최근 수정 시각 : 2024-06-13 20:07:28

스털링 근사


해석학· 미적분학
Analysis · Calculus
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"
<colbgcolor=#26455A>실수와 복소수 실수( 실직선 · 아르키메데스 성질) · 복소수( 복소평면 · 극형식 · 편각) · 근방 · 유계 · 콤팩트성 · 완비성
함수 함수 · 조각적 정의 · 항등함수 · 역함수 · 멱함수 · 다변수함수( 동차함수 · 음함수) · 다가 함수 · 함수의 그래프 · 좌표계 · 닮은꼴 함수 · 극값 · 볼록/오목 · 증감표
초등함수( 대수함수 · 초월함수 · 로그함수 · 지수함수 · 삼각함수) · 특수함수 · 범함수( 변분법 · 오일러 방정식) · 병리적 함수
극한·연속 함수의 극한 · 수열의 극한 · 연속함수 · ε-δ 논법 · 수렴( 균등수렴) · 발산 · 부정형 · 점근선 · 무한대 · 무한소 · 0.999…=1
중간값 정리 · 최대·최소 정리 · 부동점 정리 · 스털링 근사 · 선형근사( 어림)
수열· 급수 수열 · 급수( 멱급수 · 테일러 급수( 일람) · 조화급수 · 그란디 급수( 라마누잔합) · 망원급수( 부분분수분해)) · 그물
오일러 수열 · 베르누이 수열 · 월리스 곱
단조 수렴 정리 · 슈톨츠-체사로 정리 · 축소구간정리 · 급수의 수렴 판정 · 리만 재배열 정리 · 바젤 문제 · 파울하버의 공식 · 오일러-매클로린 공식 · 콜라츠 추측미해결
미분 미분 · 도함수( 이계도함수 · 도함수 일람) · 곱미분 · 몫미분 · 연쇄 법칙 · 임계점( 변곡점 · 안장점) · 매끄러움
평균값 정리( 롤의 정리) · 테일러 정리 · 역함수 정리 · 다르부 정리 · 로피탈 정리
립시츠 규칙 · 뉴턴-랩슨 방법 · 유율법
적분 적분 · 정적분( 예제) · 스틸체스 적분 · 부정적분( 부정적분 일람) · 부분적분( LIATE 법칙 · 도표적분법 · 예제) · 치환적분 · 이상적분( 코시 주요값)
미적분의 기본정리 · 적분의 평균값 정리
리시 방법 · 2학년의 꿈
다변수· 벡터 미적분 편도함수 · 미분형식 · · 중적분( 선적분 · 면적분 · 야코비안) · 야코비 공식
라그랑주 승수법 · 오일러 동차함수 정리 · 선적분의 기본정리 · 스토크스 정리( 발산 정리 · 그린 정리 변분법
미분방정식 미분방정식( 풀이) · 라플라스 변환
측도론 측도 · 가측함수 · 곱측도 · 르베그 적분 · 절대 연속 측도 · 라돈-니코딤 도함수
칸토어 집합 · 비탈리 집합
복소해석 코시-리만 방정식 · 로랑 급수 · 유수 · 해석적 연속 · 오일러 공식( 오일러 등식 · 드 무아브르 공식) · 리우빌의 정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리
함수해석 공간 위상 벡터 공간 · 국소 볼록 공간 · 거리공간 · 프레셰 공간 · 노름공간 · 바나흐 공간 · 내적공간 · 힐베르트 공간 · Lp 공간
작용소 수반 작용소 · 에르미트 작용소 · 정규 작용소 · 유니터리 작용소 · 컴팩트 작용소
대수 C*-대수 · 폰 노이만 대수
정리 한-바나흐 정리 · 스펙트럼 정리 · 베르 범주 정리
이론 디랙 델타 함수( 분포이론)
조화해석 푸리에 해석( 푸리에 변환 · 아다마르 변환)
관련 분야 해석기하학 · 미분기하학 · 해석적 정수론( 1의 거듭제곱근 · 가우스 정수 · 아이젠슈타인 정수 · 소수 정리 · 리만 가설미해결) · 확률론( 확률변수 · 중심극한정리) · 수치해석학 · 카오스 이론 · 분수계 미적분학 · 수리물리학 · 수리경제학( 경제수학) · 공업수학
양-밀스 질량 간극 가설미해결 · 나비에 스토크스 방정식의 해 존재 및 매끄러움미해결
기타 퍼지 논리
}}}}}}}}} ||

1. 개요
1.1. 예시
2. 간단한 증명
2.1. 출처 및 참고 문헌
3. 관련 문서

1. 개요

스털링 근사는 계승, 나아가 감마 함수에 대한 근삿값을 구할 수 있도록 하는 식이다. 일반적으로는 아래와 같은 식으로 표현되며
[math(\displaystyle \begin{aligned}
n! &\approx \sqrt{2\pi n} \Bigl( \frac ne \Bigr)^{\!n} \\
\ln{n!} &\approx n \ln{n} -n
\end{aligned} )]
원하는 수준의 근사 정도에 따라 아래의 식에서 원하는 항까지 사용할 수 있다. 단, 이 급수는 테일러 급수가 아니라 점근 급수이므로, 항을 무조건 많이 사용한다고 해서 원래 함숫값과의 차이가 무한정 작아지지는 않는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
n! &\approx \sqrt{2\pi n} \Bigl( \frac ne \Bigr)^{\!n} \biggl( 1 +\frac1{12n} +\frac1{288n^2} -\frac{139}{51840n^3} -\frac{571}{2488320n^4} +\frac{163879}{209018880n^5} +\cdots \biggr) \\
\ln{n!} &\approx n \ln{n} -n +\frac12 \ln{n} +\frac12 \ln{2\pi} +\frac1{12n} -\frac1{360n^3} +\frac1{1260n^5} -\frac1{1680n^7} +\cdots
\end{aligned} )]

식에서 예상할 수 있듯이, 작은 수에서는 오차가 크다.

1.1. 예시

[math(15000!)]의 근삿값을 구해보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
15000! &\approx \sqrt{2\pi \times 15000} \,\biggl( \frac{15000}e \biggr)^{\!15000} \\
&\approx 2.74 \times {10}^{56129}
\end{aligned} )]

2. 간단한 증명

이 문단에서는 다음 식만 증명할 것이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
n! &\approx \sqrt{2\pi n} \Bigl( \frac ne \Bigr)^{\!n}
\end{aligned} )]
먼저 다음 3가지의 참고식들을 증명한 다음, 이 참고식들을 사용하여 스털링 근사식을 증명할 것이다. 증명 과정 중 참고식을 사용한 경우, 등호 위에다가 해당 참고식의 알파벳을 적을 것이다. (예: [math(\overset{A}=)])
  • 참고식 [math(A)]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) {\rm d}x = \frac1{2n^2}
\end{aligned} )]}}}||

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) {\rm d}x &= \biggl[ \frac knx -\frac12x^2 \biggr]_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \\
&= \frac kn \biggl( \frac kn -\frac{k-1}n \biggr) -\frac12 \biggl( \frac{k^2}{n^2} -\frac{k^2-2k+1}{n^2} \biggr) \\
&= \frac k{n^2} -\frac{2k-1}{2n^2} \\
&= \frac1{2n^2}
\end{aligned} )]

}}} ||
  • 참고식 [math(B)]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} = \sqrt2
\end{aligned} )]}}}||

[math(f(x)=\ln(1+x))]이라고 할 때, [math(\dfrac{k-1}n \le x \le \dfrac kn)]인 [math(x)]에 대해 [math(f'(x) = \dfrac1{1+x})]의 최솟값과 최댓값은 각각 [math(\dfrac1{1+\frac kn})]과 [math(\dfrac1{1+\frac{k-1}n})]이다. 따라서 다음 부등식이 성립한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
&\qquad \frac1{1+\frac kn} \le \frac{f\bigl(\frac kn\bigr) - f(x)}{\frac kn - x} \le \frac1{1+\frac{k-1}n} \\
\Rightarrow \quad &\frac1{1+\frac kn} \le \frac{\ln\bigl(1+\frac kn\bigr) - \ln(1+x)}{\frac kn - x} \le \frac1{1+\frac{k-1}n}
\end{aligned} )]

각 변에 [math(\dfrac kn-x)]를 곱하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle
\frac1{1+\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) \!\le \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \le \frac1{1+\frac{k-1}n} \biggl( \frac kn -x \biggr)
)]

각 변에 [math(n)]을 곱하고 [math(\dfrac{k-1}n)]부터 [math(\dfrac kn)]까지 적분하자. 적분 과정 중 참고식 [math(A)]를 사용하였다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac n{1+\frac kn} \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) \!\,{\rm d}x &\le \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac n{1+\frac{k-1}n} \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) {\rm d}x \\
\overset{A}\Rightarrow \quad \frac1{1+\frac kn} \frac1{2n} &\le \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1{2n}
\end{aligned} )]

각 변을 [math(k=1)]부터 [math(k=n)]까지 더하자.

[math(\displaystyle
\frac12 \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac kn} \frac1n \le \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac12 \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1n
)]

각 변에 [math(n\to\infty)]의 극한을 취하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac kn} \frac1n \le \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \le \frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1n
\end{aligned} )]

가운데 변을 정리하자.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
&\sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\biggl\{ \ln\biggl(1+\frac kn\biggr) - \ln(1+x) \biggr\} {\rm d}x \\
= &\sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\ln\biggl(1+\frac kn\biggr) {\rm d}x - \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} n\ln(1+x) \,{\rm d}x \\
= &\sum_{k=1}^n n\ln\biggl(1+\frac kn\biggr) \!\int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} {\rm d}x -\int_0^1 n\ln(1+x) \,{\rm d}x \\
= &\sum_{k=1}^n n\ln\biggl(1+\frac kn\biggr) \frac1n -n \bigl[ (1+x)\ln(1+x)-x \bigr]_0^1 \\
= &\sum_{k=1}^n \ln\biggl(\frac{n+k}n\biggr) -n(2\ln2-1) \\
= &\ln \biggl( \frac{n+1}n \frac{n+2}n \cdots \frac{n+n}n \biggr) -n\ln\frac4e \\
= &\ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \biggr) -\ln \biggl( \frac4e \biggr)^{\!n} \\
= &\ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \biggr)
\end{aligned} )]

좌변과 우변의 극한을 각각 계산하자. 계산 과정에서 정적분의 정의에 관한 식을 사용하였다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac kn} \frac1n &= \frac12 \int_0^1 \frac1{1+x} \,{\rm d}x \\
&= \frac12 \bigl[ \ln{|1+x|} \bigr]_0^1 \\
&= \frac12 \ln2 \\
&= \ln{\sqrt2} \\
\frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac{k-1}n} \frac1n &= \frac12 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac1{1+\frac kn} \frac1n \\
&= \frac12 \int_0^1 \frac1{1+x} \,{\rm d}x \\
&= \ln{\sqrt2}
\end{aligned} )]

따라서 위의 부등식은 아래와 같이 정리할 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\ln{\sqrt2} \le \lim_{n\to\infty} \ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \biggr) \!\le \ln{\sqrt2}
\end{aligned} )]

조임 정리에 따라 다음 극한이 성립한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} \ln \biggl( \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \biggr) \!&= \ln{\sqrt2} \\
\therefore \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} &= \sqrt2
\end{aligned} )]

}}}||
  • 참고식 [math(C)]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt\pi
\end{aligned} )]}}}||

월리스 곱으로부터 시작한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac\pi2 &= \lim_{n\to\infty} \frac{2\cdot2}{1\cdot3} \cdot \frac{4\cdot4}{3\cdot5} \cdots \frac{2n\cdot2n}{(2n-1)\cdot(2n+1)} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdots (2n)^2}{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (2n-1)^2 \cdot (2n+1)} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdots (2n)^2}{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (2n-1)^2 \cdot (2n)} \\
\pi &= \lim_{n\to\infty} \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdots (2n)^2}{1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (2n-1)^2 \cdot n} \\
\sqrt\pi &= \lim_{n\to\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) \cdot \sqrt n} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{2 \cdot 4 \cdots (2n)} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)} \frac1{\sqrt n} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{(2^n n!)^2}{(2n)!} \frac1{\sqrt n} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \\
\therefore \sqrt\pi &= \lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!}
\end{aligned} )]

}}} ||

여기까지 왔으면 이제 스털링 근사식의 간단한 증명은 매우 쉽다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n e^{-n} \sqrt n} &= \lim_{n\to\infty} \frac{e^n n!}{n^n \sqrt n} \frac{}{} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\,4^n} \frac{e^n n!}{n^n \sqrt n} \frac{4^n n!}{(2n)!} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \\
&\overset{B,\,C}{\!\,=} \sqrt2 \cdot \sqrt\pi = \sqrt{2\pi} \\
\therefore n! &\approx n^n e^{-n} \sqrt n \sqrt{2\pi} = \sqrt{2\pi n} \Bigl( \dfrac ne \Bigr)^{\!n}
\end{aligned} )]

2.1. 출처 및 참고 문헌

3. 관련 문서