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극한

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1. 개요2. 정의
2.1. 수열의 극한2.2. 엡실론-델타 논법2.3. 비표준 해석학에서의 정의2.4. 위상 공간에서의 정의
3. 수렴과 발산4. 성질5. 공식6. 조임 정리(squeeze theorem)
6.1. 예시 1
7. 로피탈의 정리(l'Hôpital's rule)

1. 개요

/ limit

수학에서, 어떤 양이 일정한 규칙에 따라 어떤 일정한 값에 한없이 가까워질 때, 그 값. 예를 들면, 일변수 함수 [math(f\left(x\right))]에서 극한은 다음과 같이 쓴다.
  1. [math(x)]가 한없이 [math(a)]에 가까워질 때 [math(f\left(x\right))]가 한없이 [math(L)]에 가까워지면, [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)].[1] ( 2015 개정 교육과정 교과 ‘수학Ⅱ’에서의 정의)
  2. [math(f\left(x\right))]가 [math(x=a)]와 매우 가까운 거리에 있는 임의의 값 [math(L)]을 취할 수 있다면, [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]. ( 엡실론-델타 논법을 일부 고려한 정의)

위에서 ‘정의 Ⅰ.’은 수학교육학적인 면에서 학생들의 직관적인 이해를 돕기 위한 편의상의 정의이다.[2] 실제 수학적인 정의는 ‘정의 Ⅱ.’와 좀 더 비슷하다.[3] 또한 ‘정의 Ⅰ.’에 부가적인 유의 사항을 일러둔다면, [math({\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right)=L)]에서, ‘[math({\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right))]가 [math(L)]은 아니지만 [math(L)]에 한없이 가까운 값’으로 착각하는 경우가 있으나[4] 극한값 자체는 [math(L)]과 완전히 같다.[5] [math(f\left(x\right))]의 극한값을 그렇게 정의한 것이기 때문이다. 즉, [math({\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right))] 라는 식의 값[6] 은 더도 덜도 아닌 정확히 [math(L)]이다. 극한값이 한없이 다가가는 것이 아니라, 극한값은 그대로 있고, 함숫값 [math(f(x))]가 고정된 극한값에 한없이 다가가는 것이다.[7]

그리고 모든 극한값은 그 점에의 함숫값과 항상 같지 않아도 되며, 그 점에의 함숫값이 없을 수도 있다. 즉 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x))]와 [math(f(a))]의 값이 항상 같을 필요는 없다. [math(x)]가 [math(a)]에 가까워질 뿐 무조건 [math(x=a)]인 것은 아니라는 뜻이다. 만일 두 값이 같은 경우를 함수 [math(f)]가 [math(a)]에서 연속이라고 한다. 예컨대 [math(\displaystyle {\lim_{x \to 2}}\frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{x-2})]에서 분모와 분자를 약분할 수 있는 것도 바로 이런 정의 덕분이다. [math(x)]가 [math(a)]에 가까워지는 중에 [math(f\left(x\right)=L)]이 되는 경우가 있어도 무방하다.

미분은 그래프의 두 점을 이은 직선의 기울기가 [math(\Delta y / \Delta x)]인데,[8] 이때 "[math(x)]의 변화량이 한없이 작아지면 어떨까?"라는 생각으로부터 [math(\displaystyle \lim_{\Delta x\to\ 0}\frac{\Delta y}{\Delta x})] 라고 정의하게 되었다.

2. 정의

2.1. 수열의 극한

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2.2. 엡실론-델타 논법

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2.3. 비표준 해석학에서의 정의

엡실론-델타 논법이 나온 이래, 무한소라는 존재는 별 주목을 받지 못하게 되다가, 다시 150년 후인 20세기 후반에 아브라함 로빈슨, Detlef Laugwitz 등의 수학자가 실수에서 성립하는 1차 논리 문장으로 표현 가능한 명제는 모두 그대로 성립하면서 무한소와 무한대를 포함하는 수체계인 초실수라는 엄청난 물건을 가지고, 비표준 해석학이란 것을 만들었다. 비표준해석학에서는 엡실론-델타 논법 대신 무한소를 이용하여 해석학의 정리들을 똑같이 증명할 수 있다.

비표준 해석학에서 극한을 어떻게 정의하는지 알기 위해서는 확장원리전달원리에 대하여 알아야 하는데, 쉽게 얘기해서 확장원리는 실함수 [math(f)]의 자연스러운 확장인 초실함수 [math(f^{*})]가 존재한다는 것이고, 전달원리란 쉽게 얘기해서, 실수에 대해 [math(f)]가 만족하는 1차 논리로 표현 가능한 명제는 초실수에 대해 [math(f^{*})]도 만족한다는 것이다. 예를들어, 삼각함수 [math(\sin x,\:\cos x)]에 대하여, 확장원리에 따라 자연스러운 확장인 초실함수 [math(\sin^{*}x, \cos^{*}x)]가 존재해서, 전달원리에 의해 임의의 초실수 [math(x)]에 대하여 [math(-1\leq\sin^{*}x\leq1)], [math(\cos^{*2}x+\sin^{*2}x=1)] 등의 명제가 참이라는 것이다.
표준부분원리란, 임의의 유한 초실수[math(a)]에 대하여 [math(a={\rm st}(a)+\epsilon)]을 만족하는 실수 [math({\rm st}(a))]와 무한소 [math(\epsilon)]이 유일하게 존재한다는 것이다.[9] 여기서, [math({\rm st}(a))]를 [math(a)]의 표준부분이라 하는데, [math(a)]에 무한히 가까운 실수이다.

이 때, 일변수 실함수 [math(f)]의 [math(x\to c)]로의 극한은 다음과 같이 정의된다.[10]
0이 아닌 임의의 무한소 [math(\epsilon)][11]에 대하여
1. [math({\rm st}(f^{*}(c+\epsilon))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=L)]이다.
1. [math(f^{*}(c+\epsilon))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=\infty)]이다.
1. [math(f^{*}(c+\epsilon))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=-\infty)]이다.
비슷하게, [math(x\to\infty)]일 때와 [math(x\to-\infty)]일 때의 극한은
임의의 양의 무한대 [math(H)]에 대하여
1. [math({\rm st}(f^{*}(H))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=L)]이다.
1. [math(f^{*}(H))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=\infty)]이다.
1. [math(f^{*}(H))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=-\infty)]이다.
임의의 음의 무한대 [math(H)]에 대하여
1. [math({\rm st}(f^{*}(H))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=L)]이다.
1. [math(f^{*}(H))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\infty)]이다.
1. [math(f^{*}(H))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty)]이다.

예를 들어서 [math(\sin x)]는 임의의 실수 [math(x\neq 0)]에 대하여, [math(|\sin x|<|x|)]가 성립해서, 확장원리와 전달원리에 의해 임의의 초실수 [math(x\neq 0)]에 대하여 [math(|\sin^{*}x|<|x|)]가 성립하므로, 0이 아닌 임의의 무한소 [math(\epsilon)]에 대해, [math(-|\epsilon|<\sin^{*}\epsilon<|\epsilon|)]이 성립하고,
[math(0={\rm st}(-|\epsilon|)\leq {\rm st}(\sin^{*}\epsilon)\leq {\rm st}(|\epsilon|)=0)]
이므로, [math(\lim\limits_{x\to 0}{\sin x}=0)]이다.

[math(f)]가 대수 함수라면 더 간단한데, 예를 들어서 [math(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^{2}})]일 때, 0이 아닌 임의의 무한소 [math(\epsilon)]에 대하여, [math(f^{*}(\epsilon)=\displaystyle\frac{1}{\epsilon^{2}})]은 양의 무한대이므로, [math(\lim\limits_{x\to0}\displaystyle\frac{1}{x^{2}}=\infty)]이다.

[math(f)]가 디리클레 함수라면 어떨까. 즉, [math(x\in \mathbb{Q})] 이면 [math(f(x)=1)]이고, [math(x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q})] 이면 [math(f(x)=0)]일 때, 유리수 [math(r)]로의 극한이 발산한다는 사실은 다음과 같이 보일 수 있다.
확장원리와 전달원리에 의하여 [math(x)]가 초유리수이면 [math(f^{*}(x)=1)], [math(x)]가 초무리수이면 [math( f^{*}(x)=0)]이다. 자연수 [math(n)]이 주어지면, 무리수의 조밀성에 의해, [math(r<q<r+\displaystyle\frac{1}{n})]을 만족하는 무리수 [math(q)]가 존재한다. 따라서, 전달원리에 의해 무한 초자연수 [math(N)]에 대하여, [math(r<q^{*}<r+\displaystyle\frac{1}{N})]을 만족하는 초무리수 [math(q^{*})]가 존재하는데, [math(\displaystyle\frac{1}{N})]은 0이 아닌 무한소이고, [math({\rm st}\left(f^{*}\left(r+\displaystyle\frac{1}{N}\right)\right)=1)], [math({\rm st}(f^{*}(q^{*}))=0)]이므로 [math(x\to r)]일 때, [math(f(x))]는 발산한다.

2.4. 위상 공간에서의 정의

위상 공간 [math(\left(X, \mathcal{T}_X\right), \left(Y, \mathcal{T}_Y\right))] 사이에서 정의된 함수 [math(f:X\to Y)]의 극한은 다음과 같이 정의한다.( [math(a\in X, \,L\in Y)])
[math(a)]가 [math(X)]의 극한점들의 집합 [math(\Omega)]의 원소이고 [math(Y)]는 하우스도르프 공간(Hausdorff space)[12]일 때 [math( \displaystyle \lim_{x\to a}{f \left( x \right) } = L)]이라고 함은 [math(L)]의 임의의 근방(neighbourhood) [math(V)]에 대하여 [math(a)]의 빠진 근방(punctured neighbourhood) [math(U)]가 존재하여 [math(f\left(U\cap \Omega\right) \subseteq V)]가 성립하는 것이다.

3. 수렴과 발산

  • 수렴: 한 점으로 모인다는 뜻. 보통 의견 수렴이라든지 여론 수렴 등등으로 해서 한 점에 모인다는 의미로 사용하는 경우가 많은데, 이 뜻을 수학으로 빌려와서 여러 값이 기어코야 한 값으로 모이게 되었다는 의미로 사용한다. 즉 [math(x)]가 [math(a)]에 한없이 가까워지거나 한없이 커지거나 작아지면 [math(f\left(x\right))]도 어디로 한없이 가까워진다는 뜻.
  • 발산[13]: 수렴하지 않으면 발산한다고 한다. 즉, 어느 한 점으로도 모이지 않는다는 뜻. 함숫값이 무한히 커지면, 양의 무한대로 발산, 함숫값이 음수로서 그 절댓값이 무한히 커지면 음의 무한대로 발산이라 한다.
    [math(\displaystyle \lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty, \quad \lim_{x\to0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty)]

    • 진동: 수열을 좌표평면에 표시하면 지그재그를 그리는 특징이 있다. 대표적으로 [math(y=\sin x)], [math(y=\cos x)], [math(x - \lfloor x \rfloor)] 등이 있다. 진동도 발산의 일종이다. 단,함수가 지그재그를 그린다고 반드시 진동 (발산)인 것은 아니다. 예를 들어 등비수열 [math((-\frac{1}{2})^n)]의 경우, 양과 음의 값이 교대로 나타나지만 n이 무한대로 갈 때 절댓값이 점점 작아져서 0에 수렴한다.

3.1. 점근선

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4. 성질

고등학교 과정에서는 간단히 이러이러하다고 얼렁뚱땅 넘겼겠지만, 대학 해석학에서는 저걸 모두 증명한다. 공식의 증명은 엡실론-델타 논법을 이용해 스스로 해 보거나 대학 해석학 교재를 참고하자.

덤으로 이야기하자면, 모든 실수 값에서 연속이면서 모든 실수 값에서 미분 불가능한 실수 함수가 존재한다.[14]

다변수 함수/다차원 공간 등으로 가면 개/폐구간의 정의, 경계의 정의 등도 엡실론-델타를 이용해 정의한다. 다만 더욱 깊히 들어가 위상공간에서 일반화하게 되면 엡실론과 델타를 버리고 대신 더욱 추상화된 "열린집합" 들을 이용해 모든 것을 새로 정의하게 된다 (아래 참조). 그러나 이 과정에서 엡실론-델타 논법과 근본적으로 동일한 논리가 사용되는 것은 마찬가지.

[math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f(x) } = \alpha )], [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ g(x) } = \beta )] ([math(\alpha, \beta )]는 실수)라고 한다면, 아래의 법칙들이 성립한다.
  • [math(\displaystyle \left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ f(x) } = \alpha' \right\} \Longleftrightarrow \left( \alpha' = \alpha \right) )][15]
  • [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ k } = k )]
  • [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ \left\{ k f(x) \right\} } = k \left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ f(x) } \right\} = k \alpha )]
  • [math(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\left\{ f(x)\pm g(x)\right\} =\left\{ \lim_{x\rightarrow a}f(x)\right\} \pm\left\{ \lim_{x\rightarrow a}g(x)\right\} = \alpha \pm \beta)]
  • [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ \left\{ f(x) \,g(x) \right\} } = \left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ f(x) } \right\} \!\left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ g(x) } \right\} = \alpha \beta )]
  • [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ \frac{ f(x) }{ g(x) } } = \frac{ \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f(x) } }{ \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ g(x) } } = \frac{ \alpha }{ \beta } \left( \beta \ne 0 \right) )]

참고로, 함수의 극한에 대한 성질은 극한값이 존재할 때만 성립한다. 또한, 이 성질은 우극한과 좌극한일 경우와 [math(x)]를 무한대로 보낸 경우에도 성립한다.

5. 공식

  • [math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 미분가능하면
    • [math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{x-a}=b)]이면 [math(f(a)=0,\,f'(a)=b)]
분모의 극한이 0인데 전체 극한은 수렴하므로 다음과 같이 분자 역시 0으로 수렴해야 한다.

[math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)=0)]

따라서 식을 다음과 같이 해석할 수 있다.

[math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{x-a}=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)=b)]

혹은 로피탈의 정리를 사용할 수도 있다.

[math(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{x-a}\xlongequal{\textsf{l'H\^opital}}\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}1=f'(a)=b)]

6. 조임 정리(squeeze theorem)

샌드위치 정리(sandwich theorem)라고도 불린다. 왠지 장난 같은 이 용어가 실제로 학계에서 쓰이는지 알 수는 없으나 한국 학생, 교사들이 자의적으로 쓰는 콩글리쉬는 아니고 영미권에서도 쓰이는 용어이다. 일본에서는 협공의 원리(挟み撃ちの原理)[16]라고도 불린다.[17]

함수 중에서 어떤 값에 의해 유계되며 진동하는 함수나 그러한 함수의 극한값을 직접 구하는 것은 힘들다. 하지만 그 함수와 같은 극한값을 가지는 두 함수 사이에 존재한다면 함수의 극한값을 구할 수 있다. 이것을 이용해서 그 유명한 삼각함수의 극한을 증명할 수 있다.[18]
함수 [math( f, g, h )]가 [math( x \neq c )]인 점 [math( c )]를 포함하는 열린구간에 있는 모든 [math( x )]에 대하여 [math( g \left( x \right) \leq f \left( x \right) \leq h \left( x \right) )]이고 [math( \displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{ g \left( x \right) } = \displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{ h \left( x \right) } = L)]이면, [math( \displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{ f \left( x \right) } = L)]이다.

6.1. 예시 1

  • 알다시피 [math(\displaystyle \cos \left(\frac{1}{x}\right) )]은 [math( 1 )]보다 작고 진동한다. 그렇다면 [math( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{x^2 \cos \left(\frac{1}{x}\right)} )]의 극한값을 구해 보자.
  • 모든 [math(x(\neq0))]에 대하여 [math(-1 \leq \cos \left(\frac{1}{x}\right) \leq 1)]이다. 또한 [math(x^2)]을 모든 식에 곱하여도 부등호의 변화가 없으므로 [math(-x^2 \leq x^2 \cos \left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2)]이다. [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{-x^2} = 0 = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{x^2})]이므로 조임 정리에 의해 [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{x^2 \cos \left(\frac{1}{x}\right)} = 0)]이다.

7. 로피탈의 정리(l'Hôpital's rule)

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[1] 추가적인 전제 조건엔 좌극한과 우극한의 개념이 선행되어야 한다. [math(\displaystyle\lim_{x\to a^{-}}f(x))](좌극한)과 [math(\displaystyle\lim_{x\to a^{+}}f(x))](우극한)이 같아야 극한값이 존재한다고 말할 수 있다. [2] 이러한 이유에서 미국, 중국, 일본은 고등학교 때 공통 과정에서 극한을 배우지 않고, 미적분에 관한 공식이나 계산법만 익힌다(대신에 다항함수 외에 초월함수도 다룬다). 선택과목 교육과정을 따른다면 극한을 배우는 과정이 따로 존재하기는 한다. [3] 여기에 '매우 가까운 거리'의 엄밀한 정의, [math(L)]이 '언제나', '유일하게' 존재한다는 것, 그럼에도 [math(|f(x)-L|>0)]임을 직접 보이는 것까지 추가되어야 비로소 실제 수학적으로 극한을 정의하는 것이 된다. [4] '한없이 가까워진다'는 내용이 학생들로 하여금 '계속 특정 숫자 [math(a)]에 다가가는 동적인 개념'으로 오해하게 만든다. 또는 '0.000...1정도의 차이는 있지 않을까?'라는 생각을 유발시킨다. [5] 수학에서 등호는 함부로 주지 않는다. 좌변과 우변은 완벽히 같다. [6] 저 식 자체가 그냥 하나의 특정한 실수이다. [math(x)]가 [math(a)]로 갈 때의 [math(f(x))]의 목푯값' 정도로 생각하면 고등과정에선 편하다. [7] 간혹 극한값을 근삿값이라고 설명하는 경우가 있는데, 이는 학생들의 이해를 돕기 위한 설명일 뿐 수학적으로 옳은 설명은 아니다. 극한값 자체는 근삿값이 아닌 정확한 값이다. 이것은 항상 성립하는 원리이다. 연속함수의 경우 함숫값과 극한값이 같기 때문에 이 원리랑 다르다고 생각할 수도 있지만, 여기서 말하는 함숫값은 "x를 극한으로 보낼 때의 함숫값"을 말하는 것이므로 연속함수의 경우에도 이 원리는 성립한다. [8] 변화율을 의미한다. 반대로 생긴 라플라스 연산자와 헷갈리지 말 것. [9] 임의의 실수에 대해 실수의 소수부분과 정수부분의 합으로 유일하게 나타낼 수 있는 것과 비슷한 논리이다. [10] 물론 이 정의는 엡실론-델타 논법과 완벽히 동치이다. [11] 한 쪽 극한에 대해서 생각할 필요가 있을 때에는, '임의의 무한소' 대신 '임의의 양(음)의 무한소'에 대하여로 바꾸면 된다. [12] 하우스도르프 공간이란 어떤 위상이 주어졌을 때, 이 위상에서 정의되는 집합이 있을 때, 그 집합에서 아무렇게나 두 원소를 골라도, 두 원소중 하나만을 포함하는 서로소인 열린집합을 항상 취할 수 있는 성질을 지닌 위상공간의 총칭이다. 다른 표현으로는 서로 다른 임의의 점은 반드시 서로소 근방을 취할 수 있다. 라고 할 수 있다. [math(T_2)]공간이라고도 한다. [13] 똑같이 해석학에서 다루는 발산 연산자 [math(\nabla \cdot \mathbf{A})]와는 다르다. [14] 물론 초등함수는 아니고, 무한급수를 사용해 표시한다. 바이어슈트라스 함수라고 하며, 일반적으로 [math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}\!\cos\left(b^{n}\pi x\right))]라고 정의한다.
(단, [math(0<a<1, ab\geq 1)])
이 함수는 프랙탈의 자기복제 성질을 지니고 있기에 프랙탈 함수로 취급되며, 따라서 어떤 점이든지 아무리 확대해도 직선으로 근사시킬 수 없기에 미분계수가 존재하지 않는다.
[15] 극한의 유일성 [16] 양쪽에서 쳐서 옥죄는 거니까 조임 정리와 조어 원리가 비슷하다. [17] 이름이 비슷한 정리로는 햄 샌드위치 정리라는 것도 있다. 이 역시 영미권에서도 그대로 쓰이는 용어. 단 햄 샌드위치 정리는 샌드위치 정리와는 상관이 없는 내용이다. [18] 증명은 간단하다. 단위원을 그린 다음 접선에 속한 외부의 점, 접선에서의 접점, 원의 중심을 각 꼭짓점으로 하는 직각삼각형을 그리고 어딘가에 선 하나를 긋고 도형 3개 정도를 비교하면 된다. 쉬운 방법이므로 꼭 해보자.