삼각함수 ·
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1. 개요
catenary · 懸 垂 線밀도가 균일한 선이 양끝만 고정되어 길이에 비례하는 외력에 의해 처진 선. 또한 이는, 밀도가 균일한 선을 양끝에 고정시켰을 때, 줄의 전체 퍼텐셜 에너지가 최소화되는 곡선이기도 하다. (단, 줄의 변형은 무시한다.) 한편 수평거리에 비례하는 외력이 가해지는 경우 포물선 형태가 된다.
직관적인 예시는, 목걸이의 모습이나 체인으로 걸어놓은 출입 제한선 같은 모양을 떠올리면 현수선과 비슷한 모습이 나올 것이다.[1]
현수선의 방정식은 아래와 같다.
[math(\begin{aligned} y(x) &= a\cosh{\left(\frac xa \right)} \\ &= \frac a2(e^{x/a}+e^{-x/a}) \\ &= a\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n)!}{\left(\frac xa\right)}^{2n} \\ &= a{\left(1 + \frac{x^2}{2a^2} + \frac{x^4}{24a^4} + \cdots\right)}\end{aligned})] |
[math(\begin{aligned} y(x) &= a\cosh{\left(\frac xa \right)} \\ &\approx a{\left(1 + \frac{x^2}{2a^2}\right)} \\ &= a + \frac{x^2}{2a}\end{aligned})] |
2. 유도 과정
2.1. 유도 1
위 그림과 같이 두 점 [math((x_1,\,y_1))]과 [math((x_2,\,y_2))] 사이에 양끝이 고정되어 매달려있는 길이가 [math(L)]인 선을 고려하자. 이 선을 기술하는 곡선이 [math(y=y(x))]의 그래프를 따르고, 선의 밀도는 [math(\rho)]로 일정하다고 하자. 선의 길이를 [math(s)]로 나타낼 때 중력은 [math(m{\bf g}=-mg{\bf\hat y} = -\rho sg{\bf\hat y})]이며, 지점 [math((x,\,y))]에 걸리는 장력을
[math({\bf T}(x)=T(x)_{\bf x}{\bf\hat x}+T(x)_{\bf y}{\bf\hat y})] |
[math({\bf T}(x) + {\bf T}(x + {\rm d}x) + m{\bf g} = {\bf0}{\rm\,N})] |
우선 미소 구간에 있는 선에 대해 [math(x)]축에 대한 힘의 평형은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(T(x)_{\bf x}-T(x+{\rm d}x)_{\bf x} = 0{\rm\,N})] |
또한, [math(y)]축에 대해
[math(-\rho g{\rm\,d}s + T(x+{\rm d}x)_{\bf y}-T(x)_{\bf y} = 0{\rm\,N})] |
[math({\rm d}T(x)_{\bf y} = \rho g{\rm\,d}s)] |
[math(\begin{aligned} y' = \dfrac{T(x)_{\bf y}}{T(x)_{\bf x}} &= \dfrac{T(x)_{\bf y}}T \\ \Rightarrow T(x)_{\bf y} &= Ty' \\ {\rm d}T(x)_{\bf y} &= {\rm d}(Ty') = T{\rm\,d}(y') \end{aligned})] |
[math({\rm d}s = \sqrt{({\rm d}x)^2 + ({\rm d}y)^2} = \sqrt{1 + {\left(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\right)}^2}{\rm\,d}x = \sqrt{1+(y')^2}{\rm\,d}x)] |
[math(\begin{aligned} T\frac{{\rm d}(y')}{{\rm d}x} &= \rho g \sqrt{1+(y')^2} \\ \therefore \frac{{\rm d}(y')}{\sqrt{1+(y')^2}} &= \frac{\rho g}T{\rm\,d}x \end{aligned})] |
[math(\begin{aligned} \operatorname{arsinh}(y') &= \frac{\rho g}Tx + C \\ \Rightarrow y' &= \sinh{\left(\frac{\rho g}Tx + C\right)}\end{aligned})] |
[math(\displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+(y')^2}{\rm\,d}x = L)] |
[math(\begin{aligned} L &= \int_{x_1}^{x_2}\cosh{\left(\frac{\rho g}Tx + C\right)}{\rm\,d}x \\ &= {\left[\frac T{\rho g}\sinh{\left(\frac{\rho g}Tx + C\right)}\right]}_{x_1}^{x_2} \\ &= \frac T{\rho g}{\left\{\sinh{\left(\frac{\rho g}Tx_2 + C\right)} - \sinh{\left(\frac{\rho g}Tx_1 + C\right)}\right\}} \\ &= \frac{2T}{\rho g}\sinh{\left(\frac{\rho g}T\frac{x_2 - x_1}2\right)}\cosh{\left(\frac{\rho g}T\frac{x_1 + x_2}2 + C\right)} \\ &\Rightarrow \cosh{\left(\frac{\rho g}T\frac{x_1 + x_2}2 + C\right)} = \frac{\rho gL}{2T}\operatorname{csch}{\left(\frac{\rho g}T\frac{x_2 - x_1}2\right)} \\ \therefore C &= \operatorname{arcosh}{\left\{\frac{\rho gL}{2T}\operatorname{csch}{\left(\frac{\rho g}T\frac{x_2 - x_1}2\right)}\right\}} - \frac{\rho g}T\frac{x_1 + x_2}2 \\ y' &= \sinh{\left[\frac{\rho g}T{\left(x-\frac{x_1 + x_2}2\right)} + \operatorname{arcosh}{\left\{\frac{\rho gL}{2T}\operatorname{csch}{\left(\frac{\rho g}T\frac{x_2 - x_1}2\right)}\right\}}\right]}\end{aligned})] |
[math(\begin{aligned} y = &\frac T{\rho g}\cosh{\left[\frac{\rho g}T{\left(x-\frac{x_1 + x_2}2\right)} + \operatorname{arcosh}{\left\{\frac{\rho gL}{2T}\operatorname{csch}{\left(\frac{\rho g}T\frac{x_2 - x_1}2\right)}\right\}}\right]} \\ &+ y_1 - \frac T{\rho g}\cosh{\left[\frac{\rho g}T{\left(\frac{x_1 - x_2}2\right)} + \operatorname{arcosh}{\left\{\frac{\rho gL}{2T}\operatorname{csch}{\left(\frac{\rho g}T\frac{x_2 - x_1}2\right)}\right\}}\right]}\end{aligned})] |
[math(y = \dfrac T{\rho g}\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(x-\dfrac{x_1 + x_2}2\right)} + A\right\}} + y_1 - \dfrac T{\rho g}\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(\dfrac{x_1 - x_2}2\right)} + A\right\}})] |
[math(\dfrac T{\rho g}{\left[\cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(\dfrac{x_2 - x_1}2\right)} + A\right\}} - \cosh{\left\{\dfrac{\rho g}T{\left(\dfrac{x_1 - x_2}2\right)} + A\right\}}\right]} =0)] |
[math(\begin{aligned} &\cosh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(\frac{x_2 - x_1}2\right)} + A\right\}} - \cosh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(\frac{x_1 - x_2}2\right)} + A\right\}} \\ &= 2\sinh A\sinh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(\frac{x_2 - x_1}2\right)}\right\}} \\ &= 0\end{aligned})] |
A = 0)]이다. [math(y')]을 다시 살펴보면
[math(\begin{aligned} y' &= \sinh{\left[\frac{\rho g}T{\left(x-\frac{x_1 + x_2}2\right)} + \operatorname{arcosh}{\left\{\frac{\rho gL}{2T}\operatorname{csch}{\left(\frac{\rho g}T\frac{x_2 - x_1}2\right)}\right\}}\right]} \\ &= \sinh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(x-\frac{x_1 + x_2}2\right)} + A\right\}} \\ &= \sinh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(x-\frac{x_1 + x_2}2\right)}\right\}}\end{aligned})] |
[math(\begin{aligned} y = &\frac T{\rho g}\cosh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(x-\frac{x_1 + x_2}2\right)}\right\}} + y_1 - \frac T{\rho g}\cosh{\left\{\frac{\rho g}T{\left(\frac{x_1 - x_2}2\right)}\right\}}\end{aligned})] |
2.2. 유도 2
이번엔 현수선의 또 다른 정의인 줄의 전체 퍼텐셜 에너지가 최소가 되는 곡선임을 증명해보자. 이 증명에는 변분법이 이용된다.고려하는 선의 조건은 유도 1에서 사용했던 것과 같다. 곡선 [math(y(x) )]로 기술되는 선의 미소 구간에 대한 퍼텐셜 에너지는
[math({\rm d}U=\rho gy{\rm\,d}s)] |
[math({\rm d}s=\sqrt{1+(y')^2}{\rm\,d}x)] |
[math(\displaystyle U = \rho g \int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+(y')^2}{\rm\,d}x)] |
[math(J(y,\,y';\,x) \equiv y \sqrt{1+(y')^2})] |
[math(\dfrac{\partial J}{\partial y}-\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{\partial J}{\partial y'}=0)] |
[math(\begin{aligned} &\sqrt{1+(y')^2} - \frac{\rm d}{{\rm d}x}{\left\{\frac{yy'}{\sqrt{1+(y')^2}}\right\}} \\ &= \frac1{\sqrt{1+(y')^2}} - \frac{yy}{\sqrt{1+(y')^2}^3} \\ &= \frac{1+(y')^2-yy}{\sqrt{1+(y')^2}^3} = 0 \\ &\therefore yy'' = 1 + (y')^2\end{aligned})] |
[math(\begin{aligned} &y'y + yy' = 2y'y \\ &\Rightarrow yy' = y'y \\ &\Rightarrow \frac{y'}{y} = \frac{y'}y \\ &\Rightarrow \ln|y| = \ln|y| + C_1 \\ &\Rightarrow |y''| = e^{C_1}|y|\end{aligned})] |
[math(y'' = e^{C_1}y = c^2y \quad (c>0))] |
[math(\dfrac y{\sqrt{1+(y')^2}}=\dfrac1c)] |
[math(y = \dfrac1c\cosh(cx+d))] |
3. 기타
- 포물선을 직선 위에 굴릴 때 초점이 그리는 곡선은 현수선이다.
- 상대성 이론에 의하면 균등한 전기장에서 운동하는 전하의 궤도는 현수선이다.
- 여러 적절한 모양의 (뒤집은) 현수선으로 바닥을 만들고 그 위에 정사각형을 굴릴 때 정사각형의 중심이 그리는 궤도는 [math(x)]축과 평행한 직선이다. 즉, 네모난 바퀴를 가진 자전거를 편안하게 타고 싶으면 트랙의 표면을 현수선 모양으로 만들면 된다.