최근 수정 시각 : 2022-05-31 15:48:26

선적분

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1. 개요2. 벡터 미적분학에서3. 복소선적분

1. 개요

, line integral

곡선에 대한 적분을 의미한다. 쉽게 말해서 선에 있는 모든 점에 대해 적분을 구하는 것으로, 기본적인 적분이 구간 [math([a,\,b])] 사이의 수 [math(c)]에 대해서 적분값을 구했다면, 한 차원 더 나아간 선적분은 [math(n)]차원에서 '아무렇게나 생긴 선'(=곡선 [math(C)]) 위에 존재하는 모든 점들에 대해서 적분을 구하는 것이다. 수학이든 물리학이든 1차원을 넘어 2차원 위에서 현상을 기술하기 위한 필수적인 도구로, 이게 없으면 이해가 불가능하다.

단순한 의미로는 좌표에 따라 세기와 방향이 다른 바람 속을 어떤 경로로 뚫고 들어갈 때처럼, 벡터로 표현되는 힘의 장(field) 안에서 어떤 경로를 따라 물체를 이동시켰을 때 그 물체에 한 일의 합을 뜻한다. [math(x)] 또는 [math(y)]가 조금만 바뀌어도 작용하는 힘이 바뀌는 상황에서는 일반적인 공식을 적용하기 불가능하기 때문에 연속적인 관점에서 매우 작은 거리에 해준 일을 전부 더한 것이다.

선적분 방향에 따라서 부호가 바뀌는데, 일반적으로 방향은 적분 경로의 시계 반대방향, 정확히는 적분 방향의 오른쪽으로 법선을 그으면 영역 외부를 가리키도록 적분한다. 면적분의 경우도 마찬가지로 적분하는 벡터 방향이 외부를 가리키도록 하는게 일반적. 확장형으로 면적분, 부피적분이 존재한다. 선적분에서 차원을 하나씩 늘려간다고 생각하면 된다.

[math(\oint,∲,∳)] 같이 적분기호에 고리가 있는 경우가 있는데, 적분 대상인 선이 닫혀 있다는 것을 뜻한다.[1]

2. 벡터 미적분학에서

그린 정리, 스토크스 정리, 발산 정리 등에서 중요하게 사용된다.[2]

어떠한 스칼라함수(scalar field) [math(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R})]가 있고, 곡선 [math(C)]가 [math(\vec{X}:\left[a,b\right]\to\mathbb{R}^n)]로 조각적으로 연속적으로 미분가능[3]하게 매개화 가능할 때, 곡선 [math(C)]에서 [math(f)]의 선적분은 다음과 같이 정의된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_C f \,{\rm d}s = \int_a^b f(\vec X(r)) \,|\vec X'(r)| \,{\rm d}r
\end{aligned} )]
비슷하게, 벡터장(vector field)[4] [math(\mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n)]에 대한 선적분은 다음과 같이 정의된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_C {\bf F}\cdot{\rm d}{\bf s} = \int_C {\bf F}\cdot (\vec T \,{\rm d}s) = \int_C ({\bf F}\cdot\vec T) \,{\rm d}s = \int_a^b {\bf F}(\vec X(r))\cdot\vec X'(r) \,{\rm d}r
\end{aligned} )]
이 때, [math(\vec T(r))]은 곡선 [math(C)]의 [math(\vec X(r))]에서의 접선벡터(tangent vector)이다.

3. 복소선적분

복소해석학에서 가장 중요하게 다루어지는 개념 중 하나. 선적분과 구별을 짓기 위해 경로적분(contour integral)[5]이라고 불리는 경우가 많다. 정의역에 포함되는 조각적으로 미분가능[6]한 경로 [math(C = \{ \gamma(t): t \in [a,\,b] \} \subset U)] ([math(U\subset\mathbb{C})]) 위에서 복소함수 [math(f: U \rightarrow \mathbb{C})]의 선적분은 다음과 같이 정의된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_C f(z) \,{\rm d}z = \int_a^b f(\gamma(t)) \,\gamma'(t) \,{\rm d}t
\end{aligned} )]
여기서 함수값 [math(f(\gamma(t)))]와 [math(\gamma'(t))]는 복소수이고, 이 둘의 곱은 복소수의 곱이다. 겉으로는 평면에서의 선적분과 비슷해 보이지만 그 성질은 매우 딴판으로 특이해서, 복소선적분은 선적분의 특수한 경우보다는 복소수 자체의 고유한 1변수 적분으로 간주된다.

대표적으로 복소미분 가능한 함수는 닫힌 경로에서 복소선적분의 결과값 0이 된다. 즉, 시작점과 끝점이 정해져 있으면 경로가 어떻게 바뀌어도 적분값은 동일하다! 물론 이 얘기들은 '복소미분 가능'이 조건인지라, [math(f(z)=\bar{z})] 같은 함수는 조건을 만족하지 못하기 때문에 경로가 달라지면 적분값이 달라진다[7]. (복소미분의 정의는 복소해석학 항목을 참조.) 대신에 테일러 급수로 정의된 함수는 항상 복소미분 가능하므로(역도 성립한다), 많은 좋은 실함수들이 복소미분가능한 함수로 확장된다. 이를 잘 이용하면 실수 범위에서는 구하기 어려운 적분을 복소범위의 경로로 옮긴 뒤, 극한을 취하여 실수 범위에서의 적분을 제외한 나머지 부분( 허수부)을 0으로 날려버리는 기술을 사용할 수 있다.


[1] 이를 폐적분(closed integral) 이라 한다. [2] 스토크스 정리를 보듯이 어차피 면적분이나 부피적분이나 일반적인 선적분의 확장이다. [3] piecewise continuously differentiable [4] [math(n)]차원 값을 넣으면 결과로 [math(n)]차원 벡터가 나오는 함수라고 생각하면 된다. [5] 파인만이 정립한 양자 단위 입자의 경로를 설명하는 path integral과는 다르다. [6] piecewise differentiable [7] 운이 좋다면 같을 수도 있다.