최근 수정 시각 : 2021-04-14 19:49:16

그란디 급수

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1. 개요
1.1. 초항부터 두 개씩 결합1.2. 초항을 제외하고 두 개씩 결합1.3. 무한 등비급수를 이용한 계산1.4. 식 변형1.5. 결론
2. 이 급수에 이름이 붙은 이유3. 관련 문서

1. 개요

Grandi's series

그란디 급수(Grandi's series)는, 1과 −1을 번갈아서 더하는 무한합

[math(1-1+1-1+1-1+\cdots)]

을 뜻한다. 무한급수는 부분합의 극한으로 정의되는데, 그란디 급수의 경우, 부분합이

[math(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(-1)^{n-1}=\frac{1-(-1)^{n}}{2})]

이므로, 그란디 급수는 발산한다.

1703년에 이 급수에 대해 논의했던 Luigi Guido Grandi의 이름을 따왔다.

1.1. 초항부터 두 개씩 결합


[math(1-1+1-1+1-1+\cdots)]

를 앞에서부터 차례대로 두 항씩 묶으면

[math((1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots)]

가 되고 괄호 안을 계산하여 주면 [math(0+0+0+\cdots)]이므로 이 방법의 경우 결과값은 0이다.

1.2. 초항을 제외하고 두 개씩 결합


[math(1-1+1-1+1-1+\cdots)]

를 가장 앞에 위치한 항인 1을 제외하고 두 항씩 묶어나가면

[math(1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots)]

가 되고, 괄호 안을 계산하여 주면 [math(1+0+0+0+\cdots)]이 되어 결과값은 1이된다.

1.3. 무한 등비급수를 이용한 계산


[math(f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots)]

에서 1을 제외한 나머지 항으로 부터 공통인수 [math(x)]를 가져오면

[math(f(x)=1+x(1+x+x^2+x^3+\cdots))]

이다. 괄호안의 식은 기존의 [math(f(x))]이므로 [math(f(x)=1+xf(x))]이다.

[math(xf(x))]를 좌변으로 이항하면 [math((1-x)f(x)=1)]이고 [math(x)]가 1이 아니라면 양변을 [math(1-x)]로 나눠도 무방하므로 [math(x)]가 1이 아니면 [math(f(x)=(1-x)^{-1})]이다. 이때, [math(x=-1)]을 대입하면

[math(1-1+1-1+\cdots=\dfrac{1}{1-(-1)}=\dfrac{1}{2})]

이 되어 결과값은 [math(1/2)]이다.

1.4. 식 변형


[math(S=1-1+1-1+\cdots)]

로 두면,

[math(\begin{aligned} 1-S&=1-(1-1+1-1+\cdots)\\&=1-1+1-1+\cdots \end{aligned})]

이므로 [math(S=1-S)]이므로 [math(S)]는 아래와 같다.

[math(S=1-1+1-1+\cdots=\dfrac{1}{2})]

1.5. 결론

결론적으로, [math(1-1+1-1+\cdots)]라는 수열의 합은 어떤 방법을 사용하냐에 따라 여러 개의 값이 나온다. 또한 위에서 설명한 방법외에 첫 번째와 두 번째 결과가 나타날 확률은 각각 [math(1/2)]이므로 이 수열의 합은 [math(1/2)]라는 주장도 존재한다. 이는 무한합을 유한합처럼 생각하면 오류가 난다는 것을 단적으로 보여주는 예들이라 볼 수 있다.

2. 이 급수에 이름이 붙은 이유

이 값에 대한 논쟁이 라이프니츠, 오일러 등등 17~18세기의 저명한 수학자들이 모두 한 번씩 참여한 논쟁이기 때문이다. 맨 먼저 이 문제를 제시한 그란디는 1.1과 1.2의 관점을 동시에 제시하면서 모순된다는 점을 지적하였지만, 여기서 그쳐서 답이 없다는 결론을 내는 대신에 1.3의 무한등비급수를 이용한 관점을 이용해 답은 [math(1/2)]라고 주장하였다. 많은 수학자들이 이 [math(1/2)] 논리에 여러 가지로 살을 붙였는데, 라이프니츠는 함수의 연속성에 기대어서 위의

[math(\displaystyle (1-x)^{-1} = \sum_{n \ge 0} x^{n})]

에서 [math(x \rightarrow -1)]의 극한을 정당화할 수 있다고 했고, 1.5에 얘기한 확률 주장을 제시하기도 하였다. 물론 야코프 베르누이처럼 역설이라고 한 수학자들도 많았다. 오일러도 양쪽 관점을 다 다루었지만 상당히 [math(1/2)] 쪽으로 기운 결론을 내렸다.

이미 무한급수의 값은 부분합의 수렴값으로 교통정리가 끝난 현대의 관점에서 보면 코시 엡실론-델타 이전의 무한급수에 대한 인식이 얼마나 얼척없었는지를 보여주는 한 예로 볼 수 있지만, 이러한 논쟁 때문에 비로소 무한급수 개념을 현대처럼 착오 없이 정립할 필요가 생긴 것이다. 수학사적 관점에서 보면 저 그란디 급수를 생각했던 관점에서 무한급수와 멱급수에 대한 인식이 어떻게 발전했는지를 엿볼 수 있고, 한편으로는 상기한 방식들 중 일부가 무한급수를 다른 방식으로 생각하는 체사로 합(Cesaro sum) 등등의 새로운 관점으로 이어지기도 했다. 이 체사로 합으로도 정의할수 없는 급수를 처리하기 위한 방법 중 하나가 라마누잔합이며, 라이프니츠의 방법도 현대엔 복소해석학을 통해 어느정도 정당화가 가능하다. 복소미분 가능한 함수의 연속성을 이용하면 수렴하지 않는 무한급수에 유일한 값을 지정해 줄 수 있기 때문. 특히 양자장론과 같은 현대물리학에서 '부분합의 수렴값' 정의는 발산하는 값이 너무 자주 튀어나오기 때문에 재규격화라는 과정이 필요한데 이 때 라마누잔합과 같은 정의는 유용하게 쓸 수 있다.

3. 관련 문서