대수적 정수론

정수론 Number Theory
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1. 개요2. 특징3. 교재들

3.1. 기초 교재3.2. 심화 교재

1. 개요

代數的整數論 / Algebraic number Theory

정수론을 연구하는 데에 광범위한 대수학의 방법들을 사용하는 분야이다. 정수론의 핵심 주제가 방정식의 정수해를 찾는 것이므로, 방정식의 성질을 연구하는 대수학이 끼어들 자리가 없다면 이상할 것이다. 다만 대수학이라는 것이 생각보다 골때리는 학문이니만큼,[1] 해석적 정수론에 비해 일반인이 접하기는 훨씬 힘들다.

약간 더 자세히 말하자면, 대수적 정수론은 방정식의 대수적 해를 이용한 대수적 확장(algebraic extension) 위에서의 정수의 성질을 탐구한다고 할 수 있다. 마치 고차방정식을 풀 때 복소수를 도입해서 해를 찾듯이, 정수집합에 방정식의 해들을 추가시켜 이들의 성질을 관찰하는 것. 예를 들어서, 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem, 이하 FLT) 중 지수가 3인 경우

[math(x^3 + y^3 = z^3)]

이 식은 3차 단위근 [math( omega = e^{2 pi i / 3})] [2]을 동원해 다음과 같이 인수분해된다.

[math(\left(x + y\right)\left(x + \omega y\right)\left(x + {\omega}^2 y\right) = z^3)]

여기서의 [math(x, y, z)]는 모두 정수이므로, 인수 [math(x+y,\,x+\omega y,\,x+{\omega}^2 y)] 들은 모두 정수집합 Z에 [math( \omega )]를 추가한 아이젠슈타인 정수(Eisenstein Integer)라 불리는 다음 집합

[math( Z\left[\omega\right] = \left\{a+b \omega : a, b\right.)]는 정수[math(\left.\right\})]

의 원소이다. 따라서 정수의 성질들을 모조리 끌어와 이 아이젠슈타인 정수에서 정수론을 펼치면 FLT 중 n=3인 경우를 공략할 수 있는 것이다. 레온하르트 오일러가 이 방법을 생각해 낸 후, 사람들은 수많은 디오판토스 방정식들이 사실은 이러한 류의 집합 - 대수적 정수(algebraic integer) - 위에서의 정수론 문제라는 것을 알게 되었다.

하지만 대수적 정수들을 다루는 것은 처음 생각보다는 복잡했는데, 정수의 모든 좋은 성질이 다 옮겨오지는 않았기 때문이다. 그 대표적인 예로 소인수분해가 유일하지 않은 것이 있는데, 이는 대수적 정수 [math( \mathbb{Z}\left[ \sqrt {-5} \right] )] 위에서 [math(6 = 2 \cdot 3 = \left(1 + \sqrt{-5}\right)\left(1 - \sqrt{-5}\right) )]처럼 두 가지 서로 다른 분해가 존재하기 때문이다. 이는 많은 상황에서 예기치 못한 장애물이 되었다. 후에 수학자 라메(Gabriel Lame)가 지수가 일반적 홀수 소수일 때[3], 위의 n=3인 경우와 비슷한 논리를 펼쳐 '이겼다! FLT 끝!' 을 외쳤지만, 아쉽게도 이 문제를 생각하지 않은 바람에 오류가 났었던 것. 이것을 해결하기 위해 쿰머(Ernst Kummer)가 '배수의 일반화'라고 볼 수 있는 아이디얼(ideal)의 개념을 창안했고,[4][5][6] 이를 활용하여 소위 말하는 '정규소수'(regular prime)인 경우의 증명을 완성하긴 했지만, FLT의 해결과는 거리가 멀었다.

대수학이 제대로 정립된 힐베르트(David Hilbert) 이후 대수적 정수론은 다시 다른 국면을 맞게 된다. 현대수학자들은 대수학 외에도 대수기하학과 표현론 등 정신줄 놓는 수학들을 자유자재로 사용하여, 방정식의 정수해에 대해 모든 것을 밝혀 낼 기세로 전진했다. 예로 1983년에 팔팅스(Gerd Faltings)가 증명한 모델의 가설(Mordell's conjecture)은 '변수가 2개인 [math(F\left(x,y\right) = 0)] 꼴의 대부분의 방정식은 유한한 유리수해를 가진다'는 어마어마한 내용을 말하고 있다.[7] 20세기의 정수론은 이러한 것들과 더불어 조화해석학에서 온 모듈러 형식(modular form), 타원곡선, 해석적 정수론의 L-함수, 이 모든 것이 합쳐진 모듈러성 정리의 증명 - 즉 FLT의 증명! - 으로 정상을 찍었다고 할 수 있겠다. 물론 그 뒤에 랭글랜즈 프로그램 같은 정말이지 말도 안되는 숙제들을 남겨놓기는 했지만.

~~이게 대수적 정수론 얘기야 FLT 얘기야~~ 여담으로, 위에서 보듯이 페르마의 마지막 정리가 대수적 정수론의 발전에 상당한 영향을 주었다는 것을 알 수 있다. ~~그건 핑계고 다른 내용들은 더 어려우니까(...) 이 얘기만 한거다~~ ~~아니 그럼 얼마나 어렵다는 거야~~

2. 특징

학습할 때의 느낌은 해괴망측한 개념들이 판을 친다고 얘기할 수 있다. 뭐 대수학 관련 과목들이 안 그렇겠냐만은, 사람에 따라서는 대수기하학보다 심하다는 얘기도 있다. 다만 대수학적 사고 방식에 극도로 익숙한 사람이 그런 개념들을 내면화할 수 있으면, 충분히 아름답게 느껴질 수도 있다. 옆 동네처럼 밑도 끝도 없는 적분과 부등식, 몇 겹으로 튀어나오는 자연로그 ([math(\ln\ln\ln\ln x)] 같은...) 등이 수없이 나오지 않는다는 것은 사람에 따라 장점이 될 수도.

대수적 정수론은 초등정수론에서 배운 여러가지 대수적인 내용을 훨씬 더 일반화시킨다. 르장드르 기호는 아틴 사상이 되고, 페르마의 [math(4n+1)] 정리는 [math(\mathbb{Q}\left(i\right))]라는 체 위에서 어떤 소수가 split한지 inert한지의 문제로 바뀐다. 이렇게 초등정수론하고 연관성을 찾아가면서 공부한다면 대수적 정수론을 공부하는 데 도움이 될 수 있다.

대수적 정수론에서 해석적 정수론적 방법론을 쓸 때가 있다. 데데킨드 제타함수나 아틴 L- 관련 내용인데, 여기에서 나오는 Chebotarev's density theorem은 대수적 정수론 전체에서 매우 중요한 정리로 쓰인다. 그리고 analytic continuation이란 문제는 Tate thesis같은 여러가지 매우 중요한 결과를 낳았고, 이는 랑글랜드 프로그램으로 발전한다. 따라서 대수적 정수론 안에서 해석적 방법은 상당히 중요한 위치를 차지한다.

3. 교재들

이 분야가 역시 대수다 보니 나름 딱딱한 쪽에 속하는 만큼 바로 이론을 공부하기보다는 완충제와 함께 분야의 맛보기와 배경설명을 겸한 책으로 시작하는 것도 좋을 것이다. 정수론 문서의 교재 항목에 심화 입문서 내용을 봐보자. 그 외에 대수수론에 더욱 집중하고 싶다면 예를 들어 Edwards나 Tall이 쓴 페르마의 대정리를 배경으로 한 소개록[H.M.Ed][TALL]이라던지 스위너튼-다이어[10]가 쓴 총론[H.P.F]이 있겠다. 아직 어린 학생들 ~~아쎄이, 교육생, 돼지~~의 경우 그 유명한 사이먼 싱의 페르마의 마지막 정리 책이나 요가와 요코의 소설 박사가 사랑한 수식을 보며 해당 필드에 대한 뽕을(...) 길러보자. 만약 자신이 혼모노 기질이 있다면 수학 걸도 답이다.평범한 여고생 따리가 군환체에 조화해석, 대수기하, 표현론 쓰는 거 보면 자기가 하는 말 아무도 못 알아들어서 좌절한 AlgNT 전공하는 씹덕후 원생이 모에로 뇌내 망상 펼치고 있는거 같다

수론학자를 꿈꾸는 수학과, 수학교육과 고학년 학부생들에겐 아래 원생 교재의 에탈 코호몰로지와 유체론 교재의 저자인 제임스 밀른이 자신의 홈페이지에다 쓴 여러 강의노트들과 기고문들이 커다란 도움이 된다. 어려운 주제들을 진입장벽이 낮게 잘 설명해주어서 이미 해당 분야를 전공하고 있는 원생들에게도 사랑받는 입문서들이 많다. pdf로, 그것도 무료로 볼 수 있으니 대수수론 키드들은 꼭 봐보자.

3.1. 기초 교재

S. Alaca. Introductory Algebraic Number Theory

책 전반부에서 필요한 대수학을 전부 설명하고, 갈루아 이론을 사용하지 않는다. 그렇기에 배경지식 없이도 내용을 이해하기 쉽지만, 그만큼 책에서 설명하는 내용도 적다.

D. Marcus. Number Fields

가장 표준적인 기초 대수적 정수론 교재이다. 카이스트에서 대학원 교재로 자주 사용한다.

J.H. Sliverman. The Arithmetic of Elliptic Curves

학부 고학년생 대상으로 쓴 유명한 타원곡선 입문 책.

S. Lang. Abelian Varieties

학부 고학년생을 대상으로 한 아벨 다양체 소개서. 학부 수준 대수학과 복소해석으로 볼 수 있는 고전이다.

J. S. Milne. Algebraic number theory

3.2. 심화 교재

다른 분야도 마찬가지지만 대수적 정수론에선 같은 이론에 접근하는 다른 관점들을 익혀두는 것이 더욱 더 도움이 되므로, 하나를 배울 때마다 여러 교재들과 문헌들을 같이 보는 게 보통이다. 그래도 바이블을 하나 꼽아보자면 1965년 열렸던 학생들을 대상으로 이 분야를 가르치기 위한 컨퍼런스의 강의록을 카셀스와 프뢸리히[C&F]가 편집한 간행물이 있겠는데, 장 피에르 세르나 존 테이트 등 전설적인 대가들이 당시 펼친 강의록들로 구성되어 있다.

여튼 방금 전에 말한 조언의 예를 들자면 대수적 정수론을 처음 배울 때 노히키르히의 교재[NKH1]의 제타함수 서술은 헤케의 방법을 따르고 있어서 서지 랭[LANG1]의 것이나 Cassels&Frolich[C&F]의 것에 나온 Tate's Thesis 내용을 보완할 수 있으며, 앙드레 베유[WEIL], Lang[LANG1], Taibleson[TBSN], Ramakrishnan의 것[RMKN]에선 수체(Number Field)의 해석적(조화해석)적인 접근을 구경할 수 있다.

또한 문제를 풀어가는 식으로 개념을 체득하는데 도움을 주고싶으면 Murty와 Jody가 쓴 Problems in Algebraic Number Theory라는 문제집[M&J]이 있다. 한번 살펴보자.

옛날부터 호몰로지 대수학, 가환대수학, 표현론 등 여러가지 대수학적 툴을 골고루 가져다 썼고 타원곡선, 아벨 다양체 등등 기하학적 방법론이 나온 이후 현재는 분야가 아예 대수기하학 자체가 되가고 있는 중이다. "산술기하학" 이라고 말이다... 여기서도 그로센딕의 EGA와 세르의 GAGA를 보게 될 것이다! 즉, 프랑스어를 배우는 게 이득이다!(...)[21] 전공하길 희망하는 수학과와 수학교육과의 대수수론 키드들은 반드시 원생 석사시절 Hartshorne등으로 스킴과 코호몰로지를 공부하고, Griffith&Harris에서 복소기하의 초석을 열심히 닦아두자. 나중에 배우게 될 중요한 주제 중 하나인 아벨 다양체를 공부하는 데 필요하고, 이외에도 여기저기서 해석기하적인 접근을 가져다쓴다.

J.P. Serre:
Local Fleids
Algebraic Groups and Class Fields
Galois Cohomology
S. Lang:
Algebraic Number Theory[LANG1]
Diophantine Geometry
Fundamentals of Diophantine Geometry
Encyclopedia of Mathematical Sciences: Number Theory #3(이전 제목: Survery of Diophantine Geometry)
Cyclotomic Fields I and II
Introduction to Modular Forms

G. Shimura:
Elementary Dirichlet Series and Modular Forms
Modular Forms: Basics and Beyond

J. Milne:
Abelian Varieties
Class Field Theory
Introduction to Shimura Varieties

H.P.F. Swinnerton-Dyer-A Brief Guide to Algebraic Number Theory[H.P.F]

J.W.S. Cassels-Local Fields

A. Frolich-Algebraic Number Theory(with M.J. Taylor)

M.H. Taibleson-Fourier Analysis on Local Fields[TBSN]

J. Neukirch:
Algebraic Number Theory[NKH1]
Class Field Theory
Cohomology of Number Fields

D. Ramakrishnan-Fourier Analysis on Number Fields(with R.J. Valenza)[RMKN]

J.H. Sliverman:
Diophantine Geometry: An Introduction(with M. Hindry)
Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves

F. Diamond-A First Course in Modular Forms(with M. Shurman)

Qing Liu-Algebraic Geometry and Arithmetic Curves

H.M. Edwards-Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory[H.M.Ed]

D. Tall-Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem(with I. Stewart)[TALL]

M.R. Murty-Problems in Algebraic Number Theory(with J. Esmonde)[M&J]

세미나:
Algebraic Number Theory(런던수학회 간행물, 1965년 대수수론 입문 컨퍼런스, 서식스 대학교, 영국, 9월 1~17일, 편집자는 Cassels과 Frolich)[C&F]

[1] 물론 대수적 정수론에 사용되는 학부/대학원 수준에서 [2] 혹은 [math({\omega}^2 + \omega + 1 = 0)]의 근. 고등학교에서 흔히 오메가라고 하는 그거다. [3] FLT는 지수가 소수와 4일 때만 증명하면 충분함을 알 수 있다. [4] 현대 대수학의 그 아이디얼 맞다. 학부 대수학을 배웠어도 이러한 배경을 보통 모르는 것이 사실. [5] 아이디얼을 엄밀히 정의한 것은 보다 나중의 데데킨트(Richard Dedekind)의 업적이긴 하다. [6] 아이디얼의 어원은 플라톤의 그 이데아 이론이 맞다. 쿰머가 이를 정의할 때 "이상적 수"(獨 ideale Zahl 英 ideal number 韓 이상수)라고 칭했고 후에 '수'(Zahl) 부분이 떨어진 것. [7] 물론 여기서 '대부분의'가 뭔지 정의하기는 정말 어려우므로 생략하도록 한다. 여담으로, FLT의 방정식들은 이 '대부분의' 방정식에 들어가므로, 팔팅스의 정리는 FLT의 해가 유한하다는 것을 말해준다. [H.M.Ed] [TALL] [10] 버치-스위너턴다이어 추측의 그 분이 맞다. [H.P.F] [C&F] [NKH1] [LANG1] [C&F] [WEIL] [LANG1] [TBSN] [RMKN] [M&J] [21] 사실 산술기하학이 아닌 일반적인 대수기하학을 전공하는 사람들은 EGA/SGA의 일반적인 setting보다는 좋은 체 위의 좋은 공간을 공부하는 경우가 많아서 그로텐딕학파 책들을 안 보는 경우도 많다. 산술기하학자들은 온갖 괴상한 field 위에서 기하학을 해야 하지만. [LANG1] [H.P.F] [TBSN] [NKH1] [RMKN] [H.M.Ed] [TALL] [M&J] [C&F]