곱셈 공식

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1. 개요

2. 공식

• [math((a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2)]
• [math((a+b)(a-b) = a^2 - b^2)]
• [math((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab)]
• [math((ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd)]
• [math(x^2 +\dfrac1{x^2} = \!\left( x+\dfrac1x \right)^{\!2} - 2 \qquad)] (단, [math(x\ne0)])
• [math(x^2 +\dfrac1{x^2} = \!\left( x-\dfrac1x \right)^{\!2} + 2 \qquad)] (단, [math(x\ne0)])

• [math((x+a)(x+b)(x+c) = x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x + abc)]
• [math((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ca)]
• [math((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)]
• [math((a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3, (a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3)]
• [math((a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)][5][6]
• [math(\dfrac12 (a+b+c)\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\} = a^3+b^3+c^3-3abc)][7]
• [math((a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4)]

• [math((a+ib)(a-ib) = a^2+b^2)][8]
• [math((a+b)(a+\omega b)(a+\omega^2 b) = a^3+b^3)][9]
• [math((a-b)(a-\omega b)(a-\omega^2 b) = a^3-b^3)]
• [math((a^2+\sqrt2ab+b^2)(a^2-\sqrt2ab+b^2) = a^4+b^4)]
• [math((a^2+ab-b^2)(a^2-ab-b^2) = a^4+b^4-3(ab)^2)]
• [math((a+\omega b)(a+\omega^2 b) = a^2+b^2-ab)]
• [math((a-\omega b)(a-\omega^2 b) = a^2+b^2+ab)]
• [math((a+\omega b+\omega^2 c)(a+\omega^2 b+\omega c) = a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc))]
• [math((a+\omega b)(a+\omega^2 b)(a-\omega b)(a-\omega^2 b) = a^4+b^4+(ab)^2)]
• [math((a+b+c)(a+\omega b+\omega^2 c)(a+\omega^2 b+\omega c) = a^3+b^3+c^3-3abc)][10]
• [math((a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a))]
• [math((a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b-c+d)(a-b+c-d) = a^4+b^4+c^4+d^4-2((ab)^2+(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+(cd)^2)+8abcd)][11]
• [math((a+b)(b+c)(c+a) = ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc)]
• [math((a+b+c)(ab+bc+ca) = ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc)]
• [math((a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b) = a^2+b^2+c^2+3(ab+ac+bc))]
• [math((a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c) = a^4+b^4+c^4-2((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2))]
• [math((a+b+c)^3-(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c) = 4(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)+abc))]
• [math((a+b+c+d)^3-(a+b-c-d)(a-b-c+d)(a-b+c-d) = 4(ab(a+b)+ac(a+c)+ad(a+d)+bc(b+c)+bd(b+d)+cd(c+d)+(abc+abd+acd+bcd)))]
• [math((a+b)^4 = a^4+b^4+4ab(a^2+b^2)+6a^2b^2)]
• [math((a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))+6abc)]
• [math((a+b+c)^4 = a^4+b^4+c^4+4(ab(a^2+b^2)+ac(a^2+c^2)+bc(b^2+c^2))+6((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2)+12(abc(a+b+c)))]
• [math((a+b+c+d)^3 = a^3+b^3+c^3+d^3+3(ab(a+b)+ac(a+c)+ad(a+d)+bc(b+c)+bd(b+d)+cd(c+d))+6(abc+abd+acd+bcd))]
• [math((a+b+c+d)^4 = a^4+b^4+c^4+d^4+4(ab(a^2+b^2)+ac(a^2+c^2)+ad(a^2+d^2)+bc(b^2+c^2)+bd(b^2+d^2)+cd(c^2+d^2))+6((ab)^2+(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+(cd)^2)+12(abc(a+b+c)+abd(a+b+d)+acd(a+c+d)+bcd(b+c+d))+24abcd)]
• [math((a+b+c+d)^4 = a^4+b^4+c^4+d^4+4(a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d)-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2)]
• [math((a+b+c+d+e)^5 = a^5+b^5+c^5+d^5+e^5+5(a+b+c+d)(a+b+c+e)(a+b+d+e)(a+c+d+e)(b+c+d+e)-5AB^2+5BC)]
• [math((a+b+c+d+e+f)^6 = a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+6(A-a)(A-b)(A-c)(A-d)(A-e)(A-f)-9A^2B^2+2B^3+12ABC-3C^2-6BD)]
• [math((a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)+(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) = B(abc(a+b+c)+abd(a+b+d)+acd(a+c+d)+bcd(b+c+d)))]

2.1. 변형

• [math(a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab = (a-b)^2+2ab)]
• [math((a+b)^2-4ab = (a-b)^2)]
• [math(a^3+b^3 = (a+b)^3-3ab(a+b))]
• [math(a^3-b^3 = (a-b)^3+3ab(a-b))]
• [math(a^4+b^4 = (a+b)^4-4ab(a+b)^2+2(ab)^2 = A^4-4A^2B+2B^2)]
• [math(a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca))]
• [math(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca = \dfrac12\{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\})]
• [math(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \dfrac12\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\})]
• [math(a^3+b^3+c^3)]
  [math(= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca))+3abc)]
  [math(= (a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a))]
  [math(= (a+b+c)^3-3(ab+bc+ca)(a+b+c)+3abc)]
  [math(= (a+b+c)((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))+3abc)]
  [math(= A^3-3AB+3C)]

2.1.1. 이차항인 경우

• [math(a^2+b^2+c^2+d^2 = A^2-2B)][17]
• [math(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 = A^2-2B)]

2.1.2. 삼차항인 경우

• [math(a^3+b^3+c^3+d^3 = A^3-3AB+3C)][18]

2.1.3. 사차항인 경우

• [math((ab)^2+(ac)^2+(bc)^2 = B^2-2AC)]
• [math((a^2+b^2+c^2)^2 =A^4-4B(A^2-B))]
• [math((a^2+b^2+c^2+d^2)^2 = A^4-4B(A^2-B))]
• [math(a^4+b^4+c^4)]
  [math(= (a+b+c)^4-2(2(a+b+c)^2-(ab+ac+bc))(ab+ac+bc)+4abc(a+b+c))]
  [math(= A^4-4A^2B+2B^2+4AC)]
• [math((ab)^2+(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+(cd)^2 = B^2-2AC+2D)]
• [math(a^4+b^4+c^4+d^4)]
  [math(= (a+b+c+d)^4-2(2(a+b+c+d)^2-(ab+ac+ad+bc+bd+cd))(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+4(abc+abd+acd+bcd)(a+b+c+d)-4abcd)]
  [math(= A^4-4A^2B+2B^2+4AC-4D)][19]
• [math(a^4+b^4+c^4+d^4+e^4 = A^4-4A^2B+2B^2+4AC-4D)]

2.1.4. 오차항인 경우

• [math(a^5+b^5)]
  [math(= (a^2+b^2)(a^3+b^3)-(ab)^2(a+b))]
  [math(= A^5-5A^3B+5AB^2)]
• [math(a^5+b^5+c^5 = A^5-5A^3B+5AB^2+5A^2C-5BC)]
• [math(a^5+b^5+c^5+d^5 = A^5-5A^3B+5AB^2+5A^2C-5BC-5AD)]
• [math(a^5+b^5+c^5+d^5+e^5 = A^5-5A^3B+5AB^2+5A^2C-5BC-5AD+5E)]

2.1.5. 육차항인 경우

• [math(a^6+b^6 = A^6-6A^4B+9A^2B^2-2B^3)]
• [math(a^6+b^6+c^6 = A^6-6A^4B+9A^2B^2-2B^3+6A^3C-12ABC+3C^2)]
• [math(a^6+b^6+c^6+d^6 = A^6-6A^4B+9A^2B^2-2B^3+6A^3C-12ABC+3C^2-6A^2D+6BD)]
• [math(a^6+b^6+c^6+d^6+e^6 = A^6-6A^4B+9A^2B^2-2B^3+6A^3C-12ABC+3C^2-6A^2D+6BD+6AE)]
• [math(a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6 = A^6-6A^4B+9A^2B^2-2B^3+6A^3C-12ABC+3C^2-6A^2D+6BD+6AE-6F)]

2.1.6. 변형 공식 문제

• [math(a+b=3)], [math(ab=6 \Rightarrow a^2+b^2 = \,?)]
• [math(a+b=4)], [math(ab=7 \Rightarrow a^3+b^3 = \,?)]

2.2. 인수분해 공식

• [math(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2)]
• [math(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b))]
• [math(x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b))]
• [math(acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d))]

3. 집합과 확률에서 곱셈 공식

• 조건부 확률
  [math(P(A|B) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(B)})]
  

• 곱셈 공식(확률승법정리)
  [math(P(A \cap B) = P(A|B)P(B) = P(B \cap A) = P(B|A)P(A))]

• [math(A)]와 [math(B)]가 독립시행일 경우 [math(P(A \cup B) = P(A)*P(B))]

• 전체 확률의 법칙
  (정의) [math(A_1)], [math(A_2)]는 [math(A)]의 파티션[21]이다.
  [math(\begin{aligned} P(B) &= P(B \cap A) \\

• 베이즈 정리
  [math(\begin{aligned} P(A_1|B) &= \frac{P(B \cap A_1)}{P(B)} \\

4. 관련 문서

• 인수분해
• 이항정리
• 1학년의 꿈
• 통분
• 항등식
• 하디-바인베르크 법칙