최근 수정 시각 : 2022-07-26 22:15:56

멱급수


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1. 개요2. 상세3. 응용4. 관련 문서

1. 개요

, Power series

변수 [math(x_1,x_2,\cdots x_n)]에 대하여

[math(\displaystyle \sum_{(k_1,k_2\cdots,k_{n}) \in \mathbb N^{n}} a_{k_1, k_2, \cdots k_n }\prod_{i=1}^n (x_i - x'_i)^{k_i} )]

을 [math((x'_1,x'_2,\cdots ,x'_n))]에서의 멱급수라고 한다.

2. 상세

[math(\mathbb F)]를 생각하자. 보통의 경우 [math(\mathbb{F}=\mathbb{R} \textsf{ or }\mathbb{C})]인 경우를 생각한다. 멱급수는 급수이므로 [math(\sum_{k=0}^\infty a_k (x-x')^k)]는 [math(\mathbb F)]의 어떤 원소들에 대해서 수렴할 것이다. 이때 수렴하는 원소의 모임을 그 멱급수의 수렴 영역이라고 한다. 예를 들어 [math(\sum_{k=0}^\infty \nolimits x^k/k!)]은 복소평면 전체에서 [math(exp x)]로 수렴한다. 어떤 경우에는 급수의 수렴성을 생각하지 않을 필요가 있는데, 수렴 여부와 상관없이 [math(\sum_{k=0}^\infty a_k x^k)]의 형태를 띄는 함수를 형식적 멱급수(영어:formal power series)라 하고, 체 [math(\mathbb K)] 위의 변수가 [math(x_0,x_1,\cdots)]인 모든 형식적 멱급수의 집합을 [math(\mathbb{K}[\![x_0,x_1,\cdots]\!]=\mathbb{K}[\![x_0]\!][\![x_1]\!]\cdots)]로 나타낸다.
간단히 생각해서 실수체 [math(\mathbb R)] 위의 형식적 멱급수들을 생각하자. 이는 다음과 같은 연산을 주면 벡터 공간을 이룬다.
  • [math(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty a_k x^k+\sum_{k=0}^\infty b_k x^k = \sum_{k=0}^\infty (a_k+b_k)x^k)]
  • [math(\displaystyle c\sum_{k=0}^\infty a_k x^k= \sum_{k=0}^\infty ca_k x^k)]

3. 응용

3.1. 테일러 급수

테일러 급수는 대표적인 멱급수로
[math(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k)]
이며 초월함수 [math(f)]의 값을 구하기 곤란하거나 함수의 극한을 구할 때 사용한다. 여러 함수의 테일러 급수는 테일러 급수/목록 참조.

3.1.1. 로랑 급수

로랑 급수는 테일러 급수의 일반화로,
[math(c_n = \displaystyle \frac 1{2\pi i}\oint \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\quad(n \in \mathbb Z))]
(적분 영역은 [math(z_0)]을 포함하는 적당한 폐구간이다.)
일 때, [math(\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k (z-z_0)^k)]를 [math(f)]의 [math(z_0)]에서 로랑 급수라고 한다.

3.2. 멱급수의 미분 적분

멱급수의 미분과 적분은, 각 항이 수렴할 때에 한하여 아래가 성립한다:
  • 미분 : [math(\displaystyle \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x} \sum_{k=0}^\infty a_k x^k=\sum_{k=1}^\infty ka_k x^{k-1})]
  • 부정적분: [math(\displaystyle \int \left( \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \right) \mathrm{d}x=\sum_{k=0}^\infty \frac{a_k x^{k+1}}{k+1} +{\sf const.})]
  • 정적분: [math(\displaystyle \int_a^b \left( \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \right) \mathrm{d}x=\sum_{k=0}^\infty \frac{a_k(b^{k+1}-a^{k+1})}{k+1})]

3.2.1. 미분 방정식

위의 성질을 이용하여 미분방정식의 근을
[math(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty a_k x^k)]
의 형태로 가정하고 각 [math(a_k)]를 구할 수 있다. 이를 프로베니우스의 해법이라고도 한다.
예를 들어
[math(y'+y+x^2=0)]
를 풀어보자.[1] 이 식은 [math(x^2)] 때문에 곤란할 수 있다. 하지만 근을
[math(\displaystyle y= \sum_{k=0}^\infty a_k x^k)]로 두면,
[math(\begin{cases} a_2+ 3a_3=-1 \\ a_k+(k+1)a_{k+1}=0&(k\ne 2) \end{cases})]
를 풀면 된다.
그 해로는
[math(\displaystyle a_1=-a_0, a_2=-\dfrac{a_0}2, a_k=\frac{(-1)^k(a_0-2)}{k!}(k>2))]
가 나와
[math(y=\displaystyle -a_0+1+\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^k (a_0-2)}{k!})]
테일러 급수를 이용하면
[math(y=(a_0-2) e^{-x}-a_0+1)]
를 구할 수 있다.

4. 관련 문서


[1] 이 방정식은 선형이므로 단순히 동차해법을 사용해도 쉽게 풀 수 있다.