최근 수정 시각 : 2022-05-12 15:40:20

제곱근

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1. 정의 및 표기법
1.1. 기호
2. 교과 과정에서
2.1. 제곱근의 성질2.2. 제곱근의 미분2.3. 제곱근의 적분
3. 실수 제곱근의 수치계산법
3.1. 이진 탐색 알고리즘3.2. 개방법(digit-by-digit calculation)3.3. 바빌로니아법3.4. 상용로그 이용
4. 복소수의 제곱근
4.1. 극형식(polar form)
4.1.1. 예시
5. 무리함수6. 이중근호7. 단위근8. 제곱근행렬9. 기타

1. 정의 및 표기법

  • 실수 복소수 [math(a)]에 대해, [math(a)]의 제곱근(square root of a)은 제곱해서 [math(a)]가 되는 모든 수를 의미한다.
  • 실수 [math(a \ge 0)]에 대해 제곱근 [math(a)] 혹은 루트 [math(a)] (root a)는 [math(a)]의 제곱근 중 유일한 음이 아닌 실수인 것을 의미하고, [math(\sqrt a)]로 표기한다.
간혹 [math(a<0)]에 대해 [math(\sqrt a := i\sqrt{-a})]로 표기하기도 하나, 교과과정 외에서는 표준적인 표기가 아닐 수 있다.

일반적으로 정수 [math(k\,(k\ge2))]에 대해,
  • 수 [math(a)]에 대해 [math(a)]의 [math(k)]제곱근([math(k)]-th root of [math(a)])[1]은 [math(x^k=a)]의 모든 해를 의미한다.
  • 실수 [math(a \ge 0)] 혹은 [math(k)]가 홀수일 때 [math(a<0)]에 대해, [math(k)]제곱근 [math(a)][2]는 유일한 실수 [math(k)]제곱근으로, [math(\sqrt[k]a)] 또는 [math(a^{1/k})]로 표기한다.

예시를 들자면 '[math(4)]의 제곱근'은 [math(2)]와 [math(-2)]이고, '제곱근 [math(4 = \sqrt4)]'는 이 중 [math(2)]만을 의미한다.
'세제곱근 [math(8 = \sqrt[3]8)]'은 [math(2)]이고, '[math(8)]의 세제곱근'은 실수 범위에선 [math(2)] 하나뿐이지만 복소수 범위에선 2개가 더 있다.[3]

텍스트 환경에서 제곱근을 기호로 표기할 때는 보통 √ (U+221A)을 사용한다.

1.1. 기호

파일:First_square_root.jpg
최초로 근호가 쓰인 루돌프의 저서[4]
근호 기호 √는 독일의 수학자 크리스토프 루돌프(Christoff Rudolff, 1499~1543)가 1525년에 발간한 대수학 교과서에서 처음 사용되었다. 처음에는 위쪽 줄이 없이 √만 썼는데, 근을 뜻하는 라틴어 radix의 머리글자 r에서 따왔다는 설이 있다. 후에 데카르트가 위쪽 줄을 합치면서 지금의 근호가 탄생한다.

종종 근호 기호(√; U+221A)를 체크 표시(✓,✔; U+2713, U+2714) 대용으로 쓰기도 하는데, 그냥 비슷한 글자일 뿐이다. 거기다 서체마다 윗줄 부분이 있기도 해서 이런 경우 보기가 영 좋지 않다.[5]

만약 plain text에서 근호 기호를 사용해야 한다면 √(x+2)와 같이 근호 기호 밑에 들어가는 것들을 모두 괄호로 씌워 주어야 한다. 괄호를 씌우지 않고 √x+2로 쓰면 [math(\sqrt x+2)]의 뜻이 되기 때문이다. 매스매티카 기반 프로그램 및 WolframAlpha에서도 이렇게 해석한다. [math(\sin(x+2)\ne\sin x+2)], [math(\log(x+2)\ne\log x+2)]와 같은 이치.

2. 교과 과정에서

상단 정의에 표현된 것처럼 '제곱근 2'와 '2의 제곱근' 차이를 유의할 필요가 있다. 영문을 생각하면 좀더 직관적인 편.

대한민국에서는 중3때 처음으로 배우게 되며, 무리수를 도입시키는 동기로 등장한다.[6] 이후 피타고라스의 정리[7]나 2차 방정식, 고등학교 과정, 그리고 고등학교 이상 과정에서도 많이 써먹게 된다. 이 때 사용하는 모양의 기호는 근호(根號)라고 한다. 당연히 [math(\sqrt4=2)]와 같이 근호가 있다고 해서 다 무리수는 아니다.

더 나아가서 지수의 실수 범위 확장을 배우면 [math(\sqrt[n]a=a^{\frac1n})]으로 생각할 수 있다.

음수의 제곱근은 실수 위에서 존재하지 않으므로 이 때 다루지 않지만, 곧 고교과정에서 -1의 제곱근으로 허수를 도입하며 복소수로 범위를 넓히게 된다. 복소수 범위 내에선 0을 제외한 모든 수가 [math(k)]개의 [math(k)]제곱근을 갖고 있다는 것이 알려져 있다.

제곱근을 취하는 연산은 거듭제곱의 역연산에 해당한다. 함수 관점에서 보면 양수 범위에서 제곱근 함수 [math(y=\sqrt x)]는 이차함수의 역함수이다.[8] 제곱근이 들어간 함수와 성질도 고교과정에서 배우게 된다.

미적분을 할때 가장 보기 싫은 기호 중 하나. 이 녀석이 들어가면 미적분이 배는 어려워진다. 그나마 미분은 근호를 분수지수로 나타낸 후 다항함수 미분하듯 미분하면 돼서 쉬운데 적분은 진짜 이거 하나 때문에 삼각치환이니 별 짓을 다해야 하고 그나마도 이거 하나 때문에 초등함수 역도함수를 못 구할 때가 많다.[9]

2.1. 제곱근의 성질

기본적으로 근호는 지수를 유리수로 확장한 것[math({\left(\sqrt[n]a = a^{\frac1n}\right)})]이나 다름없기 때문에 근호 내부의 수 [math(a)], [math(b)]가 모두 양수[10]라면 지수의 성질이 그대로 적용된다.
  • 제곱근 내의 합은 제곱근끼리의 합으로 고쳐 쓸 수 없다( 1학년의 꿈).[11] 일반적으로 [math((a\pm b)^2 \ne a^2\pm b^2)]인 것과 동일하게 생각하면 된다.
    [math(\sqrt{a \pm b} \ne \sqrt a \pm \sqrt b)]
  • 제곱근끼리의 곱은 근호 안으로 몰아서 곱한다. 단, [math(a^2b^3c^2d^6 = (ac)^2(bd^2)^3)]처럼 지수가 같은 것끼리 묶어서 표현했던 것처럼 근호가 제곱근으로 같지 않고 임의의 [math(m)], [math(n)]제곱근( [math(mperp n)])이면 식의 형태는 조금 다르다.
    [math(\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab} \\ \sqrt[m]a\sqrt[n]b = \sqrt[mn]{a^nb^m})]
  • 근호 밖에 있는 수는 근호 밖의 수끼리 곱한다
    [math(m\sqrt a\times n\sqrt b=mn\sqrt{ab})]
  • 나눗셈은 역수의 곱셈으로 고쳐서 계산한다.
    [math(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab} \\ m\sqrt a \div {\left(n\sqrt b\right)}=m\sqrt a\times \dfrac1{n\sqrt b}=\dfrac mn\sqrt{\dfrac ab})]

단, [math(m)]이 짝수인 [math(m)]제곱근에서 근호 내부의 수 [math(a)]가 [math(a<0)]일 경우[12] 부호가 바뀌는 경우가 있는 것에 주의할 것.
  • [math(\sqrt{-a}\sqrt{-b}=i\sqrt a\times i\sqrt b = i^2\sqrt{ab} = -\sqrt{ab})]
  • [math(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt{-b}}= \dfrac{\sqrt a}{i\sqrt b} = -\sqrt{\dfrac ab}i= -\sqrt{-\dfrac ab})]

2.2. 제곱근의 미분

  • 지수 꼴로 바꾼 다음 지수에서 1을 빼는 동시에 원래 지수의 값을 곱한다. 세제곱근, 네제곱근 등도 마찬가지.
    [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\sqrt x = \dfrac{\rm d}{{\rm d}x} x^{\frac12} = \dfrac12x^{-\frac12} = \dfrac1{2\sqrt x})]

2.3. 제곱근의 적분

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 치환적분 문서
번 문단을
부분을
참고하십시오.

3. 실수 제곱근의 수치계산법

전자계산기가 개발/보편화되지 않았던 옛날에는 고등학교때 제곱근을 소수로 바꾸는 법( 개평법)을 배웠다. 과거엔 제곱근을 구하기 위해선 아래의 방법들을 이용해 직접 계산하거나, 상용로그표처럼 제곱근표에서 미리 계산해놓은 값을 읽거나, 계산자를 이용했다.

지금은 계산기가 흔하니 웬만한 이과생들도 배우지 않지만, 아직도 이걸 활용하는 곳은 있다. 바로 마이크로프로세서를 설계하는 분야. 마이크로프로세서에 들어갈 제곱근기를 설계하려면 다양한 제곱근 알고리즘들과 각각의 장단점에 대해 알아야 한다. 일본 고등학교 수학과정의 경우 제곱근 개평법을 배우며, 소숫점 아래 8자리까지 외운다.

여기에 제시된 방법 말고도 펠 방정식, 테일러 전개[13], 골드슈미츠 알고리즘, 연분수 전개 등 여러 방법들이 있다.

3.1. 이진 탐색 알고리즘

우선 시행착오법을 예로 들면 [math(\sqrt{16})]나 [math(\sqrt{144})]같이 간단한 식은 어떤 수의 제곱을 하여 점점 가까워지는 수를 찾으면 된다. 예를 들어서 [math(\sqrt{16})]의 값을 구하려면 제곱이 되어서 [math(16)]이 되는 수를 찾아야 한다. [math(2^2=4)], [math(3^2=9)], [math(4^2=16)]으로서, 따라서 [math(\sqrt{16})]의 값은 [math(4)]이다. 이렇게 계속 수를 크게 하여 제곱해가면서 제곱근을 구하는 방법이 있다. 이러한 접근방법은 역방향 즉 계속해서 수를 작게 하여 제곱해가면서 제곱근을 구하는 방법을 동시에 사용함으로써 양쪽 방향에서 범위를 좁혀가는 이진 탐색 알고리즘(binary search algorithm)으로 정교하게 구현될 수 있다.
[math(\sqrt7)] 는 다음과 같이 조사할수있다.
[math(\begin{array}{ccccc}\sqrt4(=2) & < & \sqrt7 & < & \sqrt9(=3) \\
2^2 < \begin{matrix}2.5^2 \\(=6.25)\end{matrix} & < & \sqrt7^2 & < & 3^2(=9) \\
\begin{matrix}2.5^2\\(=6.25)\end{matrix} & < & \sqrt7^2 & < & \begin{matrix}2.75^2\\(=7.5625)\end{matrix} < 3^2(=9) \\
\begin{matrix}2.5^2\\(=6.25)\end{matrix} <\begin{matrix}2.625^2\\(=6.890625)\end{matrix} & < & \sqrt7^2 & < & \begin{matrix}2.75^2\\(=7.5625)\end{matrix} \\
\begin{matrix}2.625^2\\(=6.890625)\end{matrix} & < & \sqrt 7^2 & < & \begin{matrix}2.6875^2\\(=7.22265625)\end{matrix} < \begin{matrix}2.75^2\\(=7.5625)\end{matrix} \\
\begin{matrix}2.625^2\\(=6.890625)\end{matrix} & < & \sqrt 7^2 & < & \begin{matrix}2.65625^2\\(=7.0556640625)\end{matrix} < \begin{matrix}2.6875^2\\(=7.22265625)\end{matrix} \\
\begin{matrix}2.625^2\\(=6.890625)\end{matrix} < \begin{matrix}2.640625^2\\(=6.972900390625)\end{matrix} & < & \sqrt 7^2 & < & \begin{matrix}2.65625^2\\(=7.0556640625)\end{matrix} \\
\begin{matrix}2.640625^2\\(=6.972900390625)\end{matrix} & < & \sqrt 7^2 & < & \begin{matrix}2.6484375^2\\(=7.01422119140625)\end{matrix} < \begin{matrix}2.65625^2\\(=7.0556640625)\end{matrix} \\
\begin{matrix}2.640625^2\\(=6.972900390625)\end{matrix} < \begin{matrix}2.64453125^2\\(=6.993545532226563)\end{matrix} & < & \sqrt 7^2 & < & \begin{matrix}2.6484375^2\\(=7.01422119140625)\end{matrix} \\
\begin{matrix}2.64453125^2\\(=6.993545532226563)\end{matrix} & < & \sqrt 7^2 & < & \begin{matrix}2.646484375^2\\(=7.003879547119141)\end{matrix} < \begin{matrix}2.6484375^2\\(=7.01422119140625)\end{matrix} \end{array})]
[math(\therefore \sqrt7 = 2.645\cdots)]
문제는 [math( 2^3 < 10 )]이므로 유효숫자 1자리를 더 얻기 위해 평균적으로 3번 이상 반복해야 한다는 점이다.

3.2. 개방법(digit-by-digit calculation)

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 세로셈법 문서
번 문단을
개방법 부분을
참고하십시오.

3.3. 바빌로니아법

바빌로니아법(Babylonian method) 또는 헤론법(Heron's method)이라고도 불리며 [14] 뉴턴-랩슨 방법의 제곱근버전이라고 할 수 있다.

뉴턴-랩슨법은 기본적으로 함수를 접선으로 근사해서 근을 찾아나가는 방식인데 [math(\sqrt c)]를 찾는다고 하면 이는 방정식 [math(f(x) = x^2-c=0)]의 [math(0)]보다 큰 근을 찾는 것과 같다. 이 함수 그래프의 [math(x=a)]에서의 접선의 방정식은 [math(f'(a) \times (x-a) + f(a))]이고 이 방정식은 [math(x=a-\dfrac{f(a)}{f'(a)})]일 때 [math(0)]이 된다 이를 정리하면 [math(x = \dfrac{a + {\dfrac ca}}2)]가 되며 이 [math(x)]를 새 [math(a)]로 삼아 반복한다. 뉴턴-랩슨 방법 문서에서 [math(\sqrt2)]의 계산법을 보여주고 있다.

[math(a)]를 엄청 생뚱맞게 잡아도([math(1)]이라던가) [math(c>0)]이고 [math(a>0)]이기만 하면 바빌로니아 법을 쓰면 [math(a)]가 [math(\sqrt c)]로 수렴한다.

문제는 산술기하 부등식을 잘 조작해보면 알겠지만, 운 좋게 [math(a=\sqrt c)]로 시작하지 않는 이상, 두 번째 [math(a)]부터는 항상 [math(\sqrt c<a)]라는 것이다. 즉 [math(\sqrt{313.29})]같이 잘 나누어 떨어지는 수라도 처음에 [math(a=17.7)]로 시작하지 않는다면 무한번 하지 않는 이상 [math(a)]는 [math(17.7)]보다 큰 값이 나온다. 이런 문제도 있고 무한소수가 툭하면 나오기 때문에 유효숫자를 정해두고 거기까지만 계산하여 다음 [math(a)]를 정하고 더 이상 변화가 없을 때 끊는 방식으로 주로 사용한다. 그래도 계산이 쉽고 수렴속도가 엄청나게 빨라서 꽤나 유용하다. 얼마나 빠르냐면 [math(a=600)]으로 [math(\sqrt{125348})]를 유효숫자 소수점 아래 3자리까지 구하는데 5번 반복하면 된다. 계산을 반복할 때마다 유효숫자가 2배씩 늘어난다.[15]

3.4. 상용로그 이용

[math(\log \sqrt[n]{a} = \dfrac{\log a}n)]라는 성질을 이용해서 거듭제곱근을 구하는 방법이다. 로그값을 알아야 쓸 수 있기 때문에 상용로그표를 구비해야 한다는 단점이 있다.

4. 복소수의 제곱근

허수도 제곱근을 정의할 수 있다. 허수 단위 [math(i)]의 제곱근은 [math(\pm{\left(\cos\dfrac\pi4 + i \sin\dfrac\pi4\right)} = \pm{\left(\dfrac1{\sqrt2} + \dfrac1{\sqrt2}i\right)})] 이다. 이는 오일러의 공식에서 유도할 수 있다. 그러나 위 정의에도 나와 있듯이 일반적으로 루트 기호는 실수의 제곱근에만 정의되어 있으므로 [math(\sqrt i)]와 같은 표기는 사용하기 힘들다. 제곱근은 두 개인 반면 근호가 붙은 수는 하나의 수로 정의해야 하는데, [math(a)]를 복소수 단위까지 확장하면, 그 제곱근 중 하나는 실수 부분이 양의 부호지만 허수 부분이 음의 부호고, 또 다른 하나는 실수 부분이 음의 부호지만 허수 부분이 음의 부호라서 판별하기 모호한 경우도 생긴다.[16] 따라서, 복소수의 제곱근을 편의상 루트 기호로 나타내고 싶다면 둘 중 어느 제곱근을 근호로 표기할 것인지 미리 정의해 놓아야 한다.[17]

4.1. 극형식(polar form)

일반적으로 구하기 까다로운 복소수의 제곱근은 극형식을 이용하면 쉽게 구할 수 있다. 풀이는 쉽지만 문제는 극형식에 들어가는 각도 [math(\phi)]를 구하기 위해 역삼각함수를 써야 한다는 점.극혐식 각도만 구할 수 있다면 오일러의 공식을 응용해서 근을 전부 구할 수 있다. 먼저 다음과 같은 관계식이 주어졌다고 하자. [math(w = z^n)](단, [math(z\ne0)], [math(n)]은 자연수) 이때 위 식에서 [math(z)]를 [math(w)]의 [math(n)]제곱근이라 하고, 이것을 [math(z = \sqrt[n]w)]와 같이 나타낸다. 만약 복소수 [math(z)]와 [math(w)]의 극형식이 각각 [math(\begin{cases}z = \rho(\cos\phi + i\sin\phi) & (\rho > 0) \\ w = r(\cos\theta + i\sin\theta) &(r > 0)\end{cases})]이면 극형식의 성질에 따라[18] [math(z^n = \rho^n(\cos n\phi + i\sin n\phi) = r(\cos\theta + i\sin\theta))]이다. 따라서 정수 [math(k)]에 대해 [math(\begin{cases}\rho^n = r \\ n\phi = \theta + 2k\pi\end{cases})]이므로[19] [math(\begin{cases}\rho = \sqrt[n]r \\ \phi = \dfrac{\theta + 2k\pi}n\end{cases})]이다. 따라서 [math(z\ne0)]일 때 [math(w = z^n)]은 [math(n)]차 방정식이므로 [math(n)]개의 근 [math(z)]를 갖는다. 이렇게 구한 [math((\rho,\,\phi))]를 극형식으로 나타낸 [math(z)]에 대입하면 [math(z_k = w^\frac1n = \sqrt[n]r {\left\{\cos{\left(\dfrac{\theta + 2k\pi}n\right)} + i\sin{\left(\dfrac{\theta + 2k\pi}n\right)}\right\}})]을 얻는다. [math(n)]개의 근을 얻기 위해서는 [math(k =0,\,1,\,\cdots,\,n-1)]을 대입하면 된다. 다른 정수 [math(k)]는 어차피 이 [math(n)]개 중 어느 하나와 [math(2l\pi)] ([math(l\ne0)], [math(l)]은 정수) 만큼 차이 나는 각도를 주므로 극형식에선 같은 값이 나온다.

4.1.1. 예시

  • [math(8i)]의 세제곱근을 모두 구하시오.
극형식으로 표현하면 [math(i = \cos(\theta+2k\pi) + i\sin(\theta+2k\pi))]에서 [math(\theta=\dfrac\pi2)]이므로 [math(8i = 8{\left\{\cos{\left(\dfrac\pi2 + 2k\pi\right)} + i\sin{\left(\dfrac\pi2 + 2k\pi\right)}\right\}})]이다.

[math(\begin{aligned}{\left(8i\right)}^\frac13 &= {\left[8{\left\{\cos{\left(\dfrac\pi2+2k\pi\right)}+i\sin{\left(\dfrac\pi2+2k\pi\right)}\right\}}\right]}^\frac13 \\ &= 2{\left\{\cos{\left(\dfrac\pi6+\dfrac{2k\pi}3\right)}+i\sin{\left(\dfrac\pi6+\dfrac{2k\pi}3\right)}\right\}}\end{aligned})]

마지막 식에서 [math(k=3)]이면 한 주기가 반복되므로 세제곱근을 [math(z_k ~(k=0,\,1,\,2))]로 나타낼 때 각각 계산하면,
[math(\begin{cases} z_0 = 2{\left\{\cos{\left(\dfrac\pi6\right)} + i\sin{\left(\dfrac\pi6\right)}\right\}} = 2{\left(\dfrac{\sqrt3}2 + \dfrac i2\right)} = \sqrt3 + i \\
z_1 = 2{\left\{\cos{\left(\dfrac{5\pi}6\right)} + i\sin{\left(\dfrac{5\pi}6\right)}\right\}} = 2{\left(-\dfrac{\sqrt3}2 + \dfrac i2\right)} = -\sqrt3 + i \\
z_2 = 2{\left\{\cos{\left(\dfrac{3\pi}2\right)} + i\sin{\left(\dfrac{3\pi}2\right)}\right\}} = -2i\end{cases})]
가 나온다. 따라서 [math(8i)]의 세제곱근은 모두 3개로 [math(i\pm\sqrt3)], [math(-2i)]이다.

5. 무리함수

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6. 이중근호

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7. 단위근

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8. 제곱근행렬

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9. 기타

  • 인천광역시 시내버스 공동배차 시절, 근호를 형상화한 듯한 도색(정확히는 바다를 형상화했다고 한다)을 활용하여 버스 동호인 사이에서 루트도색이라고 불린다. 신발 회사인 반스 역시 상표가 ANS에 근호 씌워 놓은 모양이라 관련 드립이 있다.
  • 표제어의 제약에도 불구하고 나무위키에는 √2, √3, √5 등의 문서가 생성되어 있다.
  • 약자로 사용할 땐 square root를 축약한 sqrt로 쓴다. [math(\sqrt2)]를 sqrt(2)로, [math(\sqrt{a\times b+b\times c+c\times a} )] 는 sqrt(a×b+b×c+c×a)로 쓰는 식이다.


[1] 드물지만 라틴계열 접두사인 cubic/quartic/quintic root로도 쓸 수 있다. [2] '[math(k)]루트 [math(a)]'라 부를 수도 있겠으나 [math(k\sqrt a)]와 헷갈릴 수 있어 추천하지 않는다. 영어로 [math(\sqrt[k]{})]를 '[math(k)]-th root'라고 읽는다는 점을 감안하여 '[math(k)]th 루트 [math(a)]'로 읽는 것이 대안이 될 수는 있을 것이다. [3] [math(x^3=8)]의 해와 같다. 즉 [math(x^3=8 \Leftrightarrow x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4) = 0)]에서 [math(x=\begin{cases}2 \\ -1\pm\sqrt{3}i\end{cases})]이다. [4] 《Behend vnnd Hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeincklich die Coss genennt werden》 [5] 사실 완성형에 근호는 있지만 체크 표시가 없어서인 것이 크게 작용한다. [6] 사실 원주율이 제곱근보다 더 먼저 등장하긴 하지만, 수학교과 내에서는 초월수니 뭐니 이 수의 정체를 알 방법이 없다. 반면에 [math(\sqrt2)]가 무리수임을 증명하는 것은 교과서에 바로 등장한다. 고등학교 1학년 때 배우는 수학의 귀류법 파트에서 나온다. [7] 교육과정이 바뀌어 중2과정으로 내려갔고, 자연수의 개념에서만 다루게 된다. [8] 다만 이차함수를 그대로 기반으로 두고 역함수로 만들 경우 음함수가 되기 때문에 그래프에서 [math(y=-\sqrt x)] 부분은 보통 제외한다. [9] 실제로 특정 꼴의 제곱근 함수는 타원적분이라는 특수함수로 역도함수를 표현해아 한다. [10] 레온하르트 오일러가 이 부분을 헷갈려서 음이든 양이든 상관없이 쓰다가 그럼 [math(\sqrt{-4} \times \sqrt{-9} = \sqrt{36}=6)]이냐?라고 까였다는건 꽤나 유명한 이야기...([math(\sqrt{-4}\times\sqrt{-9}=2i\times3i)]이며 [math((\sqrt{-1})^2=i^2=-1)]이므로 올바른 답은 [math(-6)]) [11] 단, 이것을 만족시키는 [math(a)], [math(b)]의 값이 존재하기는 하지만, 적어도 둘 중 하나가 0이어야 하거나(덧셈), [math(b=0)] 아니면 [math(a=b)]여야 한다(뺄셈)는 조건이 붙는 등 근호 자체가 무의미해지는 간단한 수식이 된다.
1. [math(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b)]에서 양변을 제곱하여 근호를 벗겨내면 [math(\cancel{a+b}=\cancel{a+b}+2\sqrt{ab} \Leftrightarrow 2\sqrt{ab}=0 \Leftrightarrow ab=0)]이므로 [math(a=0)] 혹은 [math(b=0)].
2. [math(\sqrt{a-b}=\sqrt a-\sqrt b)]도 마찬가지로 양변을 제곱하면 [math(\cancel a-b = \cancel a+b-2\sqrt{ab} \Leftrightarrow \cancel2\sqrt{ab}=\cancel2b \Leftrightarrow ab=b^2 \Leftrightarrow ab-b^2 = b(a-b) = 0)]에서 [math(b=0)] 또는 [math(a=b)]이다.
[12] 정확히는 [math(\sqrt{-1}=i)]로 빼내는 관습을 쓴다면 [13] 미분으로 어림하기 참조. [14] 이름이 붙여진 유래는 이 방법이 등장한 최고(最古)의 문건이 헤론의 저작이고, 일부에선 고대 바빌로니아인도 이 방법을 사용한 것으로 추정하기 때문이다. 실제로 바빌로니아인들이 [math(\sqrt2)]의 근사값을 60진법으로 3자리까지 (즉 1/216000의 정확도로) 구한 석판이 현재까지 남아 있다. [15] 대충 반복 횟수에 대해 ‘이중 기하급수적’으로 정밀도가 증가하는 셈이다. 반복 횟수가 늘어날수록 분모와 분자의 자릿수가 기하급수적으로 커짐에 따라 통분에 필요한 계산량이 기하급수적으로 커지는 점을 감안해도 총 계산량이 정밀도의 로그값의 제곱에 비례한다. 일정 이상 분자와 분모의 자릿수가 커지면 Karatsuba 등의 곱셈 알고리즘을 쓸 수도 있어서 시간복잡도는 낮아진다. [16] 어떤 복소수가 오느냐에 따라 제곱근 중 한쪽은 실수 부분과 허수 부분이 동시에 양이고 다른 한쪽은 동시에 음이 될 수도 있다. [17] WolframAlpha는 실수 부분에 음의 부호가 붙지 않은 것을 채택하고 있으며, 만일 실수 부분이 [math(0)]일 경우 허수 부분에 음의 부호가 붙지 않은 값을 근호 값으로 채택하고 있다. [18] 극형식에서 곱셈을 하면 절댓값([math(\rho)], [math(r)])은 그대로 곱해지지만 각도([math(\phi)], [math(\theta)])는 덧셈이 된다. 드 무아브르 공식 참조. [19] 극형식에 쓰이는 삼각함수의 주기가 [math(\rm2\pi\,rad)]이므로 각도가 [math(2k\pi)]만큼 늘어나도 극형식에선 같은 값을 얻는다.