최근 수정 시각 : 2022-06-05 17:57:03

무연근


[[대수학|대수학
Algebra
]]
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px; word-break: keep-all;"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="letter-spacing: -1px"
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px"
이론
기본 대상 연산 · 항등식( 가비의 이 · 곱셈 공식( 통분 · 약분) · 인수분해) · 부등식( 절대부등식) · 방정식( 풀이 · ( 무연근 · 허근 · 비에트의 정리( 근과 계수의 관계) · 제곱근( 이중근호 · 개방법) · 환원 불능) · 부정 · 불능) · 비례식 · 다항식 · 산술( 시계 산술)
수 체계 자연수( 소수) · 정수( 음수) · 유리수 · 실수( 무리수( 초월수) · 초실수) · 복소수( 허수) · 사원수 · 대수적 수 · 벡터 공간
다루는 대상과 주요토픽
대수적 구조
군(group) 대칭군 · 기본군 · 자유군 · 리 군 · 괴물군 · 점군 · 순환군 · 군의 작용 · 동형 정리 · 실로우 정리
환(ring) 아이디얼
체(field) 갈루아 이론
대수 가환대수 · 리 대수 · 불 대수( 크로네커 델타)
마그마 · 반군 · 모노이드 자유 모노이드 · 가환 모노이드
선형대수학 벡터 · 행렬 · 선형사상 · 가군(Module)
정리 · 추측
대수학의 기본정리 · 나머지 정리 · 유클리드 호제법 · 부분분수분해 · PID 위의 유한생성 가군의 기본정리 · 산술·기하 평균 부등식 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 호지 추측미해결 · 가환대수에서의 호몰로지 추측미해결
분야와 관심대상
대수기하학 대수다양체 · 스킴 · 에탈 코호몰로지 · 모티브 · 사슬 복합체
대수적 정수론 타원곡선 · 디오판토스 방정식 · 유리근 정리 · 모듈러성 정리
가환대수학 스펙트럼
표현론
기타 및 관련 문서
수학 관련 정보 · 1학년의 꿈 · 노름 · 혼합계산 · 분배법칙 · 교환법칙 · 결합법칙 · 교재 }}}}}}}}}}}}

1. 개요2. 무연근이 생기는 이유
2.1. 대수학적 규명2.2. 해석기하학적 규명
3. 교육과정

1. 개요

/ extraneous root

방정식 중 분수방정식이나 무리방정식을 풀기 위하여 정방정식의 꼴로 고친 후 구한 근 중에서, 원래 풀고자 했던 방정식의 근이 아닌 것. 한자를 그대로 해석하면 인연(緣)이 없는(無) 근(根)이라는 뜻이다. 곧, 원래 풀고자 하는 방정식과는 인연이 없는 근이라는 뜻, 그 방정식의 진짜 근이 아니라는 뜻이다.

방정식의 근을 구했을 때 검산하면 무연근을 피할 수 있다.

2. 무연근이 생기는 이유

2.1. 대수학적 규명

본래 등식의 성질에 따르면, 어떤 등식의 양변에 값이 같은 수나 식을 더하거나 빼거나 곱하거나 나눠도[1] 여전히 등식이다. 다시 말하면 이렇게 등식을 조작해도 그 등식의 본질은 변하지 않는다. 그래서 방정식을 풀 때 이러한 등식의 성질을 이용한다. 그러나 분수방정식이나 무리방정식을 풀 때는 문제가 발생한다. 다음 분수방정식의 풀이를 보자.
[math(\displaystyle{\frac{3x+3}{x+1}}=x-5)]
[math(3x+3=(x-5)(x+1))]
[math(3x+3=x^2-4x-5)]
[math(x^2-7x-8=0)]
[math((x+1)(x-8)=0)]
[math(\therefore)] [math(x=-1)] [math(\sf or)] [math(x=8)]

분명히 [math(x=-1)]과 [math(x=8)]은 방정식 [math((x+1)(x-8)=0)]의 근이지만, 이중에서 [math(x=-1)]은 분수방정식 [math(\displaystyle{\frac{3x+3}{x+1}}=x-5)]의 근이 아니다. [math(x=-1)]이면 분모가 0이 되고 0으로 나누는 것은 금지되어 있기 때문이다. [2]

이번에는 다음 무리방정식의 풀이를 보자.
[math(\sqrt{x+5}=x-1)]
[math(x+5=(x-1)^2)]
[math(x+5=x^2-2x+1)]
[math(x^2-3x-4=0)]
[math((x+1)(x-4)=0)]
[math(\therefore)] [math(x=-1)] [math(\sf or)] [math(x=4)]

분명히 [math(x=-1)]과 [math(x=4)]는 방정식 [math((x+1)(x-4)=0)]의 근이지만, 이중에서 [math(x=-1)]은 무리방정식 [math(\sqrt{x+5}=x-1)]의 근이 아니다. [math(x=-1)]이면 [math(x-1)]의 값이 음수가 되는데, 보통 어떤 수나 식의 제곱근의 값은 음수를 취하지 않기 때문이다.[3][4]

한마디로, 무연근이 생기는 이유는 '분모는 0이 될 수 없다', '어떤 수나 식의 제곱근은 0 또는 양수만을 취한다\'라는 약속 때문이다. 사실 [math(\displaystyle{\frac{3x+3}{x+1}}=x-5)]를 [math(3x+3=(x-5)(x+1))]로 고친다거나 [math(\sqrt{x+5}=x-1)]을 [math(x+5=(x-1)^2)]으로 고치는 것은 이러한 약속을 은근슬쩍 무시해 버리는 것이다. 요컨대, 수학의 약속에 따라 본래의 분수방정식 [math(\displaystyle{\frac{3x+3}{x+1}}=x-5)]에는 [math(\boldsymbol{x\neq-1})], 본래의 무리방정식 [math(\sqrt{x+5}=x-1)]에는 [math(\boldsymbol{x\geq1})]라는 제약이 원천적으로 내포되어 있다. 그러나 각각을 정방정식의 꼴로 고친 [math(3x+3=(x-5)(x+1))]이나 [math(x+5=(x-1)^2)]은 그 자체로 [math(x)]의 범위를 정해놓을 근거가 없다. 분수방정식이나 무리방정식을 풀 때는 이 점을 주의하면서, 방정식의 풀이의 처음부터 끝까지 미지수의 범위를 확실하게 준수해야 무연근을 진짜 근으로 오해하지 않을 수 있다. 다만 0으로 나눌 수 없음이 당연한 유리방정식과는 달리, 무리방정식은 해 집합이 무엇인지 명시해놓는 것이 근본적인 해결법이다.

다시 말해 위 무리방정식의 지문은 아래와 같이 바꿔야 무연근이 나오지 않는다.
[math(\sqrt{x+5}=x-1 \quad)]([math(x - 1 \geq 0)])

2.2. 해석기하학적 규명

이를 좌표평면에 그래프로 나타냄으로써 설명할 수도 있다. 아래의 풀이를 보면, 무연근은 결코 그래프의 교점[5]이 되지 않음을 알 수 있다.

3. 교육과정

3.1. 대한민국

대한민국에서는 2007 개정 교육과정에서 분수방정식, 분수부등식, 무리방정식과 함께 중요하게 다뤘으나, 2009 개정 교육과정에서 전면 삭제되었다. 그러다가 심화 수학Ⅰ에서 부활하긴 했으나 수능에 출제되지도 않을뿐더러 배우는 학생이 적은 과목이라 사실상 이 내용은 사장(...)되었다.

그러나 아무리 무연근의 개념이 교과서에 명시되어 있지 않더라도 수능 수학에서는 무연근의 존재를 염두에 두고 분수방정식과 무리방정식을 푸는 것이 도움이 될 때가 많다. 없다고 생각할 수 있지만 유리함수/무리함수 문제 풀이에서 실질적으로 분수/무리방정식이 쓰인다. 간단히 생각해서 유리/무리함수의 Y값을 주고 X값을 구하라고 하면 그게 유리/무리방정식이다.
[1] 0으로 나눠서는 안 됨 [2] photomath에서는 ‘정의역을 찾으세요’(첫번째 단계)단계에서 x는 -1이 아니라고 못을 박는다. [3] 더 근본적인 이유는, 제곱근의 값이 음수인 것도 취할 경우 제곱근 함수의 함숫값이 두 개가 되는 음함수가 되어 잘 정의되지 않기 때문이다. 음함수 꼴의 제곱근 함수는 포물선 문서 참조. [4] photomath 에서는 근을 구하고 13번째 ‘주어진 값이 해답인지 확인하세요’단계에서 -1이 해가 아니라고 나온다.(-1을 x에 대입하면 2=-2가 됨) [5] 곧, 방정식의 진짜 근