 감싸는 닫힌 곡선 [math(C)]로 선적분시 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\oint_{C}f(z)\,{\rm d}z=2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}\left[f, z_k\right]
\end{aligned})]
이를 유수 정리라고 한다.

단, 적분경로는 해당 특이점들 기준으로 1바퀴만을 회전해야만 한다. 만약 적분경로가 자기 자신을 교차하면서 전체적으로 2번 이상 돌 경우라면, 당연히 각 특이점마다 적분경로의 회전 횟수를 감안해야 한다. 예를 들어서 적분경로가 매개변수 [math(t)]에 대하여 [math((0, 2\pi))]에 대해 [math(e^{it}(1+3\cos t))]라는 형태로 이루어져 있다면, 이 적분경로는 이와 같이 원점을 2번 교차하는 달팽이형의 그래프가 된다.[5]

이 때, 만약 적분할 함수가 다음과 같다고 하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
f(z)=\frac{3z^2-10z+9}{z^3-5z^2+9z-5}
\end{aligned})]
이 함수는 [math(z=1, 2-i, 2+i)]의 3개 점을 특이점으로 갖는다.[6] 그런데, 적분경로 기준으로 [math(z=1)]은 적분경로 상의 점이 2바퀴를 돌고, [math(z=2\pm i)]는 1바퀴를 돌게 된다. 따라서, 이 경우 다음과 같이 된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\oint_{C}f(z)\,{\rm d}z=2\pi i\{2\operatorname{Res}\left[f(z), 1\right]+\operatorname{Res}\left[f(z), 2+i\right]+\operatorname{Res}\left[f(z), 2-i\right]\}
\end{aligned})]
위의 계산 결과는 [math(8\pi i)]가 된다. 그러므로, 위의 공식은 정확하게는 이렇게 바뀌게 된다. 이는 적분경로를 단순 닫힌 경로로 쪼개서 합산한 것과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\oint_{C}f(z)\,{\rm d}z=2\pi i\sum_{k=1}^{n}R_n\operatorname{Res}\left[f, z_k\right]
\end{aligned})]
여기서, [math(R_n)]은 각 점 [math(z_n)]에 대하여, 적분경로가 반시계방향으로 몇바퀴를 돌았느냐를 센 수이다.
[1] 테일러 급수와 형태가 동일하다. 다만 계산은 계산값은 똑같지만 일관성과 편의성을 위해 위의 공식을 따른다. 두 계산값이 똑같다는건 코시 적분 공식에 의해 유도된다. [2] 해석부는 미분으로 계산해도 되기는 하는데, 코시 적분 공식을 이용하면 빠르게 계산 가능해서 가능하면 코시 적분 공식을 이용한다. [3] '나머지'라는 뜻이다. 정수론에서의 나머지(remainder)와는 다르다. [4] 제거가 불가능한 특이점. 제거 가능한 특이점의 경우 유수는 0이 된다. [5] 링크에서 Parametric plot 항목을 참조. [6] 각 점에 대한 유수는 1이다. 실제로 이 함수는 [math(\displaystyle \frac{3z^2-10z+9}{z^3-5z^2+9z-5}=\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z-2-i}+\frac{1}{z-2+i})]로서, 각 점에 대한 유수가 1이 되도록 계산했다.