최근 수정 시각 : 2022-06-20 19:20:56

초월함수

해석학 · 미적분학
Analysis · Calculus
{{{#!wiki style="word-break: keep-all; margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px"
{{{#!wiki style="letter-spacing: -1px"
<colbgcolor=#8f76d6> 함수 합성 · 항등원 · 역원 · 멱함수( 비례·반비례 ) · 초등함수( 대수함수 · 초월함수) · 특수함수 · 범함수 · 다변수 ( 동차 · 숨은 함수( 다가 함수 )) · 그래프 · 대칭 · 증감표 · 극값 · 연속 · 매끄러움 · 계단형 · 미끄럼틀형 · 볼록/오목 · 닮은꼴 함수 · 병리적 함수 · 해석적 연속 · 로그함수 · 지수함수 · 삼각함수
정리 · 토픽 좌표계 · 중간값 정리 · 최대·최소 정리 · 부동점 정리 · 오일러 동차함수 정리 · 립시츠 규칙
극한 부정형 · 어림( 유효숫자 ) · 근방 · 수열의 극한 · 엡실론-델타 논법 · 수렴 ( 균등수렴 ) · 발산 · 점근선 · 무한대 · 무한소 · 스털링 근사
정리 · 토픽 로피탈의 정리 · 슈톨츠-체사로 정리
수열
· 급수
규칙과 대응 · 단조 수렴 정리 · 멱급수 · 테일러 급수 ( 일람 ) · 조화급수 · 그란디 급수 · 망원급수 ( 부분분수분해 ) · 오일러 수열 · 베르누이 수열 · 파울하버의 공식 · 리만 재배열 정리
정리 · 토픽 바젤 문제 · 라마누잔합 · 0.999…=1 · 콜라츠 추측미해결
미분 도함수 일람 · 차분 · 유율법 · 변화량 · 변분법 · 도함수 ( 편도함수 ) · 곱미분 · 몫미분 · 연쇄 법칙 · 역함수 정리 · 임계점 ( 변곡점 · 안장점 ) · 미분형식 · 미분방정식 ( 풀이 ) · [math(boldsymbolnabla)] · 라그랑주 승수법
정리 · 토픽 평균값 정리 ( 롤의 정리 ) · 스토크스 정리 ( 발산 정리 ) · 라플라스 변환 · 푸리에 해석 ( 푸리에 변환 ) · 아다마르 변환
적분 역도함수 일람 · 부분적분 ( LIATE 법칙 · 도표적분법 · 예제 ) · 치환적분 · 정적분 ( 예제 ) · 이상적분 · 중적분 ( 선적분 · 면적분 ) · 르베그 적분 · 스틸체스 적분 · 코시 주요값
정리 · 토픽 미적분의 기본정리 · 2학년의 꿈 · 리시 방법 · 야코비안
실해석 측도론 ( 측도 · 르베그 측도 ) · 유계( 콤팩트성 ) · 칸토어 집합 · 비탈리 집합
정리 · 토픽
복소해석 복소평면 · 편각 · 코시-리만 방정식
정리 · 토픽 오일러 공식 ( 드 무아브르 공식 ) · 리우빌의 정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리
여타 하위 학문 수치해석학 ( FEM ) · 미분기하학 · 해석기하학 · 해석적 정수론 ( 소수 정리 ) · 확률론 ( 중심극한정리 )
기타 뉴턴-랩슨 방법 · 디랙 델타 함수 · 리만 가설미해결 · 카오스 이론미해결 · merry=x-mas
응용 수리물리학 · 수리경제학( 경제수학) · 공업수학 }}}}}}}}}}}}

1. 개요2. 상세3. 초월함수/특수함수들의 목록

1. 개요

/ transcendental function

대수함수가 아닌 함수, 즉 다항함수가 포함된 다항식의 근으로 나타낼 수 없는 함수이다. 즉, 어떤 2변수 다항식 [math(\Phi)]가 [math(\Phi(x,f(x))=0)]을 만족시키면 [math(f)]는 대수함수라 할 수 있고, 그렇지 않은 함수들이 초월함수이다.[1] 초등함수 지수함수, 로그함수, 삼각함수는 모두 초월함수이다. 반대로 대수함수이지만 초등함수가 아닌 함수도 많다.[2]

2. 상세

몇몇 중요하게 다뤄지는 초월함수들은 보통 '특수함수'라 부르고, 이들은 주로 주요 미분방정식 적분방정식의 풀이에서 등장한다. 대표적으로 베셀의 미분 방정식 [math(x^2 y'' + xy' + \left(x^2-n^2\right)y=0)]을 풀었을 때 나오는 베셀 함수(Bessel function)가 그 예이다. 이 함수는 원통좌표계(cylindrical coordinate system)가 들어간 물리현상이면 거의 무조건이라고 해도 좋다 싶을 정도로 등장한다. 특수한 경우가 아니면 일반적인 초등함수로 나타내어질 수 없기에 난해하지만, 삼각함수의 성질만큼이나 다양한 성질들을 가지고 있으며 활용되는 곳도 많다. 이공계 대학생이라면 기초 미적분학에서 쌍곡함수를 만나고, 감마 함수, 베셀 함수, 르장드르 함수 정도는 공업수학, 수리물리학이나 각종 전공에서 심심치 않게 만난다. 미분방정식을 공부하면서 이들을 자세히 배우게 되니 잘 익혀두도록 하자. 정수론 해석적 정수론을 해도 리만 제타 함수의 친척들인 L-함수 등의 특수함수들을 지겹게 보게 될 것이다.

보통 초월함수라 하면 이 특수함수들을 의미하고, (경우에 따라 다르긴 하지만) 소수 계량 함수 같은 불연속인 함수들은 잘 포함시키지 않는 편이다.[3]

3. 초월함수/특수함수들의 목록

초등함수
Elementary Functions
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px; word-break: keep-all"
대수함수 다항함수 ( 상수 · 1차 · 2차 · 3차 · 4차 · 추론 · 공식 ( 길이 · 넓이 ) · 소수생성) · 유리함수 · 무리함수
초월함수 지수함수( 확률밀도함수 · 허수지수함수 ) · 로그함수 ( 복소로그함수 ) · 삼각함수 · 역삼각함수 · 쌍곡선 함수 · 역쌍곡선 함수 }}}}}}}}}

특수함수
Special Functions
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="letter-spacing: -1px"
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px; word-break: keep-all"
적분 오차함수(error function)( 가우스 함수 · 가우스 적분 함수) · 베타 함수( 불완전 베타 함수) · 감마 함수( 불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수) · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수
미분방정식 르장드르 함수* · 구면 조화 함수 · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수
역함수 브링 근호 · 람베르트 [math(W)] 함수 · 역삼각함수
급수 제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 바이어슈트라스 타원 함수
정수론 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수
기타 헤비사이드 계단 함수 · 부호 함수 · 테트레이션( 무한 지수 탑 함수) · 집합 판별 함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수
* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. }}}}}}}}}}}}
\dfrac{|z|^2}{z} &\textsf{if }z\neq 0\\
0 &\textsf{if }z=0
\end{cases})]
허수부의 부호를 반전시키는 함수이다.
* 실수부/허수부 함수
[math(\Re(z)=\text{Re}(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2})]
[math(\Im(z)=\text{Im}(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i})]
복소수에서 실수부 혹은 허수부만을 취할 때 사용하는 함수이다.
실수부 함수의 경우 [math((\Re\circ\Re)(z)=\Re(z))]가 성립하는 멱등함수이다.
* 부호 함수[4]
[math(\mathrm{sgn}(x)=\begin{cases}
\dfrac{x}{\|x\|} &\textsf{if }x\neq 0\\
0 &\textsf{if }x=0
\end{cases})]
절댓값 함수를 미분하면 나오는 함수로, 말 그대로 수의 부호를 판별한다. 일반적으로 양수를 넣을 경우 [math(1)]이, 음수를 넣을 경우 [math(-1)]이, [math(0)]을 넣을 경우 [math(0)]이 나온다. 주로 점화식에서 특정한 수의 부호만을 취할 때 사용한다. [math((\mathrm{sgn}\circ\mathrm{sgn})(x)=\mathrm{sgn}(x))]가 성립하는 멱등함수이다.
그런데 복소수가 들어올 경우 이 함수가 고장(?)이 나버리는데, 분모의 절댓값(엄밀히는 노름)이 복소수에서는 정의가 달라지기 때문이다.[5][6]
* 복소 부호 함수
[math(\mathrm{csgn}(z)=\begin{cases}
\dfrac{\Re(z)}{\|\Re(z)\|} &\textsf{if } \Re(z)\neq 0\\
\dfrac{\Im(z)}{\|\Im(z)\|} &\textsf{if } \Re(z)=0,\Im(z)\neq 0\\
0 &\textsf{if } \Re(z)= 0,\Im(z)= 0
\end{cases})]
위 부호 함수가 복소수에서 고장나는 맹점을 해결하기 위해 복소수용으로 따로 만든 함수. 순허수일 경우에만 허수부의 부호를 판별하고 그 외의 경우에는 실수부의 부호만을 판별한다.
* 삼각함수
* 싱크 함수
[math(\displaystyle\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin{x}}{x})]
* 역삼각함수
* 지수함수
* 테트레이션 함수
* 초제곱근함수
[math(\sqrt{x}_s=e^{(W\circ\ln)(x)})][7]
* 로그함수
* 폴리로그함수
* 초로그함수
[math(\mathrm{slog}_n(x):f(x)=n\uparrow\uparrow x\to x)]
위의 테트레이션 함수의 역함수이다.
* 쌍곡선함수
* 정규분포 함수
* 소수 계량 함수
* 감마 함수 * 베타 함수
* 제타 함수
* 타원 적분
* 르장드르 함수[8], 버금 르장드르 함수, 구면 조화 함수
* 베셀 함수[9], 노이만 함수(제2종 베셀 함수), 한켈 함수(제3종 베셀 함수), 수정 베셀 함수, 구면 베셀 함수, ...
* 오차함수[10]
[math(\displaystyle\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\mathrm{d}t)]
[math(\displaystyle\mathrm{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}}\mathrm{d}t)]
[math(\displaystyle\mathrm{erfi}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{t^{2}}\mathrm{d}t)]
[math(\displaystyle\mathrm{Ei}(x)=-\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t)]
[math(\displaystyle\mathrm{li}(x)=\int_{0}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t})]
[math(\displaystyle\mathrm{Li}(x)=\mathrm{li}(x)-\mathrm{li}(2)=\int_{2}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t})][13]
[math(\displaystyle\mathrm{Ci}(x)=-\int_{x}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\mathrm{d}t)]
[math(\displaystyle\mathrm{Si}(x)=\int_{0}^{x}\frac{\sin{t}}{t}\,\mathrm{d}t)]
[math(\displaystyle\mathrm{Shi}(x)=\int_{0}^{x}\frac{\sinh{t}}{t}\,\mathrm{d}t)]
[math(\displaystyle\mathrm{Chi}(x)=\gamma+\ln x+\int_{0}^{x}\frac{\cosh{t}-1}{t}\,\mathrm{d}t)][16]
[math(\displaystyle S(x)=\int_{0}^{x} \sin t^2 \,\mathrm{d}t)]
[math(\displaystyle C(x)=\int_{0}^{x} \cos t^2 \,\mathrm{d}t)]
[math(\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{n}e^{-x^{2}})]
[math(H_{0}(x)=1)]
[math(H_{1}(x)=2x)]
[math(H_{2}(x)=4x^{2}-2)]
[math(H_{3}(x)=8x^{3}-12x)]
[math(H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12)]
[math(\cdots)]
주로 양자역학에서 단순 조화 진동자 문제를 풀었을 때 튀어나오는 놈이다.
그런데 에르미트 함수는 다항함수이기 때문에 초월함수로 보기에는 무리가 있다.
[math(\displaystyle L_{n}(x)=\frac{e^{x}}{n!}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{n}(x^{n}e^{-x}))]
[math(L_{0}(x)=1)]
[math(L_{1}(x)=-x+1)]
[math(2L_{2}(x)=x^{2}-4x+2)]
[math(6L_{3}(x)=-x^{3}+9x^{2}-18x+6)]
[math(24L_{4}(x)=x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)]
[math(\cdots)]
[math(\displaystyle L_{n}^{k}(x)=(-1)^{n}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{k}L_{n+k}(x))]
수소 원자의 슈뢰딩거 방정식을 풀었을 때 반지름 방향의 해에서 나타난다.
[math(\displaystyle T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}(1-x^{2})^{1/2}}{(2n-1)!!}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{n}(1-x^{2})^{n-1/2})]
[math(\displaystyle U_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}(n+1)}{(2n+1)!!\cdot(1-x^{2})^{1/2}}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{n}(1-x^{2})^{n+1/2})]
  • 초기하함수 (hypergeometric functions)
    • 브링 근호 (Bring radical)
      [math(\mathrm{BR}(x)=-x\,{}_4{F}_3\left(\dfrac{1}{5},\,\dfrac{2}{5},\,\dfrac{3}{5},\,\dfrac{4}{5};\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{3}{4},\,\dfrac{5}{4};\,-5\left(\dfrac{5x}{4}\right)^4\right))]

      초기하함수로 유도할 수 있는 함수로, 5차방정식의 실수해를 구할 때 쓰인다.
  • Whittaker functions
  • Mathieu functions
  • 에어리 함수 (Airy functions)
  • 클라우젠 함수 (Clausen function)
  • 람베르트 W 함수 (Lambert W function)
    • 지수함수의 일종인 [math(xe^x)]의 역함수이다.
  • 후르비츠 제타 함수 (Hurwitz zeta function)
  • 헤비사이드 계단 함수 (Heaviside step function)
    [math(\theta(x)=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{sgn}(x)+1\right))][18]

    부호 없는 부호 함수. 디랙 델타 함수의 원시함수이며, 디랙 델타 함수를 연구했던 올리버 헤비사이드의 이름을 따왔다.
    학자마다 [math(x=0)]의 함숫값의 정의가 다른데, 위 정의처럼 [math(\theta(0)=\dfrac{1}{2})]로 잡고 쓰는 사람이 있고, 함수 정의에 최소 정수 함수 [math(\left\lceil x\right\rceil)]를 사용해 [math(\theta(0)=1)]로 잡고 쓰는 사람도 있다.
  • 발판 함수 (ramp function)
    [math(R(x)=\dfrac{x}{2}(\mathrm{sgn}(x)+1)=\dfrac{|x|+x}{2})]

    말 그대로 발판 모양의 그래프를 그리는 함수로, [math(x<0)] 구간에서는 함숫값이 모두 0이며, [math(x\geq 0)] 구간에서는 [math(y=x)]와 동일하다. 기계학습에서는 ReLU (Rectified Linear Unit) 활성화 함수라고 부른다.
    또한 [math((R\circ R)(x)=R(x))]가 성립하는 멱등함수이다.
  • 집합 판별 함수
    [math(\bold{1}_A(x)=\begin{cases}1&\textsf{if }x\in A\\0&\textsf{if }x\notin A\end{cases})]

    원소가 해당하는 집합에 속해 있는가를 가리는 함수. 지시함수, 특성함수라고도 한다.
    여기서 [math(A=mathbb{Q})]로 정의한 [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}(x))]는 따로 디리클레 함수(Dirichlet Function)[19]라는 이름으로 불린다.
    한편 [math(A=mathbb{N})]으로 정의한 [math(\bold{1}_{\mathbb{N}}(x))]는 멱등함수이다.
  • 혹 함수 (bump Function)
    [math(\mathrm{\Psi}(x)=\bold{1}_{\{x:\|x\|<1\}}e^{-\frac{1}{1-x^2}})]

    시험 함수(test function)라고도 하며, 분포(distribution)에 속하는 디랙 델타 함수를 정의하는 데 쓰인다.

위 함수들에 대한 이론이나 적용은 관련 서적을 참고하기 바란다.


[1] 대수함수를 '다항함수에 사칙연산과 거듭제곱근 연산을 유한 번 적용해 얻는 함수'로 정의하는 것은 흔한 오개념 중 하나이다. 거듭제곱근으로 나타낼 수 없는 대수함수로는 [math(x^5+x+a=0)]의 실근을 나타내는 브링 근호(Bring radical) [math(\mathrm{BR}(a))]같은 함수들이 있다. [2] 이 3개는 고등학교 2학년 수학1에 다들어있다. [3] 전술한 소수 계량 함수같이 정수론의 성격이 짙은 함수는 따로 산술함수라고 불린다. [4] 시그넘 함수(signum Function)라고도 한다. [5] 가령 [math(\mathrm{sgn}(1-i))]의 값은 [math(\dfrac{1-i}{\sqrt{\Re(1-i)^2+\Im(1-i)^2}}=\dfrac{1-i}{\sqrt{2}})]가 된다. [6] 한편으로는 이 '고장난 부호 함수'에 흥미로운 점이 있는데, [math(0)]이 아닌 복소수의 함숫값은 반드시 단위원 위의 점이라는 것이다. 사실 복소수에서도 부호 함수의 작동 방식은 비슷한데, 실수에서는 수가 양 또는 음의 방향인가를 절댓값이 [math(1)]인 수로 나타내고, 복소수에서는 복소수가 향하는 방향(또는 편각)을 가지고 절댓값이 [math(1)]인 수로 나타낸다. [7] [math(W(x))]는 람베르트 W 함수이다. [8] 이 함수는 특수한 경우([math(P_n(x))]에서 [math(n)]이 정수일 때)에서는 다항식 꼴이 된다. [9] 이 역시 특수한 경우에 한해서 대수함수와 삼각함수의 조합으로 나타낼 수 있다. [10] 五次函數(quintic function)가 아니고 誤差函數(error function)이다. [11] [math(\displaystyle {e^x\over x})]의 부정적분에 대응한다. [12] [math(\displaystyle {1\over\ln x})]의 부정적분에 대응한다. [13] 위의 로그 적분이 피적분함수의 특이점을 포함하기 때문에 골치 아픈 점을 피해가기 위한 함수다. [14] 각각 [math(\displaystyle{\cos x\over x})]와 [math(\displaystyle{\sin x\over x})]의 부정적분에 대응한다. [15] 각각 [math(\displaystyle{\sinh x\over x})]와 [math(\displaystyle{\cosh x\over x})]의 부정적분에 대응한다. [16] [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이다. [17] 각각 [math(\sin x^2)]와 [math(\cos x^2)]의 부정적분에 대응한다. [18] [math(\theta(x))] 대신 [math(H(x), u(x))] 등을 쓰기도 한다. [math(u(x))]의 형태는 라플라스 변환을 다룰 때 자주 등장하는 형태이다. [19] 실해석학에서 '완전 불연속 함수'와 그에 대한 적분을 배울 때 나오는 녀석이다.