최근 수정 시각 : 2022-06-01 21:33:47

삼각함수의 덧셈정리

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1. 개요2. 공식
2.1. 복소수의 경우
3. 증명
3.1. 단위원을 이용한 증명
3.1.1. 모든 각에 대하여 덧셈 정리가 유효한 이유
3.2. 삼각형의 넓이를 이용한 증명3.3. 벡터를 이용한 증명3.4. 선형변환을 이용한 증명3.5. 미분을 이용한 증명3.6. 오일러 공식을 이용한 증명
4. 따름정리
4.1. 삼각함수의 합성4.2. 배각의 공식
4.2.1. 3배각의 공식
4.3. 반각의 공식4.4. 곱을 합으로 바꾸는 공식4.5. 합을 곱으로 바꾸는 공식
5. 기타6. 관련 문서

1. 개요

angle addition and subtraction formulas · -

의 합이나 차에 대한 삼각함수의 값을 구하는 공식이다. 알렉산드리아의 수학자 프톨레마이오스(Claudius Ptolemaeus)의 저서 알마게스트(Almagest)에 최초로 언급되어 정리되었다.

2. 공식

두 각 [math(\alpha)], [math(\beta)]에 대하여 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\alpha \pm \beta)}&=\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta} \\ \cos{(\alpha \pm \beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \tan{(\alpha \pm \beta)}&=\frac{\tan{\alpha} \pm \tan{\beta}}{1 \mp \tan{\alpha}\tan{\beta}} \end{aligned} )]
복부호 동순이며, [math(\alpha)], [math(\beta)]의 부호에 관계 없이 성립한다.

2.1. 복소수의 경우

간단히 [math(\sin\beta \to i \sinh \beta)], [math(\cos\beta \to \cosh \beta)]로 갈음하면 된다. [math(\sinh)], [math(\cosh)], [math(\tanh)]는 쌍곡선 함수이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\alpha\pm i \beta)}&=\sin\alpha\cosh\beta\pm i \cos\alpha\sinh\beta \\ \cos{(\alpha\pm i \beta)}&=\cos\alpha\cosh\beta\mp i \sin\alpha\sinh\beta \\\tan{(\alpha\pm i \beta)}&=\frac{\tan\alpha\pm i \tanh\beta}{1\mp i \tan\alpha\tanh\beta} \end{aligned} )]

3. 증명

이 문서에서는 대표적인 6가지를 서술했으나 이 외에도 여러 방법이 있다.

3.1. 단위원을 이용한 증명

파일:namu_삼각_덧셈정리_1.svg

위 그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 원점인 단위원을 그리고, [math(x)]축과 이루는 양의 방향의 각이 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]([math(\alpha \geq \beta \geq 0)])인 두 반지름 [math(\overline{\rm{OA}})], [math(\overline{\rm{OB}})]를 고려하자. 세 점 [math(\rm O)], [math(\rm A)], [math(\rm B)]는 삼각형 [math(\rm OAB)]를 형성하며, [math({\rm A}(\cos{\alpha},\,\sin{\alpha}))], [math({\rm B}(\cos{\beta},\,\sin{\beta}))]이다.

[math(\angle \rm AOB=\alpha-\beta)]([math(\alpha-\beta \geq 0)])에 대하여 코사인 법칙을 적용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\overline{\rm{AB}} }^{2}&={\overline{\rm{OA}} }^{2}+{\overline{\rm{OB}} }^{2}-2{\overline{\rm{OA}} } \cdot {\overline{\rm{OB}} } \cos{(\angle \rm AOB)}\\ &=1^2+1^2-2\cdot 1 \cdot 1 \cos{(\alpha-\beta)} \\&= 2-2\cos{(\alpha-\beta)} \end{aligned} )]
한편, 좌표 사이의 거리 공식에 의하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} {\overline{\rm{AB}} }^{2}&=\left[\sqrt{(\cos{\alpha}-\cos{\beta})^{2}+(\sin{\alpha}-\sin{\beta})^{2}} \right]^{2} \\&=(\sin^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha})+(\sin^{2}{\beta}+\cos^{2}{\beta})-2( \cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}) \\&=1+1-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} ) \\&=2-2( \cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} ) \end{aligned} )]
여기서 삼각함수 항등식 [math(\sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}=1)]을 사용하였다. 위와 아래의 결과를 비교함으로써 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )]

파일:namu_삼각덧셈정리_4.svg

위 그림의 경우에는, 동일한 과정을 거쳐 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{(-\beta)}+\sin{\alpha}\sin{(-\beta)} \\ &=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )]

한편,
[math(\displaystyle \cos{\left\{\frac{\pi}{2}-(\alpha \pm \beta) \right\} }=\sin{(\alpha \pm \beta)} )]
임을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\alpha \pm \beta)}&=\cos{\left( \frac{\pi}{2}-\alpha \mp \beta \right)} \\&=\cos{\left\{ \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \mp \beta \right\}} \\&=\cos{ \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\cos{\beta} \pm \sin{ \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\sin{\beta} \\&=\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )]

탄젠트에 대한 덧셈 정리는 쉽게
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{(\alpha \pm \beta)}&=\frac{\sin{(\alpha \pm \beta)}}{\cos{(\alpha \pm \beta)}}\\&=\frac{\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta} }\\&= \frac{\dfrac{\sin{\alpha}\cos{\beta} \pm \cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta} }}{\dfrac{\cos{\alpha}\cos{\beta} \mp \sin{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}} } \\&=\frac{\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \pm \dfrac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}}{1 \mp \dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\dfrac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}} } \\&=\frac{\tan{\alpha} \pm \tan{\beta}}{1 \mp \tan{\alpha} \tan{\beta}} \end{aligned} )]

위의 과정에서는 [math(\alpha \geq \beta \geq 0)]과 [math(\alpha + \beta \geq 0)] 혹은 [math(\alpha - \beta \geq 0)]을 만족시킬 때만 증명했지만 실제로는 모든 [math(\alpha)], [math(\beta)]에 대하여 성립한다.(아래 문단 참조)

3.1.1. 모든 각에 대하여 덧셈 정리가 유효한 이유

위 문단에서 [math(\alpha \geq \beta \geq 0)], [math(\alpha + \beta \geq 0)] 혹은 [math(\alpha - \beta \geq 0)]을 만족시킬 때, 덧셈 정리를 유도했다. 그렇다면 모든 [math(\alpha)], [math(\beta)]에 대해서도 덧셈 정리가 성립할까? 예를 들어서 설명하면 '코사인의 덧셈 정리 [math(\cos{(\alpha+\beta})=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta})]가 [math(\alpha \geq 0)], [math(\beta < 0)]을 만족시킬 때, 이 덧셈 정리는 유효한가?'가 이 문단에서 묻고자 하는 바이다. 결론적으로 말하면, 모든 각에 대하여 유효한데, 이것을 이 문단에서 초등적으로 증명해보고자 한다.

[math(\alpha)], [math(\beta)]의 부호에 관계 없이 덧셈 정리가 유효함을 증명하는 것은 코사인에 대해서만 할 것인데, 이는 코사인을 통해 사인, 탄젠트의 덧셈 정리가 유도됐기 때문에 코사인이 증명되면 사인과 탄젠트는 자동으로 성립하기 때문이다.

우선 [math(\cos{(\alpha+\beta)})]에 대해 증명하자. 코사인의 성질로 위의 조건을 만족시키도록 식을 변형한 뒤 식을 되돌리는 방식으로 증명한다.

[1] [math(\boldsymbol{\alpha \geq0,\,\beta < 0})]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(\alpha-|\beta|)} \end{aligned} )]
한편, [math(\alpha-|\beta|)]는 양도 음도 될 수 있으므로 [math(\alpha \geq |\beta|)], [math(\alpha < |\beta|)]인 영역으로 나눈다. 전자의 경우 [math(\alpha -|\beta| > 0)]을 만족시키므로 유도했던 덧셈 정리를 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(\alpha-|\beta|)} \\ &=\cos{\alpha}\cos{|\beta|}+\sin{\alpha}\sin{|\beta|} \\ &=\cos{\alpha}\cos{(-|\beta|)}+\sin{\alpha}\{-\sin{(-|\beta|)}\}\\&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )]
따라서 덧셈 정리를 적용할 수 있다. 후자에 대해선
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(\alpha-|\beta|)} \\ &=\cos{(|\beta|-\alpha)} \end{aligned} )]
[math(|\beta|-\alpha>0)]을 만족시키므로 유도했던 덧셈 정리를 쓰면 다음과 같이 동일한 결과를 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)} &=\cos{|\beta|}\cos{\alpha}+\sin{|\beta|}\sin{\alpha} \\ &=\cos{(-|\beta|)}\cos{\alpha}+\{-\sin{(-|\beta|)}\}\sin{\alpha} \\&=\cos{\beta}\cos{\alpha}-\sin{\beta}\sin{\alpha} \\&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )]

[2] [math(\boldsymbol{\alpha < 0,\,\beta \geq 0})]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(-|\alpha|+\beta)}=\cos{(\beta-|\alpha|)} \end{aligned} )]
그런데 이 꼴은 [1]에서 보았던 꼴이므로 [1]의 결과에서 [math(\alpha \to \beta)], [math(\beta \to \alpha)]로 대치하면 된다. 따라서 이 경우에도 덧셈 정리는 성립한다.

[3] [math(\boldsymbol{\alpha < 0,\,\beta < 0})]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\{-(|\alpha|-|\beta|)\}}=\cos{(|\alpha|+|\beta|)} \end{aligned} )]
이 경우 [math(|\alpha| +|\beta| > 0)]을 만족시키므로 유도했던 덧셈 정리를 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{(|\alpha|+|\beta|)} \\ &=\cos{|\alpha|}\cos{|\beta|}-\sin{|\alpha|}\sin{|\beta|} \\ &=\cos{(-|\alpha|)}\cos{(-|\beta|)}-\{-\sin{(-|\alpha|)}\}\{-\sin{(-|\beta|)}\} \\&= \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )]
곧, 이 경우에도 덧셈 정리가 성립한다.

같은 방법으로 [math(\cos{(\alpha-\beta)})]의 경우에도 부호에 관계없이 덧셈 정리를 적용할 수 있음을 증명할 수 있다.

이 결과는 [math(\alpha+\beta)] 혹은 [math(\alpha-\beta)]가 음이라도 덧셈 정리는 유효함 또한 암시한다. 나아가 상술했듯 각이 실수가 아니어도 성립한다.

3.2. 삼각형의 넓이를 이용한 증명

파일:namu_삼각덧셈정리_10.svg

위 그림과 같이 삼각형 [math(\rm ABC)]를 고려하자. 한 꼭짓점 [math(\rm A)]에서 [math(\overline{\rm BC})]에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하자. 이때, 삼각형 [math(\rm ABC)]은 삼각형 [math(\rm ABH)], 삼각형 [math(\rm AHC)]으로 분할된다. 이때, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}=\frac{1}{2}\overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm AC} \sin{(\alpha+\beta)} \end{aligned} )]
한편, [math(\triangle {\rm ABC}=\triangle {\rm ABH}+\triangle {\rm AHC})]인데,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABH}&=\frac{1}{2}\overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm AH} \sin{\alpha} \\ \triangle{\rm AHC}&=\frac{1}{2}\overline{\rm AC} \cdot \overline{\rm AH} \sin{\alpha} \end{aligned} )]
삼각비의 정의에 따라
[math(\displaystyle \overline{\rm AH}=\overline{\rm AB}\cos{\alpha}=\overline{\rm AC}\cos{\beta} )]
이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABH}&=\frac{1}{2}\overline{\rm AB} \cdot (\overline{\rm AC} \cos{\beta}) \sin{\alpha} \\ \triangle{\rm AHC}&=\frac{1}{2}\overline{\rm AC} \cdot (\overline{\rm AB} \cos{\alpha}) \sin{\beta} \\ \therefore \triangle {\rm ABC}&=\frac{1}{2}\overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm AC} (\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}) \end{aligned} )]
두 방식으로 구한 [math(\triangle {\rm ABC})]의 우변을 비교하면,
[math(\displaystyle \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} )]
으로 단위 원을 사용했을 때와 같은 결과를 얻음을 알 수 있다.

3.3. 벡터를 이용한 증명

[math(x)]축과 이루는 양의 방향의 각이 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]인 두 단위 벡터 [math(\mathbf{V})], [math(\mathbf{U})]를 고려하자. 두 벡터의 내적
[math(\displaystyle \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{U}=|\mathbf{V} \mathbf{U}|\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{(\alpha-\beta)} )]
이다. 한편,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{V}&=(\cos{\alpha},\,\sin{\alpha}) \\ \mathbf{U}&=(\cos{\beta},\,\sin{\beta}) \end{aligned} )]
이므로 내적의 값은
[math(\displaystyle \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{U}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} )]
두 결과를 비교하면,
[math(\displaystyle \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} )]
이는 단위 원을 이용했을 때의 증명과 같은 결과이므로 같은 방법으로 사인, 탄젠트에 대한 덧셈 정리를 얻을 수 있다.

3.4. 선형변환을 이용한 증명

파일:namu_삼각덧셈정리_9.svg

위 그림과 같이 좌표평면상 점 [math({\rm P}(1,\,0))]에 대하여 [math(\alpha)]만큼 회전한 뒤 놓이는 점을 [math({\rm P'})], 다시 [math(\beta)]만큼 회전한 뒤 놓이는 점을 [math({\rm P''})]이라 하자.

삼각함수의 정의에 의하여 [math({\rm P}(\cos{(\alpha+\beta)},\,\sin{(\alpha+\beta)}))]임은 자명하다. [math(\mathrm{P\to P})]의 변환을 기술하는 행렬
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix}\cos{\beta} \,\,\,&-\sin{\beta} \\ \sin{\beta} \,\,\,& \cos{\beta}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos{\alpha} \,\,\,&-\sin{\alpha} \\ \sin{\alpha} \,\,\,& \cos{\alpha}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \,\,\,&-(\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}) \\ \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \,\,\,& \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{bmatrix} \end{aligned} )]
이 변환이 행해진 후 점의 좌표는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix}\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \,\,\,&-(\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}) \\ \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \,\,\,& \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \end{bmatrix} \end{aligned} )]
한편, [math({\rm P''}(\cos{(\alpha+\beta)},\,\sin{(\alpha+\beta)}))]이므로 위 변환의 결과는
[math(\displaystyle \begin{bmatrix}\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos{(\alpha+\beta)} \\ \sin{(\alpha+\beta)} \end{bmatrix} )]
각 성분을 비교하면 단위원을 이용했을 때와 결과가 동일함을 알 수 있다.

3.5. 미분을 이용한 증명

이미 [math((\sin{x})'=\cos{x})], [math((\cos{x})'=-\sin{x})]임을 알고 있다. 임의의 실수 [math(a)]에 대하여 [math(a)]를 고정한 후
[math(\displaystyle f(x)=\cos{(a-x)}\cos{x}-\sin{x}\sin{(a-x)} )]
로 놓으면
[math(\displaystyle f'(x)=\sin{(a-x)}\cos{x}-\cos{(a-x)}\sin{x}-\cos{x}\sin{(a-x)}+\sin{x}\cos{(a-x)}=0 )]
이다. 또한 [math(f(0)=\cos{a})]이므로 곧 [math(f(x))]는 [math(f'(x)=0)], [math(f(0)=\cos{a})]를 동시에 만족시키는 것이므로 부정적분하면 상수함수가 돼야 함을 알 수 있다.
[math(\displaystyle f(x)=\cos{(a-x)}\cos{x}-\sin{x}\sin{(a-x)}=\cos{a} )]
이다. 이때, 모든 실수 [math(x)], [math(y)]에 대하여 [math(a=x+y)]로 놓으면
[math(\displaystyle \cos{(x+y)}=\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y})]
으로 단위 원을 이용했을 때와 같은 결과를 얻는다.

이 결과는 모든 실수 [math(x)], [math(y)]에 대해 성립하므로 모든 각에 대하여 덧셈 정리가 유효함 또한 뒷받침하고 있다.

3.6. 오일러 공식을 이용한 증명

오일러 공식
[math(\displaystyle e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}\quad(i=\sqrt{-1}))]
을 이용하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} e^{i\alpha}e^{i\beta}&=e^{i(\alpha+\beta)}\\&=\cos{(\alpha+\beta)}+i\sin{(\alpha+\beta)} \end{aligned} )]
한편,
[math(\displaystyle \begin{aligned} e^{i\alpha}e^{i\beta}&=(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})(\cos{\beta}+i\sin{\beta}) \\&=(\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta})+i(\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}) \end{aligned} )]
두 복소수가 같을 조건에 의하여 실수부와 허수부를 분리하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Im(e^{i\alpha}e^{i\beta})&=\sin{(\alpha + \beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta} \\ \Re(e^{i\alpha}e^{i\beta})&=\cos{(\alpha +\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned} )]
이는 단위 원을 통해 유도한 결과와 같다.

4. 따름정리

아래 문단을 정리하면 아래와 같다.
  • 삼각함수의 합성
    [math(\displaystyle \begin{aligned} a\sin{\theta}+b\cos{\theta}&=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta+\varphi)} \quad & \left( \sin{\varphi}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \, \cos{\varphi}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) \\ &=\sqrt{a^2+b^2}\cos{(\theta-\nu)} \quad & \left( \sin{\nu}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \, \cos{\nu}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) \end{aligned} )]
  • 배각의 공식
    [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{2\alpha}&=2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \\ \cos{2\alpha}&=2\cos^{2}{\alpha}-1 \\ &=1-2\sin^{2}{\alpha} \\ &=\frac{1-\tan^{2}{\alpha}}{1+\tan^{2}{\alpha}} \\ \tan{2\alpha}&=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^{2}{\alpha}} \end{aligned} )]
  • 반각의 공식
    [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}&=\frac{1-\cos{\alpha}}{2} \\ \cos^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}&=\frac{1+\cos{\alpha}}{2} \\ \tan^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}&=\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}} \end{aligned} )]
  • 곱을 합으로 바꾸는 공식
    [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\alpha}\cos{\beta}&=\frac{1}{2}\{ \sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)} \}\\ \cos{\alpha}\sin{\beta}&=\frac{1}{2}\{ \sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)} \} \\ \cos{\alpha}\cos{\beta}&=\frac{1}{2}\{ \cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)} \} \\ \sin{\alpha}\sin{\beta}&=-\frac{1}{2}\{ \cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)} \} \end{aligned} )]
  • 합을 곱으로 바꾸는 공식
    [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{A}+\sin{B}&=2\sin{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \sin{A}-\sin{B}&=2\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\sin{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \cos{A}+\cos{B}&=2\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \cos{A}-\cos{B}&=-2\sin{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\sin{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \end{aligned} )]

4.1. 삼각함수의 합성

상수 [math(a)]와 [math(b)]에 대하여 각이 동일한 삼각함수 [math(a\sin{\theta}+b\cos{\theta})]를 고려하자.

아래의 그림과 같이 좌표평면상 점 [math({\rm P}(a,\,b))]를 고려하자.

파일:namu_삼각덧셈정리_2.svg

이때, [math(x)]축과 선분 [math(\rm OP)]가 이루는 양의 방향의 각을 [math(\varphi)]라 하자. 이때, 삼각함수의 정의에 의하여 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\varphi}&=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \cos{\varphi}&=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned} )]
본래 고려했던 삼각함수의 식을 변형하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} a\sin{\theta}+b\cos{\theta}&=\sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{\theta}+ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{\theta}\right) \\&=\sqrt{a^2+b^2} (\sin{\theta}\cos{\varphi}+\cos{\theta}\sin{\varphi}) \\&=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta+\varphi)} \end{aligned} )]
즉, 다른 삼각함수를 합성했음에도 삼각함수가 나온다.

이번에는 아래의 그림과 같이 좌표평면상 점 [math({\rm Q}(b,\,a))]를 고려하자.

파일:namu_삼각덧셈정리_3.svg

이때, [math(x)]축과 선분 [math(\rm OQ)]가 이루는 양의 방향의 각을 [math(\nu)]라 하자. 이때, 삼각함수의 정의에 의하여 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\nu}&=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \cos{\nu}&=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned} )]
본래 고려했던 삼각함수의 식을 변형하면, 다음과 같이 쓸 수도 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} a\sin{\theta}+b\cos{\theta}&=\sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{\theta}+ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{\theta}\right) \\&=\sqrt{a^2+b^2} (\sin{\theta}\sin{\nu}+\cos{\theta}\cos{\nu}) \\&=\sqrt{a^2+b^2} (\cos{\theta}\cos{\nu}+\sin{\theta}\sin{\nu}) \\&=\sqrt{a^2+b^2}\cos{(\theta-\nu)} \end{aligned} )]

4.2. 배각의 공식

[math(\beta=\alpha)]를 사용함으로써 원 각의 두 배한 각에 대한 삼각함수의 값을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(2\alpha)}&=\sin{(\alpha+\alpha)} \\&=\sin{\alpha}\cos{\alpha} + \cos{\alpha}\sin{\alpha} \\&=2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \\ \\ \cos{(2\alpha)}&=\cos{(\alpha+\alpha)} \\&=\cos{\alpha}\cos{\alpha} - \sin{\alpha}\sin{\alpha} \\&=\cos^{2}{\alpha}-\sin^{2}{\alpha}\\&=\begin{cases} \begin{aligned} \,\, \cos^{2}{\alpha}- (1-\cos^{2}{\alpha}) &=2\cos^{2}{\alpha}-1 \\ (1-\sin^{2}{\alpha}) - \sin^{2}{\alpha} &=1-2\sin^{2}{\alpha} \\ \dfrac{\cos^{2}{\alpha}-\sin^{2}{\alpha}}{\cos^{2}{\alpha}+\sin^{2}{\alpha}}&=\dfrac{\dfrac{\cos^{2}{\alpha}-\sin^{2}{\alpha}}{\cos^{2}{\alpha}}}{\dfrac{\cos^{2}{\alpha}+\sin^{2}{\alpha}}{\cos^{2}{\alpha}}}=\dfrac{1-\tan^{2}{\alpha}}{1+\tan^{2}{\alpha}} \end{aligned} \end{cases} \\ \\ \tan{(2\alpha)}&=\tan{(\alpha+\alpha)} \\&=\dfrac{\tan{\alpha} + \tan{\alpha}}{1 - \tan{\alpha}\tan{\alpha}} \\&=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^{2}{\alpha}} \end{aligned} )]

4.2.1. 3배각의 공식

[math(3 \alpha =\alpha+2\alpha)]로 각을 변환한 뒤 덧셈 정리와 배각의 공식, 삼각함수 항등식을 사용하여 다음과 같이 원 각의 3배한 각에 대한 삼각함수의 값을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{3\alpha}&=3\sin{\alpha}-4\sin^{3}{\alpha} \\ \cos{3\alpha}&=-3\cos{\alpha}+4\cos^{3}{\alpha}\end{aligned} )]

참고적으로 [math(n)]배각 공식의 일반화는 쳬비쇼프 다항식이라 불리며 그 나름대로의 특이한 성질이 있다.

4.3. 반각의 공식

배각의 공식을 이용하여 원 각의 반 배한 각의 삼각함수의 값을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\alpha}&=\cos{\left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right)} \\&=2\cos^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}-1 \end{aligned} )]
반각에 대한 삼각함수의 값에 대하여 정리하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{1+\cos{\alpha}}{2} \end{aligned} )]
삼각함수 항등식 [math(\sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}=1)]을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}&=1-\cos^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\\&=1-\frac{1+\cos{\alpha}}{2}\\&=\frac{1-\cos{\alpha}}{2} \end{aligned} )]
탄젠트에 대하선 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}&=\frac{\sin^{2}{\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}}{\cos^{2}{\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}}\\&=\frac{\dfrac{1-\cos{\alpha}}{2}}{\dfrac{1+\cos{\alpha}}{2}}\\&=\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}} \end{aligned} )]

4.4. 곱을 합으로 바꾸는 공식

[math(\sin{2x}\cos{3x})]와 같이 곱으로 이루어진 삼각함수를 합으로 이루어지게 만드는 공식이다.

유도에 앞서 이때까지 나왔던 덧셈 정리를 정리해보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\alpha+\beta)}&=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \quad && \cdots \, {\text ①} \\ \sin{(\alpha-\beta)}&=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta} \quad && \cdots \, {\text ②} \\ \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \quad && \cdots \, {\text ③} \\ \cos{(\alpha-\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} \quad && \cdots \, {\text ④} \end{aligned} )]

식 ①과 식 ②를 더하고, 양변을 2로 나누면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\{ \sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)} \} \end{aligned} )]
식 ①에서 식 ②를 빼고, 양변을 2로 나누면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}\{ \sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)} \} \end{aligned} )]
식 ③과 식 ④를 더하고, 양변을 2로 나누면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\{ \cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)} \} \end{aligned} )]
식 ③에서 식 ④를 빼고, 양변을 2로 나누면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\alpha}\sin{\beta}=-\frac{1}{2}\{ \cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)} \} \end{aligned} )]

4.5. 합을 곱으로 바꾸는 공식

[math(\sin{2x}+\cos{3x})]와 같이 합으로 이루어진 삼각함수를 곱으로 이루어지게 만드는 공식이다.

이 공식은 곱을 합으로 바꾸는 공식에서 [math(\alpha+\beta = A)], [math(\alpha-\beta = B)]로 치환하여 얻을 수 있다. 두 식을 연립해서 풀면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \alpha&=\frac{A+B}{2} \\ \beta&=\frac{A-B}{2} \end{aligned} )]
를 얻을 수 있고, 이것을 곱을 합으로 바꾸는 공식에 각각 대입하여 정리하면, 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{A}+\sin{B}&=2\sin{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \sin{A}-\sin{B}&=2\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\sin{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \cos{A}+\cos{B}&=2\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \\ \cos{A}-\cos{B}&=-2\sin{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\sin{\left(\frac{A-B}{2}\right)} \end{aligned} )]
[math(\alpha)], [math(\beta)]는 모든 실수이므로 위 네 식은 모든 실수 [math(A)], [math(B)]에 대하여 성립한다.

5. 기타

  • 옛 명칭은 '삼각함수의 가법(加法)정리'이다.

6. 관련 문서






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