최근 수정 시각 : 2022-11-19 17:27:45

미타그레플레르 정리


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1. 개요2. 특징3. 예시4. 유리함수의 극점 전개
4.1. 삼각함수4.2. 쌍곡선 함수4.3. 바이어슈트라스꼴 감마 함수의 증명

1. 개요

미타그레플레르 정리(Mittag-Leffler theorem)는 복소해석학에서 주어진 극점을 가지고 유리형 함수의 존재를 설명하는 정리이다. 이 정리는 부분 분수들의 합으로써 유리형 함수를 표현하는 데에 사용한다. 또한 주어진 영점을 가지고 전해석함수의 존재를 설명하는[1] 바이어슈트라스 분해 정리와 비슷하기도 하다. 스웨덴의 수학자 예스타 미타그레플레르가 정립했다.

2. 특징

[math(D)]를 [math(\mathbb C)]의 열린 집합으로 두고, [math(E\subset D)]를 닫힌 이산 부분집합이라고 하자. [math(E)]의 각 원소 [math(a)]에서, [math(p_\text{a}(z))]를 [math(\frac{1}{z-a})]의 다항식이라고 한다면, [math(D)]의 유리형 함수 [math(f)]가 [math(a\in E)]에서 존재할 때, 함수 [math(f(z)-p_\text{a}(z))]는 [math(a)]에서만 소거될수 있다.

눈여겨봐야할 것은 [math(a)]에서의 [math(f)]의 주요부분이 [math(p_\text{a}(z))]라는 것이다. 추가로 확인할것은, [math(E)]가 유한할때, [math(\displaystyle f(z) = \sum_{a\in E}p_\text{a}(z))]로 정의되지만, [math(E)]가 무한할때는 [math(E)]에서 유한 부분 집합 [math(F)]로 구성된 유한 합인 [math(\displaystyle S_\text F(z)= \sum_{a\in E}p_\text{a}(z))]로 정의된다. 그럼에도 불구하고, [math(S_\text F(z))]의 수렴이 여전히 불가능할 때, [math(S_\text F(z))]의 주요부분의 변형없이 적절히 선택된 D값과 무관한 극점들을 가진 유리형 함수들을 소거해야 한다.

3. 예시

모든 양수에서 간단한 극점을 가진 유리함수를 얻는다고 하자. 상세에서 언급된 것과 같이, [math(p_\text k = \dfrac {1}{z-k})]을 정의하자,

이때 미타그레플레르 정리에 따라, [math(z=k)]에서 주요 부분 [math(p_\text{k}(z))]를 가진 유리함수 [math(f)]가 존재한다. 이말을 더 정확하게 수학식으로 쓰면 다음과 같이 된다.
[math(\displaystyle f(z) = \dfrac {1}{z} + \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac {1}{k(z-k)})]
복소수 집합 [math(\mathbb C)]에서 이 급수는 완벽히 수렴한다.

4. 유리함수의 극점 전개

4.1. 삼각함수

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삼각함수를 미타그레플레르 정리로 표현하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle \csc(z) = \sum_{n\in\mathbb Z} \dfrac {(-1)^n}{z-n{\pi}} = \dfrac {1}{z} + 2z \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \dfrac {1}{z^2-(n{\pi})^2})]

[math(\displaystyle \sec(z) = \sum_{n\in\mathbb Z} \dfrac {(-1)^{n-1}}{z-(n+ \dfrac {1}{2})} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {(-1)^n(2n+1){\pi}}{(n+ \dfrac {1}{2})^2{\pi}^2-z^2})]

[math(\displaystyle \cot(z) = \sum_{n\in\mathbb Z} \dfrac {1}{z-n{\pi}} = \dfrac {1}{z} + 2z \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac {1}{z^2 -(k{\pi})^2})]

[math(\displaystyle \csc^2(z) = \sum_{n\in\mathbb Z} \dfrac {1}{(z-n{\pi})^2})]

[math(\displaystyle \sec^2(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {8((2{\pi}+1)^2{\pi}^2+4z^2}{((2{\pi}+1)^2{\pi}^2-4z^2)^2})]

4.2. 쌍곡선 함수

쌍곡선 함수를 삼각함수로 나타낸 정의식에서 유도할 수 있다.

[math(\displaystyle \operatorname{csch}(z) = -i \sum_{n\in\mathbb Z} \dfrac {(-1)^n}{iz-n{\pi}} = -i \left(-\dfrac{i}{z} + 2iz \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \dfrac {1}{-z^2-(n{\pi})^2}\right))]

[math(\displaystyle \operatorname{sech}(z) = \sum_{n\in\mathbb Z} \dfrac {(-1)^{n-1}}{iz-(n+ \dfrac {1}{2})} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {(-1)^n(2n+1){\pi}}{(n+ \dfrac {1}{2})^2{\pi}^2+z^2})]

[math(\displaystyle \coth(z) = -i \sum_{n\in\mathbb Z} \dfrac {1}{iz-n{\pi}} = -i \left( -\dfrac{i}{z} + 2iz \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac {1}{-z^2 -(k{\pi})^2}\right))] ||

4.3. 바이어슈트라스꼴 감마 함수의 증명

바이어슈트라스 분해 정리 문서를 보면 알겠지만, 바이어슈트라스는 감마함수의 단순항꼴 공식으로 다소 복잡하게 바이어슈트라스 꼴 감마함수를 고안했다. 하지만, 미타그레플레르 정리를 사용하면 단순항꼴에서 바이어슈트라스 분해 정리를 사용하는 것보다 어디까지나 간단하게 바이어슈트라스꼴 감마함수를 나타낼 수 있다.

미타그레플레르 정리에 로그 미분을 대입하면,

[math(\displaystyle \dfrac{f'(z)}{f(z)} = \dfrac{f'(0)}{f(0)} + \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac {1}{k_n(1-k)})]

양 항에 적분을 하면,

[math(\displaystyle \int_{0}^{z} \dfrac{f'(z)}{f(z)} {\rm d}z = \ln f(z) - \ln f(0))]

[math(\displaystyle = z\dfrac{f'(0)}{f(0)} + \sum_{k=1}^{\infty} \left[\ln(k - k_n) - \ln(-k_n) + \dfrac{k}{k_n}\right])]

함수 [math(f(z))]에서 자연로그를 없애면,

f(z)=f(0)ezf(0)f(0)k=1(1kkn)ekkn\displaystyle f(z) = f(0)e^{z\frac{f'(0)}{f(0)}} \prod_{k=1}^{\infty}(1 - \dfrac{k}{k_n})e^{\frac{k}{k_n}}

[math(k_n=-\dfrac{1}{n}, k = z, f(0) = z, \dfrac{f'(0)}{f(0)}=\gamma)][2]라고 두면,

[math(\displaystyle \dfrac{1}{f(z)} = z e^{γz} \prod_{n=1}^{\infty}(1 + \dfrac{z}{n})e^{-\frac{z}{n}} = \frac{1}{Γ(z)})]
[1] 혹은 전해석함수를 영점을 가진 무한곱으로 표현하는 [2] [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수로 [math(\displaystyle γ= \sum_{n=1}^\infty \left\{ \frac 1n - \ln \left( 1+ \frac 1n \right) \right\})]라고 정의된다.