최근 수정 시각 : 2024-06-04 16:39:45

르베그 적분

해석학· 미적분학
Analysis · Calculus
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"
<colbgcolor=#26455A>실수와 복소수 실수( 실직선 · 아르키메데스 성질) · 복소수( 복소평면 · 극형식 · 편각) · 근방 · 유계 · 콤팩트성 · 완비성
함수 함수 · 조각적 정의 · 항등함수 · 역함수 · 멱함수 · 다변수함수( 동차함수 · 음함수) · 다가 함수 · 함수의 그래프 · 좌표계 · 닮은꼴 함수 · 극값 · 볼록/오목 · 증감표
초등함수( 대수함수 · 초월함수 · 로그함수 · 지수함수 · 삼각함수) · 특수함수 · 범함수( 변분법 · 오일러 방정식) · 병리적 함수
극한·연속 함수의 극한 · 수열의 극한 · 연속함수 · ε-δ 논법 · 수렴( 균등수렴) · 발산 · 부정형 · 점근선 · 무한대 · 무한소 · 0.999…=1
중간값 정리 · 최대·최소 정리 · 부동점 정리 · 스털링 근사 · 선형근사( 어림)
수열· 급수 수열 · 급수( 멱급수 · 테일러 급수( 일람) · 조화급수 · 그란디 급수( 라마누잔합) · 망원급수( 부분분수분해)) · 그물
오일러 수열 · 베르누이 수열 · 월리스 곱
단조 수렴 정리 · 슈톨츠-체사로 정리 · 축소구간정리 · 급수의 수렴 판정 · 리만 재배열 정리 · 바젤 문제 · 파울하버의 공식 · 오일러-매클로린 공식 · 콜라츠 추측미해결
미분 미분 · 도함수( 이계도함수 · 도함수 일람) · 곱미분 · 몫미분 · 연쇄 법칙 · 임계점( 변곡점 · 안장점) · 매끄러움
평균값 정리( 롤의 정리) · 테일러 정리 · 역함수 정리 · 다르부 정리 · 로피탈 정리
립시츠 규칙 · 뉴턴-랩슨 방법 · 유율법
적분 적분 · 정적분( 예제) · 스틸체스 적분 · 부정적분( 부정적분 일람) · 부분적분( LIATE 법칙 · 도표적분법 · 예제) · 치환적분 · 이상적분( 코시 주요값)
미적분의 기본정리 · 적분의 평균값 정리
리시 방법 · 2학년의 꿈
다변수· 벡터 미적분 편도함수 · 미분형식 · · 중적분( 선적분 · 면적분 · 야코비안) · 야코비 공식
라그랑주 승수법 · 오일러 동차함수 정리 · 선적분의 기본정리 · 스토크스 정리( 발산 정리 · 그린 정리 변분법
미분방정식 미분방정식( 풀이) · 라플라스 변환
측도론 측도 · 가측함수 · 곱측도 · 르베그 적분 · 절대 연속 측도 · 라돈-니코딤 도함수
칸토어 집합 · 비탈리 집합
복소해석 코시-리만 방정식 · 로랑 급수 · 유수 · 해석적 연속 · 오일러 공식( 오일러 등식 · 드 무아브르 공식) · 리우빌의 정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리
함수해석 공간 위상 벡터 공간 · 국소 볼록 공간 · 거리공간 · 프레셰 공간 · 노름공간 · 바나흐 공간 · 내적공간 · 힐베르트 공간 · Lp 공간
작용소 수반 작용소 · 에르미트 작용소 · 정규 작용소 · 유니터리 작용소 · 컴팩트 작용소
대수 C*-대수 · 폰 노이만 대수
정리 한-바나흐 정리 · 스펙트럼 정리 · 베르 범주 정리
이론 디랙 델타 함수( 분포이론)
조화해석 푸리에 해석( 푸리에 변환 · 아다마르 변환)
관련 분야 해석기하학 · 미분기하학 · 해석적 정수론( 1의 거듭제곱근 · 가우스 정수 · 아이젠슈타인 정수 · 소수 정리 · 리만 가설미해결) · 확률론( 확률변수 · 중심극한정리) · 수치해석학 · 카오스 이론 · 분수계 미적분학 · 수리물리학 · 수리경제학( 경제수학) · 공업수학
양-밀스 질량 간극 가설미해결 · 나비에 스토크스 방정식의 해 존재 및 매끄러움미해결
기타 퍼지 논리
}}}}}}}}} ||

1. 개요2. 배경3. 정의 및 성질
3.1. 단순함수의 적분3.2. 가측 양함수의 적분3.3. 가측함수의 적분
4. 적용
4.1. 르베그 적분과 리만 적분의 관계4.2. 적분과 극한의 교환4.3. 르베그 공간의 구성

1. 개요

르베그 적분(Lebesgue integral, - , ( 프랑스어)Intégrale de Lebesgue)은 측도공간에서 정의된 적분이다. 리만 적분이 극한과 호환되지 않는 문제를 개선하기 위해 프랑스의 수학자 앙리 르베그(Henri Lebesgue) 르베그 측도와 함께 도입하었다.

2. 배경

직사각형의 넓이는 가로의 길이와 세로의 길이의 곱으로, 복잡한 영역의 넓이는 전체 영역을 직사각형 조각으로 구분하여 각 조각의 넓이를 모두 더하는 방법인 구분 구적법으로 구할 수 있다. 이와 같은 방법은 베른하르트 리만이 적분론을 정립하며 체계화 하였고, 리만 적분법을 이용해 여러 영역의 넓이를 구할 수 있게 되었다. 리만 적분은 무한소 등을 사용하여 논리적으로 엄밀하지 않았던 미적분학의 방법에서 벗어나 처음으로 엄밀하게 넓이를 정의한 혁신이었지만, 해석학의 발전과 함께 수학자들은 리만 적분의 한계점을 발견하게 되었다.
  • 기존의 해석학 이론만으로는 리만 적분 불가능한 함수의 조건을 판단할 수 없었다. 집합 [math(K=[0,1]\cap\{\frac1n\ |\ n\in\N\})]의 지시함수 [math(\bold{1}_K)]는 리만 적분 가능하지만 집합 [math(R=[0,1]\cap\mathbb{Q})]의 지시함수인 디리클레 함수는 리만 적분 불가능하다. 두 집합 [math(K)]와 [math(R)]은 모두 불연속점이 무한하여 불연속점 집합의 기수만으로는 리만 적분 가능성을 판별할 수 없다. 이에 더해, 적분 영역의 지시함수가 적분 불가능하면 적분 영역의 크기를 생각할 수 없다. 디레클레 함수가 리만 적분 불가능하므로 유리수의 길이를 정의할 수 없었다.
  • 리만 적분과 극한은 호환하지 않는다. 즉, 등식
    {{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;"
    [math(\displaystyle\int \!\left(\lim_{n\to\infty} f_n(x) \!\right) \!{\rm d}x= \lim_{n\to\infty} \!\left(\int f_n(x) \,{\rm d}x\right) )]}}}가 일반적으로 성립하지 않는다. 위 등식의 등호가 성립하는지 확인하기 위해서는 함수열의 균등수렴성을 추가로 고려해야 하는 번거로움이 있다.
  • 위의 한계들로 인하여 리만 적분만으로 함수 공간, 즉 함수들의 위상 벡터 공간을 완전하게 구성할 수 없다. 리만 적분 가능 함수 공간 [math(\mathcal{R})]에 거리
    {{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;"
    [math(\displaystyle d(f,g)=\int |f(x)-g(x)| \,{\rm d}x)]}}}가 주어졌을 때, 거리공간 [math((\mathcal{R},d))]는 코시열의 극한에 대해 닫혀 있지 않아 완비공간이 되지 못한다. 미분방정식, 푸리에 해석, 양자역학 등이 출현하며 함수 공간에 대한 체계적 이론이 요구되었으므로, 코시열의 수렴성을 보장할 수 있는 새로운 적분 이론의 필요성이 대두되었다.
수학자들은 리만 적분의 한계를 극복하기 위하여 노력하였고, 그 결과 측도와 그 위에서의 적분 이론을 정립하여 위 문제들을 해결할 수 있었다.

3. 정의 및 성질

르베그 적분은 직관적으로 각 함숫값 [math(a)]와 [math(a)]의 역상의 크기를 곱한 값들의 합으로 생각할 수 있다. 이를 계산하기 위해서는 집합의 크기에 대한 엄밀한 정의가 필요하다. 집합에 크기를 부여하는 것을 측도라고 하며, 르베그 측도는 유클리드 공간에서 자연스럽게 다루는 길이, 넓이, 부피 등의 개념을 추상화한 것이다. 또한, 함숫값과 역상의 측도를 곱한다는 착상이 성립되기 위해서는 피적분 함수의 역상이 가측성을 가져야 한다. 이러한 성질을 갖는 함수를 가측함수라고 하며, 르베그 적분은 가측함수를 대상으로 정의된다. 리만 적분이 정의역을 분할하여 극한을 취하여 그 적분값을 계산하는 것과 같이, 르베그 적분은 공역을 분할하여 극한을 취한다. 공역을 분할하여 얻은 함수를 단순함수라고 한다. 측도, 가측함수, 단순함수에 대한 자세한 내용은 해당 문서 참고.

측도공간 [math((X,\mathcal{M},\mu))]위의 가측 실함수의 적분은 다음과 같은 단계로 정의한다.
  1. [math([0,\infty])] 값을 갖는 [math(X)]의 가측함수 집합을 [math(\mathcal{L}^+)]라고 할 때, [math(\mathcal{L}^+)]의 단순함수의 적분을 정의한다.
  2. 단순함수열의 극한을 이용하여 [math(\mathcal{L}^+)]의 [math(f)]의 적분을 정의한다.
  3. [math(f=f^+-f^-)]이므로 임의의 가측함수 [math(f)]의 적분 가능성을 [math(\mathcal{L}^+)]의 두 가측함수의 적분을 이용해 정의한다.
측도공간의 적분을 정의하는 과정에서 [math(0\cdot\infty)]가 나타나는데, 이 값은 계산의 편의를 위해 [math(0)]으로 정의한다.

3.1. 단순함수의 적분

표준형으로 나타난 [math(\mathcal{L}^+)]의 단순함수 [math(\phi=\sum_{k=1}^n a_k1_{E_k})]의 측도 [math(\mu)]에 대한 적분은 다음과 같이 정의한다.

[math(\displaystyle\int\phi \,{\rm d}\mu=\sum_{k=1}^n a_k\mu(E_k))]

이는 특성함수의 각 함숫값 [math(a_k)]와 [math(a_k)]를 함숫값으로 갖는 [math(x)]의 집합의 측도를 곱하여 합한 값이다. [math(X)]의 부분집합 [math(A)]에 대하여 [math(\phi_A=\sum a_k1_{A\cap E_k})] 또한 [math(\mathcal{L}^+)]의 단순함수이므로 [math(\int_A\phi \,{\rm d}\mu=\int \phi_A \,{\rm d}\mu)]로 정의한다. [math(\mathcal{L}^+)]의 단순함수의 적분은 리만적분과 유사한 성질을 갖는다.

[math(\phi)]와 [math(\psi)]가 [math(\mathcal{L}^+)]의 단순함수일 때, 다음이 성립한다.
  1. 상수 [math(c\ge 0)]에 대하여 [math(\int c\phi=c\int\phi)].
  2. [math(\int(\phi+\psi)=\int\phi+\int\psi)].
  3. [math(\phi \le \psi)]이면 [math(\int\phi \le\int\psi)].
  4. [math(X)]의 서로소 부분집합 [math(E)], [math(F)]에 대하여 [math(\int_{E\cup F}\phi=\int_E \phi+\int_F \phi)].
  5. [math(X)]의 부분집합 [math(A)]를 [math(\int_A \phi \,{\rm d}\mu)]로 대응시키는 사상은 [math(\mathcal{M})] 위의 측도다.

3.2. 가측 양함수의 적분

[math(\mathcal{L}^+)]의 가측함수 [math(f)]의 적분은 다음과 같이 정의한다.

[math(\displaystyle\int f \,{\rm d}\mu=\sup\left\{\int \phi \,{\rm d}\mu\ \middle|\ 0\le\phi\le f,\ \phi \text{는 단순함수}\right\})]

가측함수의 적분은 단순함수의 적분의 상한으로 정의되기 때문에 정의 자체를 이용하여 적분을 다루는 것은 복잡하다. 하지만 [math(f\in \mathcal{L}^+)]가 [math(f)]로 수렴하는 단조증가 단순함수열 [math(\left\{\phi_n\right\}\subset \mathcal{L}^+)]를 갖는다는 사실과 다음 정리를 함께 활용하여 [math(f)]의 적분을 간단하게 다룰 수 있다.
단조 수렴 정리 (monotone convergence theorem)
[math(\mathcal{L}^+)]의 증가 함수열 [math(\{f_n\})]에 대하여 [math(f=\lim_{n\to\infty}f_n)]이라 하면 [math(\int f=\lim_{n\to\infty}\int f_n)]이다.

[math(f,g\in \mathcal{L}^+)]의 적분은 다음과 같은 성질을 가진다.
  1. 상수 [math(c\ge 0)]에 대하여 [math(\int cf=c\int f)].
  2. [math(\int(f+g)=\int f+\int g)].
  3. [math(f \le g)]이면 [math(\int f \le\int g)].
  4. [math(X)]의 서로소 부분집합 [math(E)], [math(F)]에 대하여 [math(\int_{E\cup F}f=\int_E f+\int_F f)].
  5. [math(\int f=0)]일 필요충분조건은 [math(f=0\ \text{a.e. })]이다.
위 성질을 이용하면 단조 수렴 정리의 가정에서 함수열 [math(\{f_n\})]의 [math(f)]로의 수렴 조건은 거의 모든 [math(x)]에서 [math(f)]로의 수렴으로 완화될 수 있다.

3.3. 가측함수의 적분

임의의 가측함수 [math(f:X\to\overline{\R})]은 두 가측양함수 [math(f^+,f^-\in \mathcal{L}^+)]에 대하여 [math(f=f^+-f^-)]이므로 [math(f)]의 적분은 다음과 같이 정의한다.

[math(\displaystyle\int f \,{\rm d}\mu=\int f^+\,{\rm d}\mu-\int f^- \,{\rm d}\mu)]

이때, 두 적분 [math(\int f^+)]와 [math(\int f^-)]가 모두 유한하면 [math(f)]는 적분 가능이라고 한다. [math(|f|=f^+ +f^-)]이므로 [math(f)]의 적분 가능성은 [math(\int |f|<\infty)]와 동치이다. 복소함수 [math(f)]에 대하여 [math(\int |f|<\infty)]일 때 [math(f)]를 적분 가능이라고 한다. 두 실함수 [math(u,v)]에 대하여 [math(f=u+iv)]이므로 [math(f)]의 적분 가능성은 실수부와 허수부 [math(u,v)]가 모두 적분 가능함과 동치이다. 측도공간 [math((\R,\mathcal{L},m))]에서 정의된 적분을 르베그 적분이라고 한다.

가측함수 [math(f,g)]의 적분은 다음과 같은 성질을 가진다.
  1. 상수 [math(c\ge 0)]에 대하여 [math(\int cf=c\int f)].
  2. [math(\int(f+g)=\int f+\int g)].
  3. [math(f \le g)]이면 [math(\int f \le\int g)].
  4. [math(X)]의 서로소 부분집합 [math(E)], [math(F)]에 대하여 [math(\int_{E\cup F}f=\int_E f+\int_F f)].
  5. [math(\left|\int f \right|\le \int |f|)]
  6. [math(\int f=0)]일 필요충분조건은 [math(f=0\ \text{a.e. })]이다.

위 성질에 따라 적분은 적분 가능 가측 함수 벡터 공간의 선형 범함수이다. 측도공간 [math((X,\mathcal{M},\mu))] 위에서 적분 가능한 가측 복소함수의 벡터공간을 [math(\mathcal{L}^1)](또는 [math(\mathcal{L}^1(X))], [math(\mathcal{L}^1(\mu))], [math(\mathcal{L}^1(X,\mu))] 등)으로 나타낸다.

4. 적용

4.1. 르베그 적분과 리만 적분의 관계

다음 정리를 통하여 르베그 적분은 리만 적분의 자연스러운 일반화임을 확인할 수 있다.
정리 (리만 적분과 르베그 적분의 관계)
구간 [math([a,b])]에서 유계인 실함수 [math(f)]가 리만 적분 가능하면 [math(f)]는 르베그 가측 함수이고 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\int_a^b f(x)\,{\rm d}x=\int_{[a,b]}f\,{\rm d}m)]

단, 위 정리는 이상적분에서는 성립하지 않는다. 함수 [math(f(x)=\dfrac{\sin x}x)]에 대하여

[math(\displaystyle\begin{aligned}\int_{[0,n\pi]}|f|\,{\rm d}\mu&=\sum_{k=1}^n\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}|f|\,{\rm d}x\\
&\ge\sum_{k=1}^n\frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}|\sin x|\,{\rm d}x\\
&=\sum_{k=1}^n\frac2{k\pi}\end{aligned})]

이고 급수 [math(\sum_{k=1}^\infty\dfrac2{k\pi})]는 발산하므로 [math(f)]는 르베그 적분 가능하지 않다. 그러나 이상적분 [math(\int_0^\infty f(x)\,{\rm d}x)]의 값은 [math(\dfrac\pi2)]이다.

또한 르베그 적분은 함수의 리만 적분 가능성의 필요충분조건을 제시한다.
정리 (리만 적분 가능성의 필요충분조건)
함수 [math(f)]가 [math([a,b])]에서 리만 적분 가능할 필요충분조건은 [math(m(\{x\in[a,b]\ |\ f\text{ is discontinuous at }x\})=0)]이다.
위 정리를 통해 집합 [math(K=[0,1]\cap\{\frac1n\ |\ n\in\N\})]의 특성함수 [math(1_K)]와 집합 [math(R=[0,1]\cap\mathbb{Q})]의 특성함수 [math(1_R)]의 구간 [math(I=[0,1])]에서의 리만 적분 가능성을 구분할 수 있다. [math(1_K)]의 불연속점 집합은 가산 집합인 [math(K)]로, [math(m(K)=0)]이므로 [math(1_K)]는 [math(I)]에서 리만 적분 가능하다. 반면에 [math(1_R)]의 불연속점은 [math(I)]로, 그 측도가 [math(1)]이므로 [math(1_R)]는 [math(I)]에서 리만 적분 불가능하다.

4.2. 적분과 극한의 교환

함수열의 리만 적분에서 적분과 극한의 교환은 함수열의 균등수렴성이 가정되어야만 했다. 측도 공간에서의 적분은 적분과 극한을 교환할 수 있는 조건을 완화한다. [math(\mathcal{L}^+)] 함수의 적분에서 상술된 바와 같이, [math(\mathcal{L}^+)]의 유계 증가 함수열에 대하여 적분과 극한은 교환 가능하다.
단조 수렴 정리 (monotone convergence theorem)
[math(\mathcal{L}^+)]의 함수열 [math(\{f_n\})]가 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 거의 어디에서나 [math(f_n\le f_{n+1})]를 만족시킨다. [math(\{f_n\})]가 거의 어디에서나 함수 [math(f)]로 수렴하면 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\int f=\int (\lim_{n\to\infty}f_n)=\lim_{n\to\infty}\int f_n)]

단조 수렴 정리를 이용하면 [math(\mathcal{L}^+)]의 함수항 급수의 적분 교환 역시 가능하다.
따름정리
[math(\mathcal{L}^+)]의 함수열 [math(\{f_n\})]에 대하여 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\int\sum_{n=1}^\infty f_n=\sum_{n=1}^\infty\int f_n)]

위 식의 우변이 수렴하면 함수항 급수 [math(\sum_{k=1}^\infty f_n(x))]는 거의 모든 [math(x)]에서 수렴한다.
단조 수렴 정리에서 함수열의 단조 증가가 가정되지 않으면 적분과 극한의 교환이 성립하지 않는다. 그러나 다음 정리를 통하여 극한 함수의 적분과 적분열의 극한 사이의 대소관계를 얻을 수 있다.
Fatou 보조정리 (Fatou's lemma)
[math(\mathcal{L}^+)]의 임의의 함수열 [math(\{f_n\})]에 대하여 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\int\left(\liminf\limits_{n\to\infty}f_n\,{\rm d}\mu\right)\le \liminf\limits_{n\to\infty} \int f_n\,{\rm d}\mu)]

특히, 함수열 [math(\left\{f_n\right\})]이 함수 [math(f\in \mathcal{L}^+)]로 [math(\text{a.e. })]수렴 또는 측도수렴하면 [math(\int f\le\liminf_{n\to\infty}\int f_n)]이다.

단조 수렴 정리는 함수열의 증가라는 강한 가정을 필요로 한다. 하지만 증가 조건이 없는 임의의 함수열에 대해서는 극한과 적분의 교환을 보장할 수 없다. 지배 수렴 정리는 단조 수렴 정리보다 완화된 가정만으로 함수열에 대한 극한과 적분의 교환 가능성을 보장한다.
지배 수렴 정리 (dominated convergence theorem)
[math(\mathcal{L}^1)]의 함수열 [math(\{f_n\})]이 다음 조건을 만족시킨다.
  • [math(\{f_n\})]은 함수 [math(f)]로 [math(\text{a.e. })]수렴 또는 측도수렴한다.
  • 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(|f_n|\le g\text{ a.e. })]를 만족시키는 함수 [math(g\in \mathcal{L}^1)]이 존재한다.
그러면 [math(f\in \mathcal{L}^1)]이고 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\int f=\int (\lim_{n\to\infty}f_n)=\lim_{n\to\infty}\int f_n)]

단조 수렴 정리와 마찬가지로 지배 수렴 정리 역시 함수항 급수에 대한 따름 정리를 갖는다.
따름 정리
[math(\mathcal{L}^1)]의 함수열 [math(\{f_n\})]에 대하여 [math(\sum_{n=1}^\infty\int |f_n|<\infty)]이면 함수항 급수 [math(\sum_{n=1}^\infty|f_n|)]는 거의 모든 곳에서 함수 [math(f\in \mathcal{L}^1)]으로 수렴한다. 또한 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\int f=\int \left(\sum_{n=1}^\infty f_n\right)=\sum_{n=1}^\infty\int f_n)]

4.3. 르베그 공간의 구성

르베그 적분의 성질에 의해 [math(\mathcal{L}^1)]은 벡터공간을 이룬다. 벡터공간 [math(\mathcal{L^1})]의 반노름을 다음과 같이 정의한다.

[math(\displaystyle\|f\|_{L^1}=\int |f|)]

거의 어디에서나 [math(0)]인 함수 [math(f)]에 대하여 [math(\int |f|=0)]이므로 반노름 [math(\|\cdot\|_{L^1})]은 노름이 아니다. 그러나 거의 어디에서나 [math(0)]인 함수의 동치류를 취하면 [math(\|f\|_{L^1}=0\Leftrightarrow f=0)]을 만족시켜 [math(\|\cdot\|_{L^1})]은 노름의 조건을 만족시키고, 노름 공간 [math(L^1)]을 거리공간으로 다룰 수 있게 된다. 이를 위해 두 함수 [math(f,g\in \mathcal{L}^1)]에 대하여 관계 [math(\sim)]를 다음과 같이 정의하자.

[math(f\sim g\Longleftrightarrow f=g\text{ a.e. })]

[math(\sim)]의 반사율과 대칭률은 자명하게 성립한다. 두 함수 [math(c_1,c_2)]를 [math(c_1=0\text{ a.e. })], [math(c_2=0\text{ a.e. })]로 정의하자. [math(\{x\in X \ |\ c_1\ne c_2\}\subseteq\{x\in X\ |\ c_1\ne0\}\cup\{x\in X\ |\ c_2\ne0\})]이고 [math(m(\{x\in X\ |\ c_i\ne0\})=0)] ([math(i=1,2)]) 이므로 [math(m(\{x\in X \ |\ c_1\ne c_2\})=0)]이다. 세 함수 [math(f,g,h\in \mathcal{L}^1)]에 대하여 [math(f\sim g)], [math(g\sim h)]라고 하면 [math(f-g=0\text{ a.e. })], [math(h-g=0\text{ a.e. })]이므로 [math(m(\{x\in X \ |\ f-g\ne h-g\})=0)]이다. 즉, [math(f=h\text{ a.e. })]로, [math(f\sim h)]이다. 따라서 [math(\sim)]은 반사율, 대칭률, 추이율을 모두 만족시켜 [math(\mathcal{L}^1)] 위의 동치 관계이다.

[math(\mathcal{L}^1)]의 동치 관계 [math(\sim)]에 대한 상집합을 [math(L^1)]이라 한다. 즉 [math(L^1=\mathcal{L}^1/\sim)]이다. 이후의 논의에 대한 편의를 위하여 [math(f)]의 동치류를 하나의 함수처럼 다루며, [math(\mathcal{L}^1)]에서 사용되던 용어 또한 [math(L^1)] 공간에서 동일한 맥락으로 사용한다.

위에서 제시된 [math(\mathcal{L^1})] 공간의 성질은 [math(L^1)] 공간에서도 이어져 [math(L^1)] 공간은 [math(\|f\|_{L^1}=\int |f|)]를 노름으로 갖는 노름 공간이다. 리즈 피셔 정리에 의해 [math(L^1)]은 노름에 대한 완비성을 갖춰 완비 노름 공간, 즉 바나흐 공간을 이룬다. [math(L^1)]의 함수열의 노름에 대한 수렴을 [math(L^1)] 수렴이라고 한다. 즉, 함수열 [math(\{f_n\})]과 함수 [math(f\in L^1)]에 대하여 [math(\|f_n-f\|_{L^1})]가 [math(0)]으로 수렴하면 [math(\{f_n\})]는 [math(f)]로 [math(L^1)] 수렴한다고 한다. 함수열의 균등수렴, 점별수렴, [math(\text{a.e. })]수렴 각각과 [math(L_1)]수렴은 서로를 함의하지 않는다. 그러나 [math(L_1)]수렴하는 함수열은 측도수렴한다.

단순함수 집합, 컴팩트 받침을 갖는 연속함수 집합 등은 [math(L^1)]의 조밀한 집합이다. 특히, [math(L^1)]은 조밀한 가산 부분집합을 가져 분리가능공간이다. [math(\R)] 위의 [math(L_1)] 공간의 경우, 유리수 [math(p_k\ q_k)]에 대하여 [math(I=\bigcup_{k=1}^n(p_k,q_k))]의 지시함수 [math(1_I)]의 유한 선형 결합이 조밀한 가산 부분집합을 이룬다.

르베그 적분 가능 함수 공간에 노름

[math(\displaystyle\|f\|_{L^p}=\left(\int |f|^p\right)^{1/p})]

가 주어진 경우 [math(L^p)] 공간이라고 한다. 자세한 내용은 르베그 공간 문서 참고.

유게 닫힌 구간 [math([a,b])]에서 리만 적분 가능 함수 공간과 [math(L_1)]공간을 비교해 보자. 리만 적분 가능 함수는 르베그 적분 가능하며, 르베그 적분 가능하지만 리만 적분 불가능 함수가 존재하므로 [math(\mathcal{R}\subsetneq\mathcal{L})]이다. 리만 적분의 성질에 의하여 [math(\mathcal{R})]은 벡터공간을 이룬다. 또한 다음과 같이 [math(\mathcal{R})]의 반노름을 정의한다.

[math(\displaystyle\|f\|_{\mathcal{R}}=\int_a^b |f(x)|\,{\rm d}x)]

두 함수 [math(f,g\in\mathcal{R})]가 [math(f=g\ \text{a.e.})]라고 하면 [math(f-g\in\mathcal{R})]이고 [math(\int_a^b|f-g|\,{\rm d}x=0)]이다. 따라서 [math(\mathcal{R})]의 동치 관계 [math(\sim)]을 위와 같은 방식으로 정의하여 [math(R=\mathcal{R}/\sim)]라고 하면 상공간 [math(R)]은 노름공간이다. [math(R)]은 [math(L^1=\mathcal{L^1}/\sim)]과 동일한 동치류를 취하여 얻은 공간이므로 [math(R)]은 [math(L^1)]의 부분공간이다.

[math(R)]은 [math(L^1)]과 달리 완비성을 갖지 않는다. [math(A=[a,b]\cap\mathbb{Q})]는 가산집합이므로 [math(A=\{r_n:n\in\N\})]으로 나타낼 수 있다. 자연수 [math(n)]에 대하여 집합 [math(A_n)]과 함수 [math(f_n)]을 각각

[math(A_n=\{r_1,\cdots\ ,r_n\},\ f_n(x)=\begin{cases}1&\text{if } x\in A_n\\0&\text{else}\end{cases})]

로 정의하면 [math(\lim_{n\to\infty}f_n=1_A)]이다. [math(1_A)]는 리만 적분 불가능 함수이므로 [math(1_A\notin R)]이다. 완비가 아닌 거리공간 [math(R)]은 완비화 가능하며, [math(R)]은 완비거리공간 [math(L^1)]의 부분집합으로서 동일한 노름으로부터 유도된 거리를 가지므로 [math(L^1)]은 [math(R)]의 완비화이다.