1. 개요
스털링 근사는 계승, 나아가 감마 함수에 대한 근삿값을 구할 수 있도록 하는 식이다. 일반적으로는 아래와 같은 식으로 표현되며|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
n! &\approx \sqrt{2\pi n} \Bigl( \frac ne \Bigr)^{\!n} \\ \ln{n!} &\approx n \ln{n} -n \end{aligned} )] |
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
n! &\approx \sqrt{2\pi n} \Bigl( \frac ne \Bigr)^{\!n} \biggl( 1 +\frac1{12n} +\frac1{288n^2} -\frac{139}{51840n^3} -\frac{571}{2488320n^4} +\frac{163879}{209018880n^5} +\cdots \biggr) \\ \ln{n!} &\approx n \ln{n} -n +\frac12 \ln{n} +\frac12 \ln{2\pi} +\frac1{12n} -\frac1{360n^3} +\frac1{1260n^5} -\frac1{1680n^7} +\cdots \end{aligned} )] |
식에서 예상할 수 있듯이, 작은 수에서는 오차가 크다.
1.1. 예시
[math(15000!)]의 근삿값을 구해보자.|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
15000! &\approx \sqrt{2\pi \times 15000} \,\biggl( \frac{15000}e \biggr)^{\!15000} \\ &\approx 2.74 \times {10}^{56129} \end{aligned} )] |
2. 간단한 증명
이 문단에서는 다음 식만 증명할 것이다.|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
n! &\approx \sqrt{2\pi n} \Bigl( \frac ne \Bigr)^{\!n} \end{aligned} )] |
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참고식 [math(A)]
\int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) {\rm d}x = \frac1{2n^2}
\end{aligned} )]}}}||
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) {\rm d}x &= \biggl[ \frac knx -\frac12x^2 \biggr]_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \\
&= \frac kn \biggl( \frac kn -\frac{k-1}n \biggr) -\frac12 \biggl( \frac{k^2}{n^2} -\frac{k^2-2k+1}{n^2} \biggr) \\
&= \frac k{n^2} -\frac{2k-1}{2n^2} \\
&= \frac1{2n^2}
\end{aligned} )]
\int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) {\rm d}x &= \biggl[ \frac knx -\frac12x^2 \biggr]_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \\
&= \frac kn \biggl( \frac kn -\frac{k-1}n \biggr) -\frac12 \biggl( \frac{k^2}{n^2} -\frac{k^2-2k+1}{n^2} \biggr) \\
&= \frac k{n^2} -\frac{2k-1}{2n^2} \\
&= \frac1{2n^2}
\end{aligned} )]
}}} ||
-
참고식 [math(B)]
\lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} = \sqrt2
\end{aligned} )]}}}||
[math(f(x)=\ln(1+x))]이라고 할 때, [math(\dfrac{k-1}n \le x \le \dfrac kn)]인 [math(x)]에 대해 [math(f'(x) = \dfrac1{1+x})]의 최솟값과 최댓값은 각각 [math(\dfrac1{1+\frac kn})]과 [math(\dfrac1{1+\frac{k-1}n})]이다. 따라서 다음 부등식이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
&\qquad \frac1{1+\frac kn} \le \frac{f\bigl(\frac kn\bigr) - f(x)}{\frac kn - x} \le \frac1{1+\frac{k-1}n} \\
\Rightarrow \quad &\frac1{1+\frac kn} \le \frac{\ln\bigl(1+\frac kn\bigr) - \ln(1+x)}{\frac kn - x} \le \frac1{1+\frac{k-1}n}
\end{aligned} )]
각 변에 [math(\dfrac kn-x)]를 곱하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle
\frac1{1+\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) \!\le \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \le \frac1{1+\frac{k-1}n} \biggl( \frac kn -x \biggr)
)]
각 변에 [math(n)]을 곱하고 [math(\dfrac{k-1}n)]부터 [math(\dfrac kn)]까지 적분하자. 적분 과정 중 참고식 [math(A)]를 사용하였다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac n{1+\frac kn} \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) \!\,{\rm d}x &\le \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac n{1+\frac{k-1}n} \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) {\rm d}x \\
\overset{A}\Rightarrow \quad \frac1{1+\frac kn} \frac1{2n} &\le \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1{2n}
\end{aligned} )]
각 변을 [math(k=1)]부터 [math(k=n)]까지 더하자.
[math(\displaystyle
\frac12 \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac kn} \frac1n \le \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac12 \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1n
)]
각 변에 [math(n\to\infty)]의 극한을 취하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac kn} \frac1n \le \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1n
\end{aligned} )]
가운데 변을 정리하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
&\sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \\
= &\sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\ln\biggl(1+\frac kn\biggr) {\rm d}x - \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\ln(1+x) \,{\rm d}x \\
= &\sum_{k=1}^n n\ln\biggl(1+\frac kn\biggr) \!\int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} {\rm d}x -\int_0^1 n\ln(1+x) \,{\rm d}x \\
= &\sum_{k=1}^n n\ln\biggl(1+\frac kn\biggr) \frac1n -n \bigl[ (1+x)\ln(1+x)-x \bigr]_0^1 \\
= &\sum_{k=1}^n \ln\biggl(\frac{n+k}n\biggr) -n(2\ln2-1) \\
= &\ln \biggl( \frac{n+1}n \frac{n+2}n \cdots \frac{n+n}n \biggr) -n\ln\frac4e \\
= &\ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \biggr) -\ln \biggl( \frac4e \biggr)^{\!n} \\
= &\ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \biggr)
\end{aligned} )]
좌변과 우변의 극한을 각각 계산하자. 계산 과정에서 정적분의 정의에 관한 식을 사용하였다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac kn} \frac1n &= \frac12 \int_0^1 \frac1{1+x} \,{\rm d}x \\
&= \frac12 \bigl[ \ln{|1+x|} \bigr]_0^1 \\
&= \frac12 \ln2 \\
&= \ln{\sqrt2} \\
\frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1n &= \frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac1{1+\frac kn} \frac1n \\
&= \frac12 \int_0^1 \frac1{1+x} \,{\rm d}x \\
&= \ln{\sqrt2}
\end{aligned} )]
따라서 위의 부등식은 아래와 같이 정리할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\ln{\sqrt2} \le \lim_{n\to\infty} \ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \biggr) \!\le \ln{\sqrt2}
\end{aligned} )]
조임 정리에 따라 다음 극한이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} \ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \biggr) \!&= \ln{\sqrt2} \\
\therefore \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} &= \sqrt2
\end{aligned} )]
}}}||
-
참고식 [math(C)]
\lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt\pi
\end{aligned} )]}}}||
월리스 곱으로부터 시작한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac\pi2 &= \lim_{n\to\infty} \frac{2\cdot2}{1\cdot3} \cdot \frac{4\cdot4}{3\cdot5} \cdots \frac{2n\cdot2n}{(2n-1)\cdot(2n+1)} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdots (2n)^2}{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (2n-1)^2 \cdot (2n+1)} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdots (2n)^2}{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (2n-1)^2 \cdot (2n)} \\
\pi &= \lim_{n\to\infty} \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdots (2n)^2}{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (2n-1)^2 \cdot n} \\
\sqrt\pi &= \lim_{n\to\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) \cdot \sqrt n} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{2 \cdot 4 \cdots (2n)} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)} \frac1{\sqrt n} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{(2^n n!)^2}{(2n)!} \frac1{\sqrt n} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \\
\therefore \sqrt\pi &= \lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!}
\end{aligned} )]
\frac\pi2 &= \lim_{n\to\infty} \frac{2\cdot2}{1\cdot3} \cdot \frac{4\cdot4}{3\cdot5} \cdots \frac{2n\cdot2n}{(2n-1)\cdot(2n+1)} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdots (2n)^2}{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (2n-1)^2 \cdot (2n+1)} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdots (2n)^2}{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (2n-1)^2 \cdot (2n)} \\
\pi &= \lim_{n\to\infty} \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdots (2n)^2}{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (2n-1)^2 \cdot n} \\
\sqrt\pi &= \lim_{n\to\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) \cdot \sqrt n} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{2 \cdot 4 \cdots (2n)} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)} \frac1{\sqrt n} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{(2^n n!)^2}{(2n)!} \frac1{\sqrt n} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \\
\therefore \sqrt\pi &= \lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!}
\end{aligned} )]
}}} ||
여기까지 왔으면 이제 스털링 근사식의 간단한 증명은 매우 쉽다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n e^{-n} \sqrt n} &= \lim_{n\to\infty} \frac{e^n n!}{n^n \sqrt n} \frac{}{} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\,4^n} \frac{e^n n!}{n^n \sqrt n} \frac{4^n n!}{(2n)!} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \\ &\overset{B,\,C}{\!\,=} \sqrt2 \cdot \sqrt\pi = \sqrt{2\pi} \\ \therefore n! &\approx n^n e^{-n} \sqrt n \sqrt{2\pi} = \sqrt{2\pi n} \Bigl( \dfrac ne \Bigr)^{\!n} \end{aligned} )] |
2.1. 출처 및 참고 문헌
3. 관련 문서
- 오일러-매클로린 공식 - [math(1/x)]에 이 공식을 적용하여 스털링 근사식을 이끌어낼 수 있다.
- 벤더스키-아담칙 상수