최근 수정 시각 : 2023-01-07 19:25:54

유리근 정리


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1. 개요2. 상세3. 증명

1. 개요

rational root theorem ·

임의의 정수 계수 다항 방정식 유리수 를 찾는 방법이다.

2. 상세

다항방정식 [math(a_1x^n + a_2x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+{\sf const.} =0)]에 대해서 최고차항 계수와 상수항에 대한 부정방정식
[math(\pm \dfrac{d_{\sf const.} | {\sf const.}}{d_{a_1} | a_1})]
의 해 집합 중에 원래 방정식의 해가 있을 수 있다는 정리이다. 즉 최고차항 계수의 약수와 상수항의 약수의 몫으로 방정식의 유리수 해를 찾을 수 있음을 뜻한다. 여기서 갑자기 부정방정식의 집합이 왜 나오냐는 질문이 나올 수도 있는데 정확히는 단순히 정수 계수 방정식 뿐만 아니라 유일인수분해환의 원소를 계수로 가지는 다항식환에 대해 적용되기 때문이다.

그러나 대수학의 관점에서는 이질적인 정리인데, 초등적 증명[1]이 아닌 정수론적 방법으로 유도되는 정리이고, '해가 있을 수 있다'는 것에서 볼 수 있듯 유리수 해가 있음을 보장하지는 않는다는 맹점이 있다. 그리고 원래 방정식의 해인지를 확인하는 방법이라는 것조차 일일이 부정방정식으로 도출한 집합의 원소를 하나하나씩 대입시키는 것이 고작이다.

3. 증명

[math(\pm \dfrac{d_{\sf const.} | {\sf const.}}{d_{a_1} | a_1})]이 아닌 해가 존재한다면, 이를 [math(\dfrac q{p})]([math(p,q)]는 서로소인 정수, [math(p,q \ne 0)][2])라 하자. [math((px-q))]는 다항식의 인수이다. 여기서 다항식에 [math(p^n=K)]를 곱해 [math(Ka_1x^n+Ka_2x^{n-1}+\cdots+Ka_{n-1}x+KC=0)]이라 한 후 [math((px-q)(p^{n-1} a_1x^{n-1}+...+C'))]의 정수다항식으로 인수분해를 할 수 있다. 그런데 이에 따르면 [math(-qC'=KC)]이지만, [math(q)]는 [math(KC)]의 약수이므로 전제에 모순.
[1] 대수학만 써서 하는 증명 [2] [math({\sf const.})]가 0이 아니라면 [math(x=0)]은 trivial solution이므로 해가 될 수 없지만 만에 하나의 오해를 피하기 위해 조건으로 달아둔다.