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1. 개요
Mittag-Lefflers sats / Mittag-Leffler 定 理 / Mittag-Leffler's theorem복소해석학에서 주어진 극점을 가지고 유리형 함수의 존재를 설명하는 정리이다. 이 정리는 부분 분수들의 합으로써 유리형 함수를 표현하는 데에 사용한다. 또한 주어진 영점을 가지고 전해석함수의 존재를 설명하는[1] 바이어슈트라스 분해 정리와 비슷하기도 하다. 스웨덴의 수학자 예스타 미타그레플레르가 정립했다.
2. 내용
복소수를 정의역으로 삼는 함수 [math(f)]가 단순극을 가지며, 연속 혹은 [math(z = 0)]에서 제거할 수 있는 특이점을 갖는 유리함수라고 하고, [math(f)]의 극들의 정의역 집합을 [math(X)]라고 하자.[math(N\in\N)]에 대하여, 원점에서 반지름이 [math(R_N)]인 원판 [math(C_N)]을 상정하고, [math(N\to\infty)]일 때 [math(R_N\to\infty)]이고, 원판의 일부인 [math(\partial C_N)]은 임의의 [math(N)]에 대해서 [math(f)]의 극을 포함하지 않으면서 [math(z \in \partial C_N)]이면 [math(|f(z)|<M)]을 만족하는, [math(N)]과는 독립인 실수 [math(M>0)]이 존재한다고 할 때 [math(f(z))]는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
| [math(\displaystyle f(z) = f(0) + \sum_{k\in X}\operatorname{Res}(f,\,k){\left(\frac1k + \frac1{z-k}\right)})] |
3. 특징
[math(D)]를 [math(\mathbb C)]의 열린 집합으로 두고, [math(E\subset D)]를 닫힌 이산 부분집합이라고 하자. [math(E)]의 각 원소 [math(a)]에서, [math(p_a(z))]를 [math(\cfrac1{z-a})]의 다항식이라고 한다면,[2] [math(D)]의 유리형 함수 [math(f)]가 [math(a\in E)]에서 존재할 때, 함수 [math(f(z)-p_a(z))]는 [math(a)]에서만 소거될 수 있다.눈여겨봐야 할 것은 [math(a)]에서의 [math(f)]의 주요부분이 [math(p_a(z))]라는 것이다. 추가로 확인할 것은, [math(E)]가 유한할 때, [math(\displaystyle f(z) = \sum_{a\in E}p_a(z))]로 정의되지만, [math(E)]가 무한할때는 [math(E)]에서 유한 부분 집합 [math(F)]로 구성된 유한합인 [math(\displaystyle S_F(z)= \sum_{a\in E}p_a(z))]로 정의된다. 그럼에도 불구하고, [math(S_F(z))]의 수렴이 여전히 불가능할 때, [math(S_F(z))]의 주요부분의 변형없이 적절히 선택된 [math(D)]값과 무관한 극점들을 가진 유리형 함수들을 소거해야 한다.
4. 예시
모든 양수에서 간단한 극점을 가진 유리함수를 얻는다고 하자. 상세에서 언급된 것과 같이, [math(p_k = \cfrac1{z-k})]을 정의하자,이때 다음과 같은 미타그레플레르 정리는 [math(z=k)]에서 주부 [math(p_k(z))]를 가진 유리함수 [math(f)]가 존재함을 보인다.
| [math(\begin{aligned} f(z) &= \sum_{k=1}^\infty{\left(\frac1k + \frac1{z-k}\right)} \\ &= z\sum_{k=1}^\infty\frac1{k(z-k)} \end{aligned})] |
복소수 집합 [math(\mathbb C)]에서 이 급수는 완벽히 수렴한다.
5. 유리함수의 극점 전개
5.1. 삼각함수
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삼각함수를 미타그레플레르 정리로 표현하면 다음과 같다.
| <colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\tan z)] | [math(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty{\left\{\frac1{\dfrac{2n+1}2\pi-z} - \frac1{\dfrac{2n+1}2\pi+z}\right\}} = \sum_{n=0}^\infty\frac{8z}{(2n+1)^2{\pi}^2-4z^2})] |
| [math(\csc z)] | [math(\displaystyle \sum_{n\in\mathbb Z} \frac {(-1)^n}{z-n\pi} = \frac1z + 2z \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{z^2-(n\pi)^2})] |
| [math(\sec z)] | [math(\displaystyle \sum_{n\in\mathbb Z} \frac {(-1)^n}{{\left(n+ \dfrac12\right)}\pi - z} = \sum_{n=0}^\infty \frac {4(-1)^n(2n+1)\pi}{(2n+ 1)^2\pi^2-4z^2})] |
| [math(\cot z)] | [math(\displaystyle \sum_{n\in\mathbb Z} \frac1{z-n\pi} = \frac1z + 2z\sum_{n=1}^\infty \frac1{z^2 -(n\pi)^2})] |
5.2. 쌍곡선 함수
쌍곡선 함수를 삼각함수로 나타낸 정의식에서 유도할 수 있다.| <colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\tanh(z))] | [math(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty{\left\{\frac{-i}{\dfrac{2n+1}2\pi-iz} - \frac{-i}{\dfrac{2n+1}2\pi+iz}\right\}} = \sum_{n=0}^\infty\frac{8z}{(2n+1)^2{\pi}^2+4z^2})] |
| [math(\operatorname{csch}(z))] | [math(\displaystyle \sum_{n\in\mathbb Z} \frac {i(-1)^n}{iz-n\pi} = \frac1z + 2z \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{z^2+(n\pi)^2})] |
| [math(\operatorname{sech}(z))] | [math(\displaystyle \sum_{n\in\mathbb Z} \frac {(-1)^n}{{\left(n+ \dfrac12\right)}\pi - iz} = \sum_{n=0}^\infty \frac {4(-1)^n(2n+1)\pi}{(2n+ 1)^2\pi^2+4z^2})] |
| [math(\operatorname{coth}(z))] | [math(\displaystyle \sum_{n\in\mathbb Z} \frac i{iz-n\pi} = \frac1z + 2z\sum_{n=1}^\infty \frac1{z^2+(n\pi)^2})] |
5.3. 바이어슈트라스 무한곱과의 관계
바이어슈트라스 분해 정리 문서를 보면 알겠지만, 특정한 전해석 함수를 수렴 조건과 영점을 가진 무한곱으로 표현함에 의의를 두고 있다. 마찬가지로, 미타그레플레르 정리를 활용하여 전해석함수의 바이어슈트라스꼴 무한곱을 만들수 있다.미타그레플레르 정리에 로그 미분을 대입하면
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[math(\displaystyle \dfrac{f'(z)}{f(z)} = \dfrac{f'(0)}{f(0)} +\sum_{k=1}^\infty \dfrac z{k(z-k)})]
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[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_0^z \dfrac{f'(z)}{f(z)} \,{\rm d}z &= \ln f(z) -\ln f(0) = z\dfrac{f'(0)}{f(0)} +\sum_{k=1}^\infty \left[ \ln(z - k) -\ln(-k) +\dfrac z{k} \right] \end{aligned})]
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
f(z) = f(0) e^{z\frac{f'(0)}{f(0)}} \prod_{k=1}^\infty \biggl( 1 -\dfrac zk \biggr) e^{\frac zk} \end{aligned} )] |
6. 참고 문헌
- G. B. Arfken et al., Mathematical Method for Physicists : A Comprehensive Guide