1. 개요
특이점(特異點, singularity)은 이상한 성질을 가지는 곡선 위의 특정한 점이다. 이 이상한 성질이라는 것은 어느 특정 지점에서 발산한다든지, 혹은 값을 지니지 않는다든지 등의 보통과 상이한 지점을 말한다. 조금 더 명확히 정의하면, 수학적인 오브젝트가 정의되지 않는 지점이다.2. 특성
대표적인 예로는 [math(f(x) = x^{-1})]와 같은 -1제곱에 비례하는 함수에서 [math(x=0)] 또는 [math(f(x) = 0)]인 경우. 이처럼 -1제곱에 비례하는 함수의 특이점은 관심의 대상이 되는 일이 많은데[1], 대표적으로 디랙 델타 함수가 이론의 전개를 위해 한 점에서 이런 꼴로 발산하는 함수를 가정한 것이다. 복소평면에선 닫힌 경로(쉽게 말하면 돌아서 다시 제자리로 오는 경로)로 적분시 이 점의 둘레만이 0이 아닌 적분값을 갖는다. 하지만 이 점 자체에서는 적분이 불가능하기 때문에 둘레를 돌아가는 다소 귀찮은 방법을 쓰게 된다.특수한 케이스로 디리클레 함수 [math(\bold{1}_{\mathbb Q})]에서 오일러-마스케로니 상수, 브룬 상수, 카탈랑 상수가 특이점에 속한다. 유리수인지 무리수인지 아직 밝혀지지 않았기 때문이다.
실해석학과 복소해석학에서 말하는 특이점은 서로 다르며, 각각 특이점을 다음과 같이 구분한다.
- 실해석학의 특이점
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제1종 특이점(type I singularity)
[math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 특이점을 가졌을 때, 이 특이점이 제1종 특이점이라는 것은 좌극한값과 우극한값이 둘 다 존재하며, 그 극한값과 함수값이 다음의 조건 중 하나를 만족하는 것과 동치이다. - [math(\displaystyle \lim_{x\to a^{-}}f(x)\neq\lim_{x\to a^{+}}f(x))]
- [math(\displaystyle \lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}f(x))]을 만족하되, [math(\displaystyle f(a)\neq \lim_{x\to a}f(x))]이거나 [math(\not\exists f(a))]
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제2종 특이점(type II singularity)
[math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 특이점을 가졌을 때, 이 특이점이 제2종 특이점이라는 것은 좌극한값과 우극한값중 적어도 1개는 존재하지 않으며 다음 조건 중 하나를 만족하는 것과 동치이다. - [math(\displaystyle \lim_{x\to a^{-}}f(x), \lim_{x\to a^{+}}f(x))]중 하나는 무한대로 발산하고, 다른 하나는 무한대로 발산하거나 임의의 수로 수렴한다.
- [math(\displaystyle \lim_{x\to a^{-}}f(x), \lim_{x\to a^{+}}f(x))]중 적어도 하나는 수렴하지 않고 무한대가 아닌 범위 내에서 발산한다.
1번을 만족하면 해당 함수는 [math(x=a)]에서 도약 불연속(jump discontinuity)이고, 해당 특이점을 도약 특이점(jump singularity)이라 한다.
2번을 만족하면 해당 함수는 [math(x=a)]에서 제거 가능 불연속(removable discontinuity)이고, 해당 특이점을 제거 가능 특이점(removable singularity)이라 한다.
1번을 만족하면 해당 함수는 [math(x=a)]에서 무한 불연속(infinite discontinuity)이고, 해당 특이점을 무한 특이점(infinite singularity)이라 한다.
2번을 만족하면 해당 함수는 [math(x=a)]에서 본질적 특이점(essential singularity)을 가진다고 한다. 본질적 특이점은 종종 '진성 특이점'이라고도 불린다.
- 복소해석학의 특이점
- 고립 특이점: 복소함수가 복소평면상에서 주어진 정의역상에서 해당 점을 제외한 어떤 근방에서 해석적인 경우를 의미한다. 복소해석학의 특이점은 기본적으로 고립특이점이다.
- 제거 가능 특이점
- 극점
- 본질적 특이점
함수 [math(f(z))] 가 [math(z=a)]에서 제거 가능 특이점을 지님은 [math(\displaystyle \lim_{z\to a}(z-a)f(a)=0)]임과 동치이다.
또한, 함수 [math(f(z))]가 근방 [math(N\setminus\{a\})]에서의 해석적 확장인 정칙함수 [math(g(z))]가 존재하여, [math(g(a))]가 존재하는 것과 동치이다.
혹은, 함수 [math(f(z))]를 [math(z=a)]에서 로랑 급수 전개시 주부(principal part)[2]가 존재하지 않음과 동치이다.
함수 [math(f(z))]가 [math(z=a)]에서 극점이라 함은 [math(\displaystyle \lim_{z\to a}\left|\frac{1}{f(z)}\right|=0)], 혹은 [math(\displaystyle \lim_{z\to a}|f(z)|=\infty)]임과 동치이다.
혹은, 함수 [math(f(z))]를 [math(z=a)]에서 로랑 급수 전개시, 주부의 항이 유한개임과 동치이다.
함수 [math(f(z))]가 [math(z=a)]에서 본질적 특이점을 지닌다는 것은 [math(f(z))]가 [math(z=a)]에서 극한값이 정의되지 않는 것과 동치이다.
혹은, 함수 [math(f(z))]를 [math(z=a)]에서 로랑 급수 전개시 주부의 항이 무한개임과 동치이다.
[1]
로그 적분 함수는 예외적으로 적분 범위를 [math([2,x])]로 조정해서 특이점인 [math(x=1)]을 정의역에서 빼버리는 경우가 많다.
[2]
로랑 급수 전개시 테일러 급수 전개에 더하여 [math((z-a))]의
음의 거듭제곱으로 전개되는 부분이 추가되는데, 이렇게 추가된 음의 거듭제곱 부분을 의미.