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수와
연산 Numbers and Operations |
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1. 개요
結 合 法 則 / associativity수학에서 쓰는 용어 중 하나.
원소 [math(a)], [math(b)], [math(c)] 를 포함한 집합 [math(S)] 와 이항 연산 [math(*)] 가 정의되어 있을 때, [math(a*(b*c)=(a*b)*c)] 가 성립하면 집합 [math(S)] 에서 연산 [math(*)] 에 대해 결합법칙이 성립한다고 한다.
반례로 [math(a*(b*c)\neq(a*b)*c)] 가 되는 경우가 하나라도 나온다면 결합법칙은 일반적으로 성립하지 않는다.
어떤 연산에 대해 결합법칙이 성립한다면, 계산을 어떤 순서대로 하든 상관이 없기 때문에, [math(a*b*c)]와 같이 괄호를 생략하고 적을 수 있다.
결합법칙이 성립하지 않는 연산의 경우, 계산하는 순서가 바뀌면 계산 결과가 달라지므로 일반적으로는 괄호를 써서 계산의 순서를 명시해줘야 한다. 그러나 사칙연산과 같이 계산의 순서가 약속되어 있다면 괄호를 쓰지 않고도 나타낼 수 있다.
- 뺄셈과 나눗셈 : 왼쪽부터 오른쪽 순서대로 계산한다. ([math(a-b-c = \left(a-b\right)-c)])
- 거듭제곱 : 일반적으로, 오른쪽에서 왼쪽 순서대로 계산한다. ([math(\displaystyle a\char`^b\char`^c = a^{b^c} = a^{\left(b^c\right)})])
2. 결합법칙이 일반적으로 성립하는 연산
특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 전체의 집합 [math(\mathbb S)] 이다.- [math(+)] ( 덧셈)
- [math(\times)] ( 곱셈)
- [math(\times)] (곱셈: 곱셈이 정의된 행렬 범위)
- [math(\times)] (곱셈: 사원수 범위)
- [math(\circ)] (둘 이상의 함수의 합성)
- [math(*)] ( 합성곱: 라플라스 변환 관련 연산)
- [math(\circ)] (아다마르 곱: 행렬 범위)
- [math(\#)] (연결합: 위상)
3. 결합법칙이 일반적으로 성립하지 않는 연산
역시 특별한 언급이 없는 한, 해당 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.- 2차 이하의 하이퍼 연산의 역연산
- 3차 이상의 하이퍼 연산과 그 역연산
- [math(a^n)] ( 거듭제곱)[2] ↔ [math(\displaystyle\sqrt[n]{\ })] ( 거듭제곱근), [math(\log_a)] ( 로그)[3]
- [math(\uparrow\uparrow)] ( 테트레이션), [math(\uparrow\uparrow\uparrow)] (펜테이션), ⋯ 및 그들의 역연산
- [math(\otimes)] (곱셈: 벡터의 행렬곱)
- [math(\times)] (곱셈: 팔원수 범위)
4. 같이 보기
[1]
[math(\textcolor{red}{a-b-c = (a-b)-c} \neq \textcolor{blue}{a-(b-c) = a-b+c})]
[2]
[math(\textcolor{red}{a^{b^c} = a^{\left(b^c\right)}} \neq \textcolor{blue}{\left(a^b\right)^c=a^{bc}})]
[3]
3차 이상의 하이퍼 연산을 [math(*)]라 하였을 때, 일반적으로 [math(a*b \neq b*a)]으로 교환법칙이 성립하지 않기 때문에, 서로 다른 왼쪽 역연산[math(\left(a\backslash b\right))]과 오른쪽 역연산[math(\left(a/b\right))]이 나온다. 거듭제곱의 경우, 왼쪽 역연산은
로그, 오른쪽 역연산은
거듭제곱근이다. 복소수의 나눗셈(교환법칙 성립함)에 대해서도 왼쪽 나눗셈과 오른쪽 나눗셈을 따로 정의할 수는 있지만, 분자와 분모만 서로 바뀌었을 뿐 대칭성이 있기 때문에 대부분 오른쪽 나눗셈([math(/)]또는 [math(÷)])만 사용한다.