1. 개요
르베그 적분(Lebesgue integral, - 積 分, Intégrale de Lebesgue)은 측도공간에서 정의된 적분이다. 리만 적분이 극한과 호환되지 않는 문제를 개선하기 위해 프랑스의 수학자 앙리 르베그(Henri Lebesgue)가 르베그 측도와 함께 도입하었다.2. 배경
직사각형의 넓이는 가로의 길이와 세로의 길이의 곱으로, 복잡한 영역의 넓이는 전체 영역을 직사각형 조각으로 구분하여 각 조각의 넓이를 모두 더하는 방법인 구분 구적법으로 구할 수 있다. 이와 같은 방법은 베른하르트 리만이 적분론을 정립하며 체계화 하였고, 리만 적분법을 이용해 여러 영역의 넓이를 구할 수 있게 되었다. 리만 적분은 무한소 등을 사용하여 논리적으로 엄밀하지 않았던 미적분학의 방법에서 벗어나 처음으로 엄밀하게 넓이를 정의한 혁신이었지만, 해석학의 발전과 함께 수학자들은 리만 적분의 한계점을 발견하게 되었다.- 기존의 해석학 이론만으로는 리만 적분 불가능한 함수의 조건을 판단할 수 없었다. 집합 [math(K=[0,\ 1]\cap\{\frac{1}{n}\ |\ n\in\mathbb{N}\})]의 지시함수 [math(\bold{1}_K)]는 리만 적분 가능하지만 집합 [math(R=[0,\ 1]\cap\mathbb{Q})]의 지시함수인 디리클레 함수는 리만 적분 불가능하다. 두 집합 [math(K)]와 [math(R)]은 모두 불연속점이 무한하여 불연속점 집합의 기수만으로는 리만 적분 가능성을 판별할 수 없다. 이에 더해, 적분 영역의 지시함수가 적분 불가능하면 적분 영역의 크기를 생각할 수 없다. 디레클레 함수가 리만 적분 불가능하므로 유리수의 길이를 정의할 수 없었다.
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리만 적분과 극한은 호환하지 않는다. 즉, 등식
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[math(\displaystyle\int \left(\lim_{n\to\infty} f_n(x) \!\right) {\rm d}x= \lim_{n\to\infty} \left(\int f_n(x) \,{\rm d}x\right) )]}}}가 일반적으로 성립하지 않는다. 위 등식의 등호가 성립하는지 확인하기 위해서는 함수열의 균등수렴성을 추가로 고려해야 하는 번거로움이 있다. -
위의 한계들로 인하여 리만 적분만으로 함수 공간, 즉 함수들의 위상 벡터 공간을 완전하게 구성할 수 없다. 리만 적분 가능 함수 공간 [math(\mathcal{R})]에 거리
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[math(\displaystyle d(f,g)=\int |f(x)-g(x)| \,{\rm d}x)]}}}가 주어졌을 때, 거리공간 [math((\mathcal{R},d))]는 코시열의 극한에 대해 닫혀 있지 않아 완비공간이 되지 못한다. 미분방정식, 푸리에 해석, 양자역학 등이 출현하며 함수 공간에 대한 체계적 이론이 요구되었으므로, 코시열의 수렴성을 보장할 수 있는 새로운 적분 이론의 필요성이 대두되었다.
3. 정의 및 성질
르베그 적분은 직관적으로 각 함숫값 [math(a)]와 [math(a)]의 역상의 크기를 곱한 값들의 합으로 생각할 수 있다. 이를 계산하기 위해서는 집합의 크기에 대한 엄밀한 정의가 필요하다. 집합에 크기를 부여하는 것을 측도라고 하며, 르베그 측도는 유클리드 공간에서 자연스럽게 다루는 길이, 넓이, 부피 등의 개념을 추상화한 것이다. 또한, 함숫값과 역상의 측도를 곱한다는 착상이 성립되기 위해서는 피적분 함수의 역상이 가측성을 가져야 한다. 이러한 성질을 갖는 함수를 가측함수라고 하며, 르베그 적분은 가측함수를 대상으로 정의된다. 리만 적분이 정의역을 분할하여 극한을 취하여 그 적분값을 계산하는 것과 같이, 르베그 적분은 공역을 분할하여 극한을 취한다. 공역을 분할하여 얻은 함수를 단순함수라고 한다. 측도, 가측함수, 단순함수에 대한 자세한 내용은 해당 문서 참조.측도공간 [math((X,\ \mathcal{M},\ \mu))]위의 가측 실함수의 적분은 다음과 같은 단계로 정의한다.
- [math([0,\ \infty])] 값을 갖는 [math(X)]의 가측함수 집합을 [math(\mathcal{L}^+)]라고 할 때, [math(\mathcal{L}^+)]의 단순함수의 적분을 정의한다.
- 단순함수열의 극한을 이용하여 [math(\mathcal{L}^+)]의 [math(f)]의 적분을 정의한다.
- [math(f=f^+-f^-)]이므로 임의의 가측함수 [math(f)]의 적분 가능성을 [math(\mathcal{L}^+)]의 두 가측함수의 적분을 이용해 정의한다.
3.1. 단순함수의 적분
표준형으로 나타난 [math(\mathcal{L}^+)]의 단순함수 [math(\phi=\sum_{k=1}^n a_k1_{E_k})]의 측도 [math(\mu)]에 대한 적분은 다음과 같이 정의한다.[math(\displaystyle\int\phi \,d\mu=\sum_{k=1}^n a_k\mu(E_k))]
이는 특성함수의 각 함숫값 [math(a_k)]와 [math(a_k)]를 함숫값으로 갖는 [math(x)]의 집합의 측도를 곱하여 합한 값이다. [math(X)]의 부분집합 [math(A)]에 대하여 [math(\phi_A=\sum a_k1_{A\cap E_k})] 또한 [math(\mathcal{L}^+)]의 단순함수이므로 [math(\int_A\phi \,d\mu=\int \phi_A \,d\mu)]로 정의한다. [math(\mathcal{L}^+)]의 단순함수의 적분은 리만적분과 유사한 성질을 갖는다.
[math(\phi)]와 [math(\psi)]가 [math(\mathcal{L}^+)]의 단순함수일 때, 다음이 성립한다.
- 상수 [math(c\geq 0)]에 대하여 [math(\int c\phi=c\int\phi)].
- [math(\int(\phi+\psi)=\int\phi+\int\psi)].
- [math(\phi \leq \psi)]이면 [math(\int\phi \leq\int\psi)].
- [math(X)]의 서로소 부분집합 [math(E)], [math(F)]에 대하여 [math(\int_{E\cup F}\phi=\int_E \phi+\int_F \phi)].
- [math(X)]의 부분집합 [math(A)]를 [math(\int_A \phi \, d\mu)]로 대응시키는 사상은 [math(\mathcal{M})] 위의 측도다.
3.2. 가측 양함수의 적분
[math(\mathcal{L}^+)]의 가측함수 [math(f)]의 적분은 다음과 같이 정의한다.[math(\displaystyle\int f d\mu=\sup\left\{\int \phi \, d\mu\ \middle|\ 0\leq\phi\leq f,\ \phi \text{는 단순함수}\right\})]
가측함수의 적분은 단순함수의 적분의 상한으로 정의되기 때문에 정의 자체를 이용하여 적분을 다루는 것은 복잡하다. 하지만 [math(f\in \mathcal{L}^+)]가 [math(f)]로 수렴하는 단조증가 단순함수열 [math(\left\{\phi_n\right\}\subset \mathcal{L}^+)]를 갖는다는 사실과 다음 정리를 함께 활용하여 [math(f)]의 적분을 간단하게 다룰 수 있다.
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단조 수렴 정리 (Monotone Convergence Theorem) [math(\mathcal{L}^+)]의 증가 함수열 [math(\{f_n\})]에 대하여 [math(f=\lim_{n\to\infty}f_n)]이라 하면 [math(\int f=\lim_{n\to\infty}\int f_n)]이다. |
[math(f,\ g\in \mathcal{L}^+)]의 적분은 다음과 같은 성질을 가진다.
- 상수 [math(c\geq 0)]에 대하여 [math(\int cf=c\int f)].
- [math(\int(f+g)=\int f+\int g)].
- [math(f \leq g)]이면 [math(\int f \leq\int g)].
- [math(X)]의 서로소 부분집합 [math(E)], [math(F)]에 대하여 [math(\int_{E\cup F}f=\int_E f+\int_F f)].
- [math(\int f=0)]일 필요충분조건은 [math(f=0\ \text{a.e. })]이다.
3.3. 가측함수의 적분
임의의 가측함수 [math(f:X\to\overline{\mathbb{R}})]은 두 가측양함수 [math(f^+,\ f^-\in \mathcal{L}^+)]에 대하여 [math(f=f^+-f^-)]이므로 [math(f)]의 적분은 다음과 같이 정의한다.[math(\displaystyle\int f\,d\mu=\int f^+\,d\mu-\int f^- \, d\mu)]
이 때, 두 적분 [math(\int f^+)]와 [math(\int f^-)]가 모두 유한하면 [math(f)]는 적분 가능이라고 한다. [math(|f|=f^+ +f^-)]이므로 [math(f)]의 적분 가능성은 [math(\int |f|<\infty)]와 동치이다. 복소함수 [math(f)]에 대하여 [math(\int |f|<\infty)]일 때 [math(f)]를 적분 가능이라고 한다. 두 실함수 [math(u,\ v)]에 대하여 [math(f=u+iv)]이므로 [math(f)]의 적분 가능성은 실수부와 허수부 [math(u,\ v)]가 모두 적분 가능함과 동치이다. 측도공간 [math((\mathbb{R},\ \mathcal{L},\ m))]에서 정의된 적분을 르베그 적분이라고 한다.
가측함수 [math(f,\ g)]의 적분은 다음과 같은 성질을 가진다.
- 상수 [math(c\geq 0)]에 대하여 [math(\int cf=c\int f)].
- [math(\int(f+g)=\int f+\int g)].
- [math(f \leq g)]이면 [math(\int f \leq\int g)].
- [math(X)]의 서로소 부분집합 [math(E)], [math(F)]에 대하여 [math(\int_{E\cup F}f=\int_E f+\int_F f)].
- [math(\left|\int f \right|\leq \int |f|)]
- [math(\int f=0)]일 필요충분조건은 [math(f=0\ \text{a.e. })]이다.
위 성질에 따라 적분은 적분 가능 가측 함수 벡터 공간의 선형 범함수이다. 측도공간 [math((X,\ \mathcal{M},\ \mu))] 위에서 적분 가능한 가측 복소함수의 벡터공간을 [math(\mathcal{L}^1)](또는 [math(\mathcal{L}^1(X))], [math(\mathcal{L}^1(\mu))], [math(\mathcal{L}^1(X,\ \mu))] 등)으로 나타낸다.
4. 적용
4.1. 르베그 적분과 리만 적분의 관계
다음 정리를 통하여 르베그 적분은 리만 적분의 자연스러운 일반화임을 확인할 수 있다.|
정리 (리만 적분과 르베그 적분의 관계) 구간 [math([a,\ b])]에서 유계인 실함수 [math(f)]가 리만 적분 가능하면 [math(f)]는 르베그 가측 함수이고 다음이 성립한다. [math(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\int_{[a,\ b]}f\,dm)] |
[math(\displaystyle\begin{aligned}\int_{[0,\ n\pi]}|f|\, d\mu&=\sum_{k=1}^{n}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}|f|\,dx\\
&\geq\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}|\sin x|\,dx\\
&=\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{k\pi}\end{aligned})]
&\geq\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}|\sin x|\,dx\\
&=\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{k\pi}\end{aligned})]
이고 급수 [math(\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{2}{k\pi})]는 발산하므로 [math(f)]는 르베그 적분 가능하지 않다. 그러나 이상적분 [math(\int_0^\infty f(x)\,dx)]의 값은 [math(\dfrac{\pi}{2})]이다.
또한 르베그 적분은 함수의 리만 적분 가능성의 필요충분조건을 제시한다.
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정리 (리만 적분 가능성의 필요충분조건) 함수 [math(f)]가 [math([a,\ b])]에서 리만 적분 가능할 필요충분조건은 [math(m(\{x\in[a,\ b]\ |\ f\text{ is discontinuous at }x\})=0)]이다. |
4.2. 적분과 극한의 교환
함수열의 리만 적분에서 적분과 극한의 교환은 함수열의 균등수렴성이 가정되어야만 했다. 측도 공간에서의 적분은 적분과 극한을 교환할 수 있는 조건을 완화한다. [math(\mathcal{L}^+)] 함수의 적분에서 상술된 바와 같이, [math(\mathcal{L}^+)]의 유계 증가 함수열에 대하여 적분과 극한은 교환 가능하다.|
단조 수렴 정리 (The Monotone Convergence Theorem) [math(\mathcal{L}^+)]의 함수열 [math(\{f_n\})]가 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 거의 어디에서나 [math(f_n\leq f_{n+1})]를 만족시킨다. [math(\{f_n\})]가 거의 어디에서나 함수 [math(f)]로 수렴하면 다음이 성립한다. [math(\displaystyle\int f=\int (\lim_{n\to\infty}f_n)=\lim_{n\to\infty}\int f_n)] |
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따름정리 [math(\mathcal{L}^+)]의 함수열 [math(\{f_n\})]에 대하여 다음이 성립한다. [math(\displaystyle\int\sum_{n=1}^{\infty}f_n=\sum_{n=1}^{\infty}\int f_n)] 위 식의 우변이 수렴하면 함수항 급수 [math(\sum_{k=1}^{\infty}f_n(x))]는 거의 모든 [math(x)]에서 수렴한다. |
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Fatou 보조정리 (Fatou's Lemma) [math(\mathcal{L}^+)]의 임의의 함수열 [math(\{f_n\})]에 대하여 다음이 성립한다. [math(\displaystyle\int\left(\liminf\limits_{n\to\infty}f_n\,d\mu\right)\leq \liminf\limits_{n\to\infty} \int f_n\,d\mu)] 특히, 함수열 [math(\left\{f_n\right\})]이 함수 [math(f\in \mathcal{L}^+)]로 [math(\text{a.e. })]수렴 또는 측도수렴하면 [math(\int f\leq\liminf_{n\to\infty}\int f_n)]이다. |
단조 수렴 정리는 함수열의 증가라는 강한 가정을 필요로 한다. 하지만 증가 조건이 없는 임의의 함수열에 대해서는 극한과 적분의 교환을 보장할 수 없다. 지배 수렴 정리는 단조 수렴 정리보다 완화된 가정만으로 함수열에 대한 극한과 적분의 교환 가능성을 보장한다.
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지배 수렴 정리 (The Dominated Convergence Theorem) [math(\mathcal{L}^1)]의 함수열 [math(\{f_n\})]이 다음 조건을 만족시킨다.
[math(\displaystyle\int f=\int (\lim_{n\to\infty}f_n)=\lim_{n\to\infty}\int f_n)] |
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따름 정리 [math(\mathcal{L}^1)]의 함수열 [math(\{f_n\})]에 대하여 [math(\sum_{n=1}^{\infty}\int |f_n|<\infty)]이면 함수항 급수 [math(\sum_{n=1}^{\infty}|f_n|)]는 거의 모든 곳에서 함수 [math(f\in \mathcal{L}^1)]으로 수렴한다. 또한 다음이 성립한다. [math(\displaystyle\int f=\int \left(\sum_{n=1}^{\infty}f_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\int f_n)] |
4.3. 르베그 공간의 구성
르베그 적분의 성질에 의해 [math(\mathcal{L}^1)]은 벡터공간을 이룬다. 벡터공간 [math(\mathcal{L^1})]의 반노름을 다음과 같이 정의한다.[math(\displaystyle\|f\|_{L^1}=\int |f|)]
거의 어디에서나 [math(0)]인 함수 [math(f)]에 대하여 [math(\int |f|=0)]이므로 반노름 [math(\|\cdot\|_{L^1})]은 노름이 아니다. 그러나 거의 어디에서나 [math(0)]인 함수의 동치류를 취하면 [math(\|f\|_{L^1}=0\Leftrightarrow f=0)]을 만족시켜 [math(\|\cdot\|_{L^1})]은 노름의 조건을 만족시키고, 노름 공간 [math(L^1)]을 거리공간으로 다룰 수 있게 된다. 이를 위해 두 함수 [math(f,\ g\in \mathcal{L}^1)]에 대하여 관계 [math(\sim)]를 다음과 같이 정의하자.
[math(f\sim g\Longleftrightarrow f=g\text{ a.e. })]
[math(\sim)]의 반사율과 대칭률은 자명하게 성립한다. 두 함수 [math(c_1,\ c_2)]를 [math(c_1=0\text{ a.e. })], [math(c_2=0\text{ a.e. })]로 정의하자. [math(\{x\in X \ |\ c_1\ne c_2\}\subseteq\{x\in X\ |\ c_1\ne0\}\cup\{x\in X\ |\ c_2\ne0\})]이고 [math(m(\{x\in X\ |\ c_i\ne0\})=0)] ([math(i=1,\ 2)]) 이므로 [math(m(\{x\in X \ |\ c_1\ne c_2\})=0)]이다. 세 함수 [math(f,\ g,\ h\in \mathcal{L}^1)]에 대하여 [math(f\sim g)], [math(g\sim h)]라고 하면 [math(f-g=0\text{ a.e. })], [math(h-g=0\text{ a.e. })]이므로 [math(m(\{x\in X \ |\ f-g\ne h-g\})=0)]이다. 즉, [math(f=h\text{ a.e. })]로, [math(f\sim h)]이다. 따라서 [math(\sim)]은 반사율, 대칭률, 추이율을 모두 만족시켜 [math(\mathcal{L}^1)] 위의 동치 관계이다.
[math(\mathcal{L}^1)]의 동치 관계 [math(\sim)]에 대한 상집합을 [math(L^1)]이라 한다. 즉 [math(L^1=\mathcal{L}^1/\sim)]이다. 이후의 논의에 대한 편의를 위하여 [math(f)]의 동치류를 하나의 함수처럼 다루며, [math(\mathcal{L}^1)]에서 사용되던 용어 또한 [math(L^1)] 공간에서 동일한 맥락으로 사용한다.
위에서 제시된 [math(\mathcal{L^1})] 공간의 성질은 [math(L^1)] 공간에서도 이어져 [math(L^1)] 공간은 [math(\|f\|_{L^1}=\int |f|)]를 노름으로 갖는 노름 공간이다. 리즈 피셔 정리에 의해 [math(L^1)]은 노름에 대한 완비성을 갖춰 완비 노름 공간, 즉 바나흐 공간을 이룬다. [math(L^1)]의 함수열의 노름에 대한 수렴을 [math(L^1)] 수렴이라고 한다. 즉, 함수열 [math(\{f_n\})]과 함수 [math(f\in L^1)]에 대하여 [math(\|f_n-f\|_{L^1})]가 [math(0)]으로 수렴하면 [math(\{f_n\})]는 [math(f)]로 [math(L^1)] 수렴한다고 한다. 함수열의 균등수렴, 점별수렴, [math(\text{a.e. })]수렴 각각과 [math(L_1)]수렴은 서로를 함의하지 않는다. 그러나 [math(L_1)]수렴하는 함수열은 측도수렴한다.
단순함수 집합, 컴팩트 받침을 갖는 연속함수 집합 등은 [math(L^1)]의 조밀한 집합이다. 특히, [math(L^1)]은 조밀한 가산 부분집합을 가져 분리가능공간이다. [math(\mathbb{R})] 위의 [math(L_1)] 공간의 경우, 유리수 [math(p_k\ q_k)]에 대하여 [math(I=\bigcup_{k=1}^{n}(p_k,\ q_k))]의 지시함수 [math(1_I)]의 유한 선형 결합이 조밀한 가산 부분집합을 이룬다.
르베그 적분 가능 함수 공간에 노름
[math(\displaystyle\|f\|_{L^p}=\left(\int |f|^p\right)^{1/p})]
가 주어진 경우 [math(L^p)] 공간이라고 한다. 자세한 내용은 르베그 공간 문서 참조.
유게 닫힌 구간 [math([a,\ b])]에서 리만 적분 가능 함수 공간과 [math(L_1)]공간을 비교해 보자. 리만 적분 가능 함수는 르베그 적분 가능하며, 르베그 적분 가능하지만 리만 적분 불가능 함수가 존재하므로 [math(\mathcal{R}\subsetneq\mathcal{L})]이다. 리만 적분의 성질에 의하여 [math(\mathcal{R})]은 벡터공간을 이룬다. 또한 다음과 같이 [math(\mathcal{R})]의 반노름을 정의한다.
[math(\displaystyle\|f\|_{\mathcal{R}}=\int_a^b |f(x)|\,dx)]
두 함수 [math(f,\ g\in\mathcal{R})]가 [math(f=g\ \text{a.e.})]라고 하면 [math(f-g\in\mathcal{R})]이고 [math(\int_a^b|f-g|\,dx=0)]이다. 따라서 [math(\mathcal{R})]의 동치 관계 [math(\sim)]을 위와 같은 방식으로 정의하여 [math(R=\mathcal{R}/\sim)]라고 하면 상공간 [math(R)]은 노름공간이다. [math(R)]은 [math(L^1=\mathcal{L^1}/\sim)]과 동일한 동치류를 취하여 얻은 공간이므로 [math(R)]은 [math(L^1)]의 부분공간이다.
[math(R)]은 [math(L^1)]과 달리 완비성을 갖지 않는다. [math(A=[a,\ b]\cap\mathbb{Q})]는 가산집합이므로 [math(A=\{r_n:n\in\mathbb{N}\})]으로 나타낼 수 있다. 자연수 [math(n)]에 대하여 집합 [math(A_n)]과 함수 [math(f_n)]을 각각
[math(A_n=\{r_1,\ \ldots\ ,\ r_n\},\ f_n(x)=\begin{cases}1&\text{if } x\in A_n\\0&\text{else}\end{cases})]
로 정의하면 [math(\lim_{n\to\infty}f_n=1_A)]이다. [math(1_A)]는 리만 적분 불가능 함수이므로 [math(1_A\notin R)]이다. 완비가 아닌 거리공간 [math(R)]은 완비화 가능하며, [math(R)]은 완비거리공간 [math(L^1)]의 부분집합으로서 동일한 노름으로부터 유도된 거리를 가지므로 [math(L^1)]은 [math(R)]의 완비화이다.