최근 수정 시각 : 2024-07-07 22:48:46

위상 벡터 공간

1. 개요2. 정의
2.1. 위상 벡터 공간2.2. 동형 사상
3. 연산
3.1. 부분 선형 공간3.2. 위상족으로 생성된 공간3.3. 몫 공간
4. 성질
4.1. 이동과 확대의 성질4.2. 극한의 성질
5. 예시

1. 개요

위상 벡터 공간(topological vector space, TVS)은 벡터의 덧셈 및 스칼라 곱과 호환되는 위상을 갖춘 벡터 공간이다.

2. 정의

2.1. 위상 벡터 공간

실수 또는 복소수 위의 벡터 공간 [math(V)]가 벡터의 덧셈 [math(+:V\times V \to V)] 및 스칼라 곱 [math(\cdot:\mathbb K \times V \to V)] ([math(\mathbb{K\in\{R,C\}})])이 연속 사상 위상 [math(\cal T)]를 갖추었을 때, [math(V=(V,\cal T))]를 위상 벡터 공간이라고 한다.

2.2. 동형 사상

두 [math(\mathbb K)]-위상 벡터 공간 [math(X,Y)] 사이의 사상 [math(\tau:X\to Y)]가 벡터 동형 사상이며 동시에 위상 동형 사상일 때, [math(\tau)]를 [math(X, Y)]의 (위상 벡터)동형 사상이라고 한다. 즉, 동형 사상은 전단사, 선형, 연속, 역연속인 사상이다.

3. 연산

3.1. 부분 선형 공간

[math(\mathbb K)]-위상 벡터 공간 [math(X)]의 부분 선형 공간 [math(Y)]는 [math(\mathbb K)]-위상 벡터 공간이다.

3.2. 위상족으로 생성된 공간

벡터 공간 [math(V)]가 위상 벡터 공간이 되도록 하는 [math(V)] 위의 위상들의 족 [math(\{\cal T\}_{\alpha\in A})]에 대하여 [math(\mathcal T =\bigvee _{\alpha\in A}\mathcal T_\alpha)]라 하자. 즉, [math(\mathcal T)]는 [math(\bigcup_{\alpha\in A}\mathcal T_\alpha)]으로 생성된 [math(V)]의 위상으로, 모든 [math(\mathcal T_\alpha)]를 포함하는 최소 위상이다. 이때 [math((V, \mathcal T))]는 위상 벡터 공간이다.

3.3. 몫 공간

4. 성질

4.1. 이동과 확대의 성질

위상 벡터 공간 [math(X)]에서 이동(translation)은 위상 동형 사상, 확대(dilation)은 자기 동형 사상이다. 즉, 임의의 [math(x_0\in X)]에 대하여 사상 [math(x\mapsto x+x_0)]은 [math(X)]에서 [math(X)]로의 위상 동형 사상이고 임의의 [math(\lambda(\ne0)\in\mathbb{K})]에 대하여 사상 [math(x\mapsto \lambda x)]는 [math(X)]의 연속, 선형, 열린, 전단사 사상이다.

따라서 [math(X)]의 열린(닫힌, 컴팩트 등) 집합은 이동 또는 확대 후에도 [math(X)]의 열린(닫힌, 컴팩트 등)집합이다.

4.2. 극한의 성질

극한의 성질은 위상 벡터 공간에서도 성립한다. [math(\mathbb K)]-위상 벡터 공간 [math(X)]의 점렬 [math(\{x_n\}_{n\in\N}, \{y_n\}_{n\in\N})]가 각각 [math(x, y\in X)]로 수렴하면 [math(x_n+y_n \to x+y)]이다. 체 [math(\mathbb{K})]의 수열 [math(\{\lambda_n\}_{n\in\N})]가 [math(\lambda\in\mathbb K)]로 수렴하면 임의의 [math(x\in X)]에 대하여 [math(\lambda_n x \to \lambda x)]이다.

5. 예시