현수선

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1. 개요2. 유도 과정

2.1. 유도 12.2. 유도 2

3. 기타4. 관련 문서

1. 개요

catenary · 懸垂線

밀도가 균일한 선이 양끝만 고정되어 길이에 비례하는 외력에 의해 처진 선. 또한 이는, 밀도가 균일한 선을 양끝에 고정시켰을 때, 줄의 전체 퍼텐셜 에너지가 최소화되는 곡선이기도 하다. (단, 줄의 변형은 무시한다.) 한편 수평거리에 비례하는 외력이 가해지는 경우 포물선 형태가 된다.

직관적인 예시는, 목걸이의 모습이나 체인으로 걸어놓은 출입 제한선 같은 모양을 떠올리면 현수선과 비슷한 모습이 나올 것이다.[1]

현수선의 방정식은 아래와 같다.

[math(\begin{aligned} y(x) &= a\cosh{\left(\frac xa \right)} \\ &= \frac a2(e^{x/a}+e^{-x/a}) \\ &= a\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n)!}{\left(\frac xa\right)}^{2n} \\ &= a{\left(1 + \frac{x^2}{2a^2} + \frac{x^4}{24a^4} + \cdots\right)}\end{aligned})]

[math(a)]는 상수이며, [math(\cosh)]는 쌍곡코사인 함수이다. 얼핏 모양은 포물선같이 보이지만 다르다.[비교] 위 식에서 [math(x/a \ll 1)] 즉 [math(x \ll a)]인 경우, 무한급수로 전개한 식에서 4차항 이하를 0으로 근사할 수 있으므로

[math(\begin{aligned} y(x) &= a\cosh{\left(\frac xa \right)} \\ &\approx a{\left(1 + \frac{x^2}{2a^2}\right)} \\ &= a + \frac{x^2}{2a}\end{aligned})]

와 같이 포물선이 꼴이 된다. 실제로 [math(a)]는 줄에 가해지는 장력의 수평 방향 성분 [math(T)], 선밀도 [math(\rho)], 중력 가속도 [math(g)]를 이용하여 [math(a= T/{\rho g})]로 주어지는데 이 말은 곧 장력이 충분히 크거나 선밀도가 매우 작으면 현수선을 포물선으로 근사할 수 있다는 이야기가 된다.

2. 유도 과정

2.1. 유도 1

위 그림과 같이 두 점 [math((x_1,\,y_1))]과 [math((x_2,\,y_2))] 사이에 양끝이 고정되어 매달려있는 길이가 [math(L)]인 선을 고려하자. 이 선을 기술하는 곡선이 [math(y=y(x))]의 그래프를 따르고, 선의 밀도는 [math(\rho)]로 일정하다고 하자. 선의 길이를 [math(s)]로 나타낼 때 중력은

[math(m{\bf g}=-mg{\bf\hat y} = -\rho sg{\bf\hat y})]

이며, 지점 [math((x,\,y))]에 걸리는 장력을

[math({\bf T}(x)=T_{x}(x){\bf\hat x}+T_{y}(x){\bf\hat y})]

로 나타내면,[3] 미소 구간 [math([x,\,x+{\rm d}x])] 사이에 있는 미소 길이 [math({\rm d}s)]의 선에는 세 힘, 즉 양 끝점에서의 장력 둘과 중력이 작용하며 다음과 같이 평형을 이룬다.

[math({\bf T}(x) + {\bf T}(x + {\rm d}x) + m{\bf g} = {\bf0}{\rm\,N})]

우선 미소 구간에 있는 선에 대하여 [math(x)]축 성분에 대한 운동 방정식을 작성하면,

[math(\begin{aligned} T_{x}(x+{\rm d}x)-T_{x}(x) &=0{\rm\,N} \\ \frac{{\rm d} T_{x}(x)}{{\rm d}x}=\frac{T(x+dx)-T(x)}{{\rm d}x} &=0{\rm\,N/m} \end{aligned})]

이 조건으로부터 [math(T_{x} \equiv T)]로, [math(x)]축 성분의 장력은 상수라 놓을 수 있다. 한편, [math(y)]축에 대한 운동 방정식을 작성하면,

[math(-\rho g\,{\rm d}s+T_{y}(x+{\rm d}x)-T_{y}(x)=0{\rm\,N})]

한편, [math(T_{y}(x+{\rm d}x)-T_{y}(x) = {\rm d}T_{y}(x))]로, 장력의 미소 차이와 같다. 이상에서

[math({\rm d}T_{y}(x)=\rho g\,{\rm d}s \quad \cdots \, \small{(\ast)})]

이때, 장력은 선의 접선 방향으로 작용하므로 미소 부분에 대한 접선의 기울기를 장력의 성분으로 나타낼 수 있다.

[math(y'=\dfrac{T_{y}(x)}{T_{x}(x)}=\dfrac{T_{y}(x)}{T})]

이상에서 [math(T_{y}(x)=Ty')]이므로

[math({\rm d}T_{y}(x)={\rm d}(Ty')=T\,{\rm d}y'\quad \cdots \, \small{(\#)})]

곡선의 길이는 다음과 같이 구할 수 있다.

[math({\rm d}s=\sqrt{1+(y')^{2}}\,{\rm d}x)]

그런데 [math(\small{(\ast)})], [math(\small{(\#)})]에 의하여

[math(T\,{\rm d}y'=\rho g\,{\rm d}s)]

이므로

[math(\dfrac{{\rm d}y'}{\sqrt{1+(y')^2}}=\dfrac{\rho g}{T}\,{\rm d}x)]

위의 미분 방정식이 얻어진다. 좌변은

[math(\operatorname{arsinh}{y'}=\ln{\{y'+\sqrt{1+(y')^2} \}})]

의 미분이므로 부정적분하면,

[math(\operatorname{arsinh}{y'}=\dfrac{\rho g}{T}x+C)]

[math(C)]는 상수이다. 따라서

[math(y'=\sinh{\biggl( \dfrac{\rho g}{T}x+C \biggr)})]

이때, [math(C)]를 구하기 위해 선의 길이가 [math(L)]이라는 점과 [math(\sqrt{1+\sinh^{2}{x}}=\cosh{x})]를 이용하면,

[math(\begin{aligned} L&=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \cosh{\biggl(\frac{\rho g}{T}x+C \biggr)}\,{\rm d}x \\ &= \frac T{\rho g}\biggl\{ \sinh\biggl(\frac{\rho g}Tx_2+C \biggr) -\sinh\biggl(\frac{\rho g}Tx_1 + C \biggr) \biggr\} \\ &=\frac{2T}{\rho g}\sinh{\biggl( \frac{\rho g}{T} \frac{x_{2}-x_{1}}{2}\biggr)}\cosh{\biggl( \frac{\rho g}{T} \frac{x_{1}+x_{2}}{2}+C\biggr)} \end{aligned})]

여기서 합을 곱으로 고치는 공식이 사용되었다. 이상에서

[math(\cosh{\biggl( \dfrac{\rho g}{T} \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}+C\biggr)} = \dfrac{\rho g L}{2T} \operatorname{csch}{\biggl( \dfrac{\rho g}{T} \dfrac{x_2-x_1}{2} \biggr)})]

따라서 [math(C)]를 구하면,

[math(C=\operatorname{arcosh}{\biggl\{ \dfrac{\rho g L}{2T} \operatorname{csch}{\biggl( \dfrac{\rho g}{T}\dfrac{x_2-x_1}{2} \biggr)} \biggr\}}-\dfrac{\rho g}{T}\dfrac{x_1+x_2}{2})]

이에 따라

[math(y' = \sinh{\left[\dfrac{\rho g}T{\left(x-\dfrac{x_1 + x_2}2\right)} + \operatorname{arcosh}{\left\{\dfrac{\rho gL}{2T}\operatorname{csch}{\left(\dfrac{\rho g}T\dfrac{x_2 - x_1}2\right)}\right\}}\right]})]

이렇게 얻어진 [math(y')]을 좌변은 [math([y_1,\,y])], 우변은 [math([x_{1},\,x])]에 대하여 정적분하면,

[math(\def\A{\operatorname{arcosh}{\left\{\frac{\rho gL}{2T}\operatorname{csch}{\left(\frac{\rho g}T\frac{x_2 - x_1}2\right)}\right\}}} \begin{aligned} y = &\frac T{\rho g}\cosh{\left[\frac{\rho g}T{\left(x-\frac{x_1 + x_2}2\right)} + \A \right]} \\
&+ y_1 - \frac T{\rho g}\cosh{\left[\frac{\rho g}T{\left(\frac{x_1 - x_2}2\right)} + \A \right]} \end{aligned})]

이때, 공통으로 나온 부분은 상수로써 이를 [math(A)]로 쓰면 아래를 얻는다.

[math(y = \dfrac T{\rho g}\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(x-\dfrac{x_1 + x_2}2\right)} + A\right\}} + y_1 - \dfrac T{\rho g}\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(\dfrac{x_1 - x_2}2\right)} + A\right\}})]

이제 [math(y_{1}=y_{2})], 즉 양끝점의 높이가 같을 경우 [math(x=x_{2})], [math(y=y_1(= y_2))]를 대입해서

[math(\dfrac T{\rho g}{\left[\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(\dfrac{x_2 - x_1}2\right)} + A\right\}} - \cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(\dfrac{x_1 - x_2}2\right)} + A\right\}}\right]} =0{\rm\,m})]

이므로 대괄호 부분이 0이 되는데, 합을 곱으로 고치는 공식을 이용하면

[math(\begin{aligned} &\cosh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(\frac{x_2 - x_1}2\right)} + A\right\}} - \cosh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(\frac{x_1 - x_2}2\right)} + A\right\}} \\
&= 2\sinh A\sinh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(\frac{x_2 - x_1}2\right)}\right\}} \\
&= 0\end{aligned})]

[math(x_2 \ne x_1)]이므로

[math(\sinh A = 0 \quad \Leftrightarrow \quad A = 0)]

이다. [math(y')]을 다시 살펴보면

[math(y' = \sinh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(x-\dfrac{x_1 + x_2}2\right)}\right\}})]

위 식과 같이 선의 양끝 높이가 같을 경우 그 중심의 좌표 [math((x_1 + x_2)/2)]에서 기울기가 0임을 알 수 있고 [math(y)] 역시

[math(y = \dfrac T{\rho g}\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(x-\dfrac{x_1 + x_2}2\right)}\right\}} + y_1 - \dfrac T{\rho g}\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(\dfrac{x_1 - x_2}2\right)}\right\}})]

가 되어 직선 [math(x = (x_1 + x_2)/2)]에 대칭인 쌍곡선 코사인 함수 형태가 얻어짐을 알 수 있다.

이때 좌표는 원점을 임의로 평행이동해서 지정할 수 있으므로

[math( \begin{aligned} x_2 &= -x_1 \\ y_1 &= \cfrac T{\rho g}\cosh{\biggl(\dfrac{\rho gx_1}{T}\biggr)} \end{aligned} )]

이 되도록 원점을 잡으면 위 식은 다음과 같이 더 간단하게 표기할 수 있다.

[math(y = \dfrac T{\rho g}\cosh{\biggl(\dfrac{\rho gx}T \biggr)})]

한편, 앞서

[math(T_y(x) = Ty' = T_x(x)y')]

라 했으므로 장력의 크기는 각 성분의 제곱의 합의 제곱근, 즉

[math(\|{\bf T}\| = \sqrt{T^2 + (Ty')^2} = T\sqrt{1 + (y')^2})]

로 구할 수 있으므로

[math(\|{\bf T}\| = T\cosh{\biggl(\dfrac{\rho gx}T \biggr)} = \rho gy)]

위와 같이 현수선의 위치 좌표에 비례하는 꼴[4]임을 알 수 있다.

2.2. 유도 2

이번엔 현수선의 또 다른 정의인 줄의 전체 퍼텐셜 에너지가 최소가 되는 곡선임을 증명해보자. 이 증명에는 변분법이 이용된다.

고려하는 선의 조건은 유도 1에서 사용했던 것과 같다. 곡선 [math(y(x) )]로 기술되는 선의 미소 구간에 대한 퍼텐셜 에너지는

[math({\rm d}U=\rho gy{\rm\,d}s)]

이때,

[math({\rm d}s=\sqrt{1+(y')^2}{\rm\,d}x)]

를 이용하고, 이것을 줄 전체에 대해 적분하면, 줄의 퍼텐셜 에너지를 얻는다.

[math(\displaystyle U = \rho g \int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+(y')^2}{\rm\,d}x)]

이때, 범함수

[math(J(y,\,y';\,x) \equiv y \sqrt{1+(y')^2})]

를 얻으며, 이 범함수를 오일러-라그랑주 방정식

[math(\dfrac{\partial J}{\partial y}-\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{\partial J}{\partial y'}=0)]

에 대입하면

[math(\sqrt{1+(y')^2} - \dfrac{\rm d}{{\rm d}x}{\left\{\dfrac{yy'}{\sqrt{1+(y')^2}}\right\}}=0)]

이상에서 식을 정리해주면

[math(yy'' = 1 + (y')^2)]

마지막 2계 미분 방정식은 양변을 [math(x)]로 한번 미분해주면 다음과 같은 관계식을 얻으면서 풀린다.

[math(y'y + yy' = 2y'y \quad \to \quad |y| = e^{C_1}|y|)]

그런데 맨 처음 미분방정식 [math(yy = 1 + (y')^2)]을 자세히 보면 우변은 항상 양수이므로 [math(y>0)], [math(y>0)] 혹은 [math(y<0)], [math(y<0)]이어야 하며, [math(y)], [math(y)]의 부호가 다르게 나올 수 없으므로 절댓값을 그냥 벗겨서

[math(y'' = e^{C_1}y = c^2y \quad (c>0))]

라는 조건을 얻고, 이것을 원래 2계 미분 방정식에 대입해서 차수를 낮추고 식을 정리하면 아래의 미분 방정식을 얻는다.

[math(\dfrac y{\sqrt{1+(y')^2}}=\dfrac1c)]

이 미분 방정식의 해는

[math(y = \dfrac1c\cosh{(cx+d)})]

의 형태이므로 현수선에 해당한다. 단, [math(c)], [math(d)]는 결정해야 할 상수이고, 유도 1에서와 같이 현의 길이에 관한 조건과 장력의 크기 조건을 연립해서 구할 수 있다

사실 맨 처음에 오일러-라그랑주 방정식을 세울 때 줄의 길이에 대한 구속 조건을 포함시켜서 푸는 게 더 정확한 풀이이다. 라그랑주 승수법을 이용하는 것도 하나의 방법이다.

3. 기타

포물선을 직선 위에 굴릴 때 초점이 그리는 곡선은 현수선이다.
상대성 이론에 의하면 균등한 전기장에서 운동하는 전하의 궤도는 현수선이다.
여러 적절한 모양의 (뒤집은) 현수선으로 바닥을 만들고 그 위에 정사각형을 굴릴 때 정사각형의 중심이 그리는 궤도는 [math(x)]축과 평행한 직선이다. 즉, 네모난 바퀴를 가진 자전거를 편안하게 타고 싶으면 트랙의 표면을 현수선 모양으로 만들면 된다.

4. 관련 문서

[1] 정작 현수교는 아래쪽에 교각이 걸려 있어서 외력이 길이에만 비례하지 않기 때문에 현수선이 아니다. 외력이 길이 [math({\rm d}s)]가 아닌 [math({\rm d}x)]에 일정하게 작용한다고 가정하고 문제를 풀면 포물선이 나온다. '현수'라는 이름이 붙은 이유는 다리 전체를 주 케이블에 매달아서 하중을 지탱하기 때문. [비교]

[3] 위 표기에서 [math(T_x)], [math(T_y)]는 편미분을 의미하는 표기가 아님에 주의. 각각 장력 [math(\bf T)]의 [math(x)]성분, [math(y)]성분이다. [4] 원래 현수선의 방정식에서 상수항이 0 m가 되도록 평행이동을 한 결과에 대한 해석임에 주의. 일반화된 좌표인 경우 상수항을 0 m로 놓은 좌표에 비례하는 크기로 이해하면 된다.

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