최근 수정 시각 : 2022-08-02 22:32:41

코시 주요값

해석학 · 미적분학
Analysis · Calculus
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1. 개요2. 진술3. 예14. 예2

1. 개요

코시 주요값은 절대수렴하지 않는 이상적분을 구할 수 있는 방법이다.
오귀스탱루이 코시가 도입하였다.

2. 진술

어떤 함수가 [math({x}_{0})] 근처에서 발산할 경우, [math({x}_{0})]을 포함하는 구간의 정적분 즉 이상적분은 다음과 같이 계산될 수 있다.
[math(\displaystyle \mathcal{P}\int_{a}^{b}f\left ( x \right )\mathrm{d}x=\lim_{c\rightarrow 0+}\left \{ \int_{a}^{{x}_{0}-c}f\left ( x \right )\mathrm{d}x+\int_{{x}_{0}+c}^{b}f\left ( x \right )\mathrm{d}x\right \})]

3. 예1

소수 분포를 추정할 때 쓰는 비초등 함수인 로그 적분 함수의 경우 피적분함수가 [math(x=1)] 근처에서 발산하므로[1] [math({x}_{0}=1)]이다. 따라서 [math(x>1)]일 때 코시 주요값은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \mathcal{P}\int_{0}^{x}\frac{1}{\ln x}\mathrm{d}x=\lim_{c\rightarrow 0+}\left \{ \int_{0}^{1-c}\frac{1}{\ln x}\mathrm{d}x+\int_{1+c}^{x}\frac{1}{\ln x}\mathrm{d}x\right \}\left ( x>1 \right ))]

4. 예2

[math(\displaystyle \frac{{e}^{x}}{x})]의 부정적분인 지수 적분 함수는 해당함수의 도함수인 [math(\displaystyle \frac{{e}^{x}}{x})]이 [math(x=0)] 근처에서 발산한다. 그러므로 [math({x}_{0}=0)]이다.
해당 함수의 정의는 [math(-\displaystyle \int_{-x}^{\infty}\frac{1}{x{e}^{x}}\mathrm{d}x)]이지만 특이점[2]인 [math(x=0)]이 적분구간에 포함된다.([math(x>0)]인 경우.)[3]
그러므로 코시 주요값을 사용해서 다음과 같이 정의하자.
[math(\displaystyle \mathcal{P}\int_{-x}^{\infty}\frac{-1}{x{e}^{x}}\mathrm{d}x=-\lim_{c\rightarrow 0+}\left (\int_{-x}^{-c}\frac{1}{xe^{x}}\mathrm{d}x+\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{c}^{k}\frac{1}{x{e}^{x}}\mathrm{d}x \right ))]


[1] 11에서 피적분함수의 분모가 0이 된다. [2] 함수가 어떤 점 근처에서 발산할 때 그 어떤 점을 특이점이라 한다. [3] 피적분함수의 분모는 00에서 0이 된다.