최근 수정 시각 : 2024-06-08 17:31:04

국소 볼록 공간


1. 개요2. 정의
2.1. 국소 볼록 공간
2.1.1. 반노름에 의한 정의2.1.2. 국소 기저에 의한 정의2.1.3. 두 정의의 동치성
2.2. 연속 쌍대 공간
2.2.1. 약한 위상과 약한 *-위상
3. 성질
3.1. 반노름의 성질3.2. 거리화 가능성3.3. 노름화 가능성3.4. 연속 쌍대 공간의 성질
3.4.1. 약한 위상과 약한 *-위상의 성질
4. 예시

1. 개요

국소 볼록 공간(locally convex space, LCS)은 공간의 각 원소가 볼록 집합으로 구성된 국소 기저를 갖는 위상이 부여된 위상 벡터 공간이다. 국소 볼록 공간은 노름 공간의 일반화로, 함수해석학에서 다루는 여러 공간이 국소 볼록 공간에 해당한다. 많은 경우, 국소 볼록 공간을 다룰 때 하우스도르프 성질을 함께 가정한다. 국소 볼록 공간이 하우스도르프 성질을 가지고 있다는 것을 특별히 강조할 때 국소 볼록 하우스도르프 공간(locally convex Hausdorff space, LCH 공간, LCH space)이라고 지칭한다.

2. 정의

2.1. 국소 볼록 공간

국소 볼록 공간은 반노름족 또는 원점의 국소 기저를 이용해 정의할 수 있으며, 각 방법을 이용한 정의는 서로 동치이다.

2.1.1. 반노름에 의한 정의

벡터 공간 [math(X)]의 원소 [math(x_0\in X)]와 [math(X)]의 반노름족 [math(\mathcal{P})]의 반노름 [math(p\in\mathcal{P})], 양수 [math(\epsilon)]에 대하여 집합
[math(\{x:p(x-x_0)<\epsilon \})]
의 족은 [math(X)]의 부분기저를 이룬다. 즉 임의의 [math(x_0 \in U)]에 대하여
[math(\displaystyle\bigcap_{k=1}^n \{x\in X: p_k (x-x_0)<\epsilon_k\}\subseteq U)]
를 만족시키는 [math(p_1,\ldots p_n \in \mathcal{P})]와 [math(\epsilon_1,\ldots , \epsilon_n >0)]가 존재하는, [math(X)]의 부분집합 [math(U)]가 열린집합인 [math(X)] 위의 위상을 정의할 수 있다. 이와 같이 정의된 위상에서 벡터공간 [math(X)]의 덧셈과 곱셈은 연속함수이므로 반노름족 [math(\mathcal{P})]는 위상벡터공간 [math(X)]를 정의한다. 위상벡터공간 [math(X)]가 국소 볼록 공간일 필요충분조건은 [math(X)]가 다음을 만족시키는 반노름족 [math(\mathcal{P})]로 정의되는 것이다.
[math(\displaystyle\bigcap_{p\in\mathcal{P}}\{x:p(x)=0\}=\{0\})]

2.1.2. 국소 기저에 의한 정의

원점의 국소 기저와 관련된 정의를 위해 집합의 볼록성, 균형성, 흡수성을 정의한다. 집합 [math(C\subseteq X)]가 상수 [math(t\in[0,1])]에 대하여
[math(tC+(1-t)C\subseteq C)]
를 만족시키면 [math(C)]를 볼록집합(convex set)이라 한다. 집합 [math(B\subseteq X)]가 [math(|\alpha|\le 1)]인 임의의 [math(\alpha\in\mathbb{K})]에 대하여 [math(\alpha B \subseteq B)]를 만족시면 [math(B)]를 균형집합(balanced set)이라 한다. 집합 [math(A\subseteq X)]가 임의의 [math(x\in X)]에 대하여 [math(x\in t A)]인 양수 [math(t)]를 가지면 [math(A)]를 흡수집합(absorbing set)이라고 한다. 위상 벡터 공간 [math(X)]가 국소 볼록 공간일 필요충분조건은 [math(X)]가 흡수 균형 볼록 집합으로 이루어진, 원점의 국소 기저를 갖는 것이다.

2.1.3. 두 정의의 동치성

2.2. 연속 쌍대 공간

[math(\mathbb{K})]-국소 볼록 공간 [math(X)] 위의 연속 선형 범함수의 집합을 [math(X^*)]로 표기한다. [math(x^*, y^*\in X^*)]와 [math(\alpha\in \mathbb{K})]에 대하여 각 [math(x\in X)]에서
[math((\alpha x^*+y^*)(x):=\alpha x^*(x)+y^*(x))]
이므로 [math(X^*)]는 벡터 공간이다. [math(x\in X)]와 [math(x^*\in X^*)]에 대하여 [math(\left<x,x^*\right>)]와 [math(\left<x^*,x\right>)]를 다음과 같이 정의한다.
[math(\left<x,x^*\right>=\left<x^*,x\right>:=x^*(x))]
이 때, 사상 [math(p_{x^*}(x):=|\left<x,x^*\right>|)]와 [math(p_{x}(x^*):=|\left<x,x^*\right>|)]는 각각 [math(X)]와 [math(X^*)]의 반노름이다.

2.2.1. 약한 위상과 약한 *-위상

[math(\mathbb{K})]-국소 볼록 공간 [math(X)]의 약한 위상(weak topology)은 반노름족 [math(\left\{p_{x^*}:x^*\in X^*\right\})]에 의해 정의된 위상으로, [math(\mathrm{wk})] 또는 [math(\sigma(X, X^*))]로 표기한다. 약한 위상은 반노름족으로 생성된 위상이므로 [math((X,\mathrm{wk}))]는 국소 볼록 공간이며, 기존의 국소 볼록 공간 [math(X)]를 정의하는 위상과 구분된다.

[math(X)]의 연속 쌍대 공간 [math(X^*)]의 약한 [math(*)]-위상(weak-star topology)는 반노름족 [math(\left\{p_{x}:x\in X\right\})]에 의해 정의된 위상으로, [math(\mathrm{wk^*})] 또는 [math(\sigma(X^*, X))]로 표기한다. 약한 위상 공간과 마찬가지로, 약한 *-위상은 반노름족으로 생성된 위상이므로 위상 벡터 공간 [math((X^*,\mathrm{wk^*}))]는 국소 볼록 공간이다. 국소 볼록 공간 [math(X)]가 노름 공간인 경우 [math(X^*)]는 작용소 노름을 갖춘 바나흐 공간을 이루는데, 이 경우 [math(X^*)]의 약한 *-위상은 작용소 노름으로 유도된 거리 위상과 구분된다.

3. 성질

3.1. 반노름의 성질

3.2. 거리화 가능성

3.3. 노름화 가능성

3.4. 연속 쌍대 공간의 성질

[math(\mathbb{K})]-위상벡터공간 [math(X)]의 선형 범함수 [math(f:X\to\mathbb{K})]에 대하여 다음은 모두 동치이다.
  1. [math(f)]는 연속이다.
  2. [math(f)]는 [math(0)]에서 연속이다.
  3. [math(f)]는 어떤 한 점에서 연속이다.
  4. [math(\mathrm{Ker} f)]는 닫힌집합이다.
  5. [math(x\mapsto |f(x)|)]는 연속 반노름이다.
[math(X)]가 국소 볼록 공간이고 [math(\mathcal{P})]가 [math(X)]의 위상을 정의하는 반노름족일 때, 다음은 위 명제들과 동치이다.
  • 모든 [math(x\in X)]에 대하여
    {{{#!wiki style="margin:1.2em 1.2em ;text-align: center;"
[math(\displaystyle|f(x)|\le \sum_{k=1}^n \alpha_k p_k(x))]
}}}를 만족시키는 [math(p_1,\ldots p_n \in \mathcal{P})]와 [math(\alpha_1,\ldots ,\alpha_n \in \mathbb{K})]가 존재한다.

3.4.1. 약한 위상과 약한 *-위상의 성질

국소 볼록 공간 [math(X)]의 약한 위상은 [math(X^*)]의 각 원소가 연속이 되도록 하는 가장 약한 위상이다. 따라서 국소 볼록 공간의 약한 위상은 기존의 위상보다 약하고 [math((X, \rm{wk})^*=\it X^*)]이다.
증명
[math(X^*)]의 모든 범함수가 위상 벡터 공간 [math((X,\cal T))]에서 연속이라고 하자. [math(\{x_i\})]를 [math(0)]으로 수렴하는 [math((X, \mathcal{T}))]의 그물이라고 하면 모든 [math(x^*\in X^*)]에 대하여
[math(\left<x_i,x^*\right>=x^*(x_i)\to 0)]
이므로 [math((X,\mathcal{T}))]에서 [math((X, \mathrm{wk}))]로의 항등 사상은 그물의 수렴성을 보존하여 연속 사상이다. 즉, [math(\mathrm{wk}\subseteq\mathcal{T})]이다. 특히 국소 볼록 공간 [math(X)]의 위상을 [math(\cal T_0)]라 하면 [math(\rm wk \subseteq \cal T_0)]이다.

[math(f\in X^*)]는 [math((X,\rm wk))]에서 연속이므로 [math(f\in (X,\rm wk)^*)]이다. 반대로, 약하게 열린 집합은 원래의 위상에서 열린 집합이므로 [math(f\in (X, \rm wk)^*)]는 [math(X)]에서 연속이다.

4. 예시

  • 프레셰 공간(Fréche space)
    완비 거리 구조를 갖는 국소 볼록 공간으로, 바나흐 공간의 일반화이다.