최근 수정 시각 : 2022-04-09 16:03:23

점근선

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/ asymptote
파일:namu_erf(x)_그래프.png
점근선이 [math(\boldsymbol{y=\pm 1})]인 [math( boldsymbol{y={mathbf{erf}}(x)} )]의 그래프

어떠한 곡선에 대하여 곡선 위의 점이 무한히 원점에서 멀어질수록 그 점에서 한 직선과의 거리가 0에 한없이 가까워질 때[1], 점점(漸) 가까워지는(近) 선(線)이라는 뜻에서 그 직선을 해당 곡선의 점근선(漸近線)이라 한다.

그래프의 점근선이 생기는 대표적인 함수는 유리함수, 지수함수, 로그함수, 탄젠트함수 등이 있고, 이차곡선 중에서는 쌍곡선이 대표적이다.

한 곡선 [math(y=f(x))]의 점근선의 방정식이 [math(y=mx+n)]일 때, 상수 [math(m)], [math(n)]은 아래와 같이 구한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} m&=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} \\ n&=\lim_{x \to \pm \infty} \{ f(x)-mx \} \end{aligned})]

해석적 정수론에서는 소수 정리에서 소수 계량 함수 로그 적분 함수 합성함수 [math(y = \pi(x)/{\rm li}(x))]의 점근선 [math(y=1)]을 다루며, 밀레니엄 문제의 하나인 리만 가설이 여기에 연관되어 있다.

미분기하학에서는 다른 뉘앙스로 쓰이는데, 곡면의 접벡터와 법벡터가 항상 수직인 곡선을 뜻한다.


[1] 물론 함수가 점근선의 값을 갖지 않아야 하는 법은 없다. 가령 아래의 프레넬 적분 함수는 점근선이 [math(y=\pm 1/2)]이지만, 함숫값이 [math(\pm 1/2)]인 점이 무수히 존재한다.
파일:나무_프레넬적분_그래프_NEW.png