최근 수정 시각 : 2022-08-19 03:57:28

대수학/교재

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1. Lang, Algebra2. Artin, Algebra3. Dummit & Foote, Abstract Algebra4. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra5. Pinter, A Book of Abstract Algebra6. 이인석, 학부 대수학 강의 II: 대수학7. Thomas W. Hungerford, Abstract Algebra: An Introduction/Algebra8. 김응태 & 박승안, 현대대수학9. J. Gallian, Contemporary Abstract Algebra


학부/대학원의 대수학 교재에 대한 문서이다. 대수학 교재는 명제에 대한 논리 전개와 교재에 수록된 주제와 목차에 따라 선호도가 나뉘는 편이다. 아래의 글들은 객관적인 서술이 아닌, 개별 편집자의 주관적인 서술이 포함되어 있으므로 참고만 하길 바란다. 즉, 문서의 내용을 맹신하기 보다는 직접 교재를 두고 경험하는 것을 추천한다. 또 한편으로 갈루아 이론에 대해 여러 대중 수학서적에서도 쉬이 언급하고 있기 때문에 집합론이나 선형대수를 막 시작한 저학년 때부터 모티베이션 고양을 위해 한권쯤 읽어보는 것도 좋다.

1. Lang, Algebra

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대학원 대수학 강의의 판을 바꾸었다는 평을 들은 대수학 책의 마스터피스. 악마의 책이란 말밖엔 할말이 없으며, 그냥 물리과 대학원에 잭슨 전자기학이 있다면 이쪽엔 이 분이 계신다 생각하면 된다. 석사 초반때 원생들 탈주 욕구를 자극하는 1순위이며, 절대로 절대로 기초가 부족한 학생들이 이 책으로 대수학을 시작해선 안된다. 전 세계적으로 얼마나 미운털이 많이 박혔으면 대수학 강의실에 돌을 던지는 사람은 이 책으로 공부하는 사람이란 유머가 생기고 참 가지가지 방법으로 이 책을 테러하는 웹툰이 무려 100화 넘게 연재됐을까..이 사람 졸업했을려나...

책 분량이 900페이지 정도로 백과사전 수준의 방대한 내용을 다루지만 설명의 수준이 너무 높고 기초적인 내용은 생략되거나 문제로 내는 등 친절함도 그지같애서 초심자들에겐 너무 가혹하다. 때문에 현재는 이걸로 학대당한 교수들의 증오로대부분 아래의 Dummit이나 Hungerford 대학원편으로 대체되는 편.

수많은 사람들에게 현재진행형으로 욕을 먹고 있는 애증의 존재나 그래도 이 책으로 대수학을 일단 마치고 나면 대학원 대수의 기반은 단단하게 다지는 셈이기 때문에 평만큼 놓치긴 아까운 교재다. 난 기초도 부족해 게다가 학부생이야 라고 해도 혜택이 끝내주기 때문에 이 책이 걸리면 옆에 여러 책끼고 열심히 공부하자. 천천히 독학하면 고통은 덜한편.

지금은 아니지만 2판에선 끝날 때쯤 튀어나오는 마지막 문제[1]는 사람의 짱구회전의 극한을 체험시키는 이 책의 사라진 백미.

2. Artin, Algebra

학부와 대학원 중간 수준 레벨의 교재로, Dummit이 생기기 전 Lang과 같이 전세계적으로 가장 많이 쓰인 책. 저자 자신이 대수를 처음 배우는 학생을 위해 만든 책이라 하며, 때문에 선형대수 내용이 전부 들어있어 몇몇 교수들은 이걸 아예 선형대수 교재로 쓰기도 한다.

근데 이 책의 특성은 무엇보다도 어프로치. 이건 저자도 인정한 부분인데, 기본적인 대수뿐만 아니라 기하학, 그리고 대수와는 전혀 상관없는 해석학까지 끌어다 쓰는 사탄이 패배할 듯이 사악한아스트랄한 방법을 쓰는데, 여기서 수학이란 분야에선 문제를 풀기 위해 자기분야의 접근에만 집착하는 편협적인 방법보다는 여러 분야의 사람들과 협력하는게 더 해결이 빠를 수 있다는 교훈을 남겨주기도 하고 다항식 환을 설명하다 갑자기 리만곡면 같은 대수기하를 소개시켜주거나 다른 학부 대수학책에선 잘 나오질 않는 대수적 정수론을 알려주는 등 다른 책보단 희한한 내용이 많이 나온다.

일단 개성적이고 재밌는 책이긴 하지만난 미치겠는데? 정작 대수교재로서의 내용은 엉성해서 효용성이 떨어지기 때문에 대부분 주교재보단 옆에 놓고 보는 부교재로 자주 쓰이고 있다.

3. Dummit & Foote, Abstract Algebra

현재 전 세계적으로 학부에서 대학원까지 널리 쓰이는 지구 대표 대수책. 아래에 열거된 Fraleigh나 Gallian의 책보단 난이도가 높아 기초가 부족한 학생에겐 힘들 수 있으나 학부에서 대학원 초반 수준의 내용까지 모두 친절히 설명되어 있으며, 문제도 풍부하다.[2] 이러한 무결점에 가까운 특징 덕에 이 판의 유지던 Artin과 Lang을 재치고 새로운 다크호스가 되었으며, 뒤에 별첨으로 가환대수, 대수기하, 카테고리 이론, 호몰로지 대수, 군표현론이 설명되어 있다.

4. Fraleigh[3], A First Course in Abstract Algebra

국내에서 많이 쓰이는 현대대수학 입문서적. 번역본의 질은 좋다고 할 수 없는 수준이다.[4] 이 책의 장점이라고 하면 바로 저자의 이과식 유머. TF문제로 '이 정리는 중요하다.' 등 공부에 지친 학생들에게 소소한 재미를 선사하고 있다. 많은 학교에서 학부 대수학 교재로 이 책을 써서 많은 학생들이 힘들어하는 책 중 하나지만, 사실 이 현대대수학 교재 중에선 난이도가 상당히 낮은 편이다. 또한 너무 친절한 나머지 심화되거나 많은 내용을 담지는 못하고 군론에 50여개 단원중 20개가 넘는 단원을 할당하는 등 전개가 늘어지는 단점이 있다.

대수학에 어느 정도 익숙해진 시점에선 모티베이션이 부족한 딱딱한 책으로 평가받는다. 챕터 구성에 의미를 안 둔건지 뜬금없다고 생각되는 개념들 등장의 연속이다. 저자도 대수학 입문 수준에서는 별로 중요하지 않다고 생각하는 챕터는 따로 표시를 해 놔서 굳이 다 보고 넘어가지 않아도 된다고 표기해놨지만 뜬금없이 호몰로지 대수 내용이 들어가는 등 구성이 중구난방이라는 느낌을 지울 수 없다. 그 외에도 초반에 S3의 모든 부분군을 구하라는 등 그 질이 다소 의심되는 증명 노가다 연습문제들도 끼어있다.[5] 그렇다고 복습용이나 레퍼런스용으로 쓰기에는 내용이 충실한 편도 아니고 중요한 정리를 증명 없이 넘어가는 경우가 있어서 부적절하다.

그러나 그럼에도 불구하고 타 교재에 비해 난이도가 낮고 한 개념에 대한 설명이 비교적 길게(특히 군에서) 이어지기에 처음 추상 대수학에 입문하는 용도로는 괜찮다. 위에서 지적한 노가다 문제와 같은 경우에도, 개념이 완전히 체화된 입장에서 보면 시간 낭비일지 몰라도 추상 대수학에 입문하는 학생에게는 정말 수많은 새로운 단어들이 쏟아져 나오기에 단순 문제를 통한 개념 굳히기가 필요한 경우도 있는 것이 사실이다. 저런 노가다 문제도 학습자의 필요에 따라 불필요하다면 그냥 건너뛰면 그만이지 않은가.

한편, 이 교과서는 개정 때마다 변화가 제법 큰 편으로 알려져 있다. 2002년 출간되어 20년 가까이 국내에서 가장 널리 쓰인 하얀 표지의 제7판이 학생들에게는 가장 유명하지만, 나이 지긋한 중등학교 교사들이나 전임교수급 연배의 고인물들이 기억하는 옛 버전과는 어긋나는 목차와 구성이 더러 있다. 제5~6판 등 옛 버전이 가끔 알라딘 중고서점 등지에 올라오기도 한다. 2021년에는 무려 19년만의 개정판인 제8판이 나왔는데, 제7판에서 총 10개 대단원 중 한 대단원을 할애하여 소개하던 대수위상수학, 호몰로지 관련 단원이 증발해버린 대신 기존에 있던 내용을 다듬어서 대수기하 챕터로 만들고 대수적 코딩 이론 등의 소소한 내용이 추가되어 결과적으로 80페이지 가량 줄어드는 다이어트 개정이 이뤄졌다. 아직까지는 우리나라 번역자들에게 개정판 번역 요청은 오지않은 상황으로 보인다.

5. Pinter, A Book of Abstract Algebra

Fraleigh 저서처럼 평이한 난이도의 책. 그러나 거의 설명충 소리를 듣는 Fraleigh나 Dummit 저서에 비해 설명을 상당히 간략화하거나 독자에게 떠넘기는 부분이 있어서 주의해야 한다. 아이디얼에 대해 환에서 정의된 '곱을 흡수한다'고 말로 설명하는등 가급적 수식보다는 입말에 가까운 서술을 추구한지라 Fraleigh와는 다른 이유로 쉬운 책이지만 그에 따라 호오도 갈린다. 독학 1회독부터 들이파도 진도를 뺄 수 있을 난이도이나, 정수론도 공부하지 않은 상태에서 쌩기초부터 삽질을 하기보다는 고난도 교재를 보며 함께 보는 부교재로 쓰면 시너지 효과가 있는 책이다. 2019년에 나온 한국어 번역판(알기 쉬운 추상대수학)은 종이가 아까울 정도로 고퀄리티의 종이와 넓은 여백, 무거운 하드커버로 비싼 가격과 엄청난 질량을 자랑한다.

6. 이인석, 학부 대수학 강의 II: 대수학

선형대수학 문서에도 소개되어 있는 동 저자의 '학부 대수학 강의 I: 선형대수와 군'의 속편이다. 전편에서 군론의 상당 부분을 다뤘다는 점을 감안하여 통상 수준보다 약간 심화된 내용을 다룬다. 특히 학부 과정에서는 잘 다루지 않는 가군(module)과 대수(algebra)에 대한 내용도 깊이 있게 서술한 것이 특징. 서울대학교에서 통년 선형대수학 교재로 I권은 거의 바이블처럼 자주 쓰이지만, 정작 이 책은 저자 외에는 잘 쓰지 않는듯. 난이도는 Dummit의 교재와 비슷한 수준.

7. Thomas W. Hungerford, Abstract Algebra: An Introduction/Algebra

Abstract Algebra: An Introduction은 일반적인 대수학 교재들이 군에서 내용을 시작하는 반면 이 책은 환에서부터 내용을 시작하는 것이 특이하다. 머릿말에 보면 저자도 이러한 구성이 많은 사람들에게 익숙하지 않을 것임을 인정하지만, 처음부터 환을 다루는데도 제법 해볼만한 수준으로 상세하게 설명을 하니 독학을 하더라도 그럭저럭 소화하지 못할 정도는 아니다. 초반 두 장에서 정수론과 연관된 개념과 정리들을 다룬 뒤, 이를 바탕으로 환, 다항식까지 확장하고, 그 다음에 군을 배우는 식으로 내용이 전개된다. 특히 다항식에 한 챕터를 할애할 만큼 다항식의 비중이 큰데, 대수학의 주된 내용 중 하나가 다항식인 것을 보면 꽤 일리 있는 전개로 볼 수도 있다. 난이도는 초심자들이 시작하기에 꽤 좋은 난이도로, 특히 정수론 내용에 익숙한 사람들이 읽기 좋다. 꼭 정수론을 먼저 배우지 않고도 이 책을 접하는 데는 큰 무리가 없지만, 일단 초반 두 장을 복습 수준으로 스킵할 수 있을뿐더러, 환과 다항식 부분의 내용을 이해하는 데 큰 도움이 된다. 3판까지 나와 있다.

Algebra는 노란색 GTM 시리즈 대학원 책. 이 역시 대학원 대수학에서 꽤 많이 쓰이는 책으로, An Introduction 책으로 대수학을 시작한 학생들이 특히 많이 보나, 학부 내용도 수록되어 있다. 다만 대학원에서는 상술한 서지 랭 책 등 다른 책들도 많이 쓰기 때문에 절대적인 위치까지는 아니다.

8. 김응태 & 박승안[6], 현대대수학

정수론 문서에 나오는 명망높은 교재의 저자 두 명이 쓴 책으로, 설명도 친절하고 예제도 많지만 원래는 앞에 와야 할 고급 군론과 마지막에 다루는 갈루아 이론의 순서가 서로 뒤바뀌었다. 맨 뒤에 대수학에 큰 공헌을 한 수학자들 이야기가 실려있다. 수학과보다 수학교육과에서 많이 쓰이는 책이다. 저자가 만든 솔루션도 공개하고 있다. 단점이라면 세기말의 유물 아래아한글 97로 일일이 타자를 쳐서 작성한 오래된 책이라 알록달록한 신세대(?) 책들에 비해 몹시 딱딱하게 느껴지며 개정판이 나올수록 줄고는 있지만 한자가 상당히 많고 오늘날에는 잘 안 쓰는 번역용어가 많아서 젊은 학생들로서는 당황스럽다는 점이 있는데, 이는 이 책 뿐만이 아니라 같은 저자가 내놓은 정수론, 선형대수학, 이산수학 서적도 마찬가지라서 다들 내용은 알차지만 책 디자인이 딱딱하고 삭막하다는 평을 받고 있다. 그나마 2019년을 기점으로 하나둘씩 나오기 시작한 마지막 개정판[7]에서는 저자가 그간 내놓았던 다양한 책에 수록된 여러 챕터들을 종합하고 재구성하면서도 신세대 학생들에게 지적받던 단점을 가능한 보완하는데 주력했다.

9. J. Gallian, Contemporary Abstract Algebra

다루는 내용은 일반적인 학부생 수준의 대수학 교재로 난이도는 프레일리 교재보다 조금 어려운 수준이다. 상당량의 연습문제가 있고 특이하게도 컴퓨터 관련 연습문제들이 실려있는 것이 특징이다. 그만큼 내용에 대한 심도있는 이해는 어느 정도 넘기는 수준. 특히 갈루아 이론 부분은 증명을 아예 언급하지도 않는다. 코딩이론 부분도 특별하게 다루고 있는 것을 보면 순수수학도보다는 컴퓨터과학도들이 보기 좋은 책이다. 사실 이 코딩은 그 코딩이 아니다. 수학과생들도 프로그래밍 안 들어본 컴알못 코알못들은 소프트웨어 개발자 되고 싶으면 부트캠프에나 가서 배운다.[8] Haskell을 깊이 배우려면 대수학을 열심히 공부해야 하는건 맞는데 아무튼 이것과는 다르다 물론 이 쪽으로 진로를 잡을 사람은 이런 것을 공부할 시기엔 간단한 프로그래밍도 익혀놓고 가끔 써먹고 있을테지만, 어쨌든 여기서 말하는 코딩은 Hello, world!와 직접적인 상관이 있지는 않다. 이런 내용을 다루는 것은 Hungerford의 Abstract Algebra: An Introduction에서도 마찬가지인데, 여기서는 16번 챕터의 Algebraic Coding Theory에서 Code라는 말을 메시지를 숨기는 행위를 의미하며 사용한 13번 챕터의 Private-key Cryptography에서와 달리 명확성을 보장하는 행위로 Code라는 말을 썼다고 설명해놓고 시작한다. 이에 대해 한국어로 저술된 대수학 서적은 박승안·김응태 저서 중 암호학과 부호이론이라는 오래된 책을 찾아보거나 현대대수학 9판의 후반부 챕터를 참조할 것. ]


[1] "호몰로지 대수 책을 하나 구해서 솔루션도 보지 말고 도움도 일절 받지 않고 오로지 본인 힘으로 모든 연습 문제를 직접 풀어 봐라." [2] 다만, 대학원 교재로서는 서지 랭이나 헝거포드보단 부족할 수 있다. [3] 영어를 좀 하는 사람이라면 슥 봐도 프레일리, 프랠리라 읽히지만, 교수고 학생이고 프레일리라고 읽는 사람을 찾기가 어렵다. 오히려 그렇게 읽었다가는 전공수학 업계에서 캐뉴비 내지 수알못 영알못이 아니다! 취급을 당하는 수가 있다. [4] 각종 비문과 어울리지 않는 어휘는 많고 중후반부로 가면 정말 어색하게 번역해놓은 문장도 상당히 많다. 하지만 큰 문제가 아니라는 사람도 있다는 듯.번역본 읽어본 것 맞나 [5] 특히 Lagrange Theorem을 도입하기 이전의 연습문제인만큼 저자의 의도대로라면 6의 약수가 아닌 4,5에 대해서도 일일히 확인해야 한다. [6] 참고로 박승안 교수는 서강대학교에 재직했는데, 박근혜 전 대통령에게 선형대수학 C를 준 것으로 추정되는 교수이다. [7] 김응태 교수는 이미 별세하였고, 홀로 작업을 담당한 박승안 교수 역시 고령이라 죽음이 머지 않았음을 직감하는듯 '마지막' 개정판이라는 언급을 하며 제자들을 다수 포함한 후세대 수학도들의 마음을 착잡하게 했다. [8] 인터넷 커뮤니티에 돌아다니는 서울대 수리과학부 유머(...)에도 대수적 코딩이론이라는 과목에 대해 '대수도 모르고 코딩도 모르기에 아무것도 못한다'는 설명이 있는데, 사실 대수학 교과서에 등장하는 코딩 이론은 이런 혼동을 피하기 위해 '부호' 이론이라 번역되곤 한다. 여기서의 부호 이론은 암호학, 정보 이론, 통신과 관련된 '오류 검출'에 가까운 내용의 대학원 연계 과목으로, 코딩 부트캠프에서처럼 Python이나 C언어 같은 프로그래밍 언어를 갖고 추상대수학의 구조를 이용하여 소프트웨어를 만드는 법(...)을 배우는 과목은 아니다.