최근 수정 시각 : 2022-09-22 10:49:24

해석 기하학

해석 기하학 관련 틀
[ 펼치기 · 접기 ]
해석학 · 미적분학
Analysis · Calculus
{{{#!wiki style="word-break: keep-all; margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px; letter-spacing: -1px"
<colbgcolor=#8f76d6> 함수 합성 · 항등원 · 역원 · 멱함수( 비례·반비례) · 초등함수( 대수함수 · 초월함수) · 특수함수 · 범함수( 변분법) · 다변수 ( 동차 · 숨은 함수( 다가 함수)) · 그래프 · 대칭 · 증감표 · 극값 · 영점 · 연속 · 매끄러움 · 계단형 · 미끄럼틀형 · 볼록/오목 · 닮은꼴 함수 · 병리적 함수 · 해석적 연속 · 로그함수 · 지수함수 · 삼각함수
정리 · 토픽 좌표계 · 중간값 정리 · 최대·최소 정리 · 부동점 정리 · 오일러 동차함수 정리 · 립시츠 규칙 · 스펙트럼 정리
극한 엡실론-델타 논법( 수열의 극한) · 수렴 ( 균등수렴) · 발산 · 부정형 · 어림( 유효숫자 · 오차 · 불확도) · 근방 · 점근선 · 무한대 · 무한소 · 스털링 근사
정리 · 토픽 로피탈의 정리 · 슈톨츠-체사로 정리
수열
급수
규칙과 대응 · 단조 수렴 정리 · 멱급수 · 테일러 급수 ( 일람) · 조화급수 · 그란디 급수 · 망원급수 ( 부분분수분해) · 오일러 수열 · 베르누이 수열 · 파울하버의 공식 · 리만 재배열 정리
정리 · 토픽 바젤 문제 · 라마누잔합 · 0.999…=1 · 콜라츠 추측미해결
미적분 미분 도함수 ( 편도함수) · 도함수 일람 · 차분 · 유율법 · 변화량 · 변분법 · 곱미분 · 몫미분 · 연쇄 법칙 · 역함수 정리 · 임계점 ( 변곡점 · 안장점) · 미분형식 · 미분방정식 ( 풀이) · [math(boldsymbolnabla)] · 라그랑주 승수법
적분 역도함수 일람 · 부분적분 ( LIATE 법칙 · 도표적분법 · 예제) · 치환적분 · 정적분 ( 예제) · 이상적분 · 중적분 ( 선적분 · 면적분 · 야코비안) · 르베그 적분 · 스틸체스 적분 · 코시 주요값
정리 · 토픽 미적분의 기본정리 ( 선적분의 기본정리) · 평균값 정리 ( 롤의 정리) · 스토크스 정리 ( 발산 정리 · 그린 정리) · 라플라스 변환 · 푸리에 해석 ( 푸리에 변환 · 아다마르 변환) · 2학년의 꿈 · 리시 방법

해석
실수 · 측도론 ( 측도 · 르베그 측도) · 실직선 · 유계( 콤팩트성) · 칸토어 집합 · 비탈리 집합
정리 · 토픽
복소
해석
복소수( 복소평면) · 편각 · 코시-리만 방정식
정리 · 토픽 오일러 공식 ( 오일러 등식 · 드 무아브르 공식) · 리우빌의 정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리
여타 하위 학문 해석기하학 · 미분기하학 · 해석적 정수론 ( 소수 정리 · 리만 가설미해결) · 벡터 미적분학( 야코비 공식) · 확률론 ( 확률변수 · 중심극한정리) · 수치해석학 ( 유한요소해석 · 전산유체역학)
기타 뉴턴-랩슨 방법 · 디랙 델타 함수 · 카오스 이론 · 오일러 방정식 · 퍼지 논리 · 거리함수 · merry=x-mas
응용 수리물리학 · 수리경제학( 경제수학) · 공업수학 }}}}}}}}}

기하학 · 위상수학
Geometry · Topology
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px"
{{{#!wiki style="letter-spacing: -1px"
평면기하학에 대한 내용은 틀:평면기하학 참고
기본 대상
공리 유클리드 기하학
비유클리드 기하학
도형 기본 도형 평면 · 부피 · 꼬인 위치 · 각기둥 · 각뿔 · 원기둥 · 원뿔 · ( 공 모양 ) · 전개도 · 겨냥도 · 다면체 ( 정다면체 ) · 정사영
곡면 타원면 · 타원포물면 · 쌍곡포물면 · 원환면
프랙탈 도형 시에르핀스키 삼각형 · 시에르핀스키 사각형( 멩거 스펀지) · 망델브로 집합 · 코흐 곡선 · 드래곤 커브
기타 다포체 · 초구 · 일각형 · 이각형
다루는 대상과 주요토픽
위상수학 위상 공간 유계 · 옹골 집합 · 다양체 · 택시 거리 공간 · 연결 공간 · 위상수학자의 사인곡선
위상도형 사영평면 · 뫼비우스의 띠 · 클라인의 병 · 매듭( 목록)
대수적 위상수학 호몰로지 · 호모토피
미분기하학 미분다양체 · 측지선 · 곡률( 스칼라 곡률 · 리만-크리스토펠 곡률 텐서 · 리치 텐서) · 열률 · 텐서 · 쌍곡 공간( 쌍곡삼각형 · 푸앵카레 원반) · 타원 공간( 구면삼각형) · 아핀접속
기타 차원 · 좌표계 · 거리함수
정리 · 추측
실베스터-갈라이 정리 · 해안선 역설 · 바나흐-타르스키 역설 · 라이데마이스터 변환 · 오일러 지표 · 푸앵카레 정리 · 호지 추측미해결
분야
논증기하학 · 미분기하학 · 해석기하학 · 매듭이론 · 프랙탈 이론 · 정보기하학 · 위상 데이터분석 }}}}}}}}}}}}

평면기하학
Plane Geometry
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px; word-break: keep-all; letter-spacing: -1px"
<colbgcolor=#765432> 공통 도형 · 직선 ( 반직선 · 선분 · 평행 ) · ( 맞꼭지각 · 동위각 · 엇각 · 삼각비 ) · 길이 · 넓이 · 다각형 ( 정다각형 · 대각선 ) · 작도 · 합동 · 닮음 · 등적변형 · 삼각함수 ( 덧셈정리 ) · 접선 · 벡터
삼각형 종류 정삼각형 · 이등변삼각형 · 부등변삼각형 · 예각삼각형 · 직각삼각형 · 둔각삼각형
성질 오심 ( 관련 정리 · 구점원 ) · 피타고라스 정리 · 사인 법칙 · 코사인 법칙 · 헤론의 공식 · 신발끈 공식 · 스튜어트 정리 · 우산 정리 · 오일러 삼각형 정리 · 데자르그 정리 · 메넬라오스 정리 · 나폴레옹의 정리 · 체바 정리 · 사영 정리
기타 세모 모양 · 평범한 삼각형 · 젤곤 삼각형
사각형 정사각형 · 직사각형 · 마름모 · 평행사변형 · 사다리꼴 · 등변 사다리꼴 · 연꼴 · 네모 모양
오각형 · 육각형 · 칠각형 · 팔각형 ( 정팔각형 ) · 구각형 · 십각형 · 십일각형 · 십이각형
단위원 · 원주율 · · 부채꼴 · 할선 · 활꼴 · 방정식 · 원주각 · 방멱 정리 · 톨레미 정리
원뿔곡선 포물선 · 타원 · 쌍곡선 · 파스칼 정리
기타 유클리드 · 보조선 · 테셀레이션( 펜로즈 타일) · 제곱근의 앵무조개 · 픽의 정리 · 논증 기하학 · 해석 기하학 · 3대 작도 불능 문제 }}}}}}}}}

1. 정의2. 응용3. 수학 올림피아드에서
3.1. 기하 문제를 해석적으로 푸는 경우3.2. 해석학(대수 분야) 문제를 기하적으로 푸는 경우
3.2.1. 의의3.2.2. 구체적인 방법3.2.3. 예제

1. 정의

/ analytic geometry

n개의 성분으로 이루어진 좌표를 이용하여 도형의 성질을 탐구하는[1] 기하학.

중학교 때는 합동과 닮음 등을 이용하여 설명하는 논증 기하학을 배우지만[2], 고등학교 1학년 때부턴 고등수학 상의 평면 좌표 단원에서 시작하여 해석 기하학을 주로 배우게 된다. 그 후 기하와 벡터 등에서 본격적인 해석 기하학에 입문하게 된다. 또 대학교에 들어가면 미적분을 다시 배울 때 심화적으로 배우게 된다.

여기서 더 발전하면 비유클리드 기하학으로 넘어간다. 우선 교양 수준의 미분기하학부터 시작하는데, 대체로 벡터장과 벡터 다발을 다룬 뒤 곡선, 곡면을 직교좌표계에서 순수 미적분 등으로 다루는 법을 배우고, 곡선, 곡면으로 정의되는 좌표계[3]를 다루는 법을 배운다. 여기까지 오면 시간에 따른 벡터의 변화를 좌표계로 나타내는 법,[4] 출발점이 다른 두 벡터의 합성[5] 같은 기초적인 개념부터 미적분 등의 복잡한 계산을 필요로 한다.

비유클리드 기하학이기는 하지만 기저가 고정된 특수 상대성 이론 현대물리에서도 배우지만, 시공간의 변화를 최소 미분기하학 수준의 비유클리드 기하학으로 다뤄야 하는 일반 상대성 이론은 물리학을 전공해도 자기 연구 분야로 삼지 않으면 배울 일이 없는 것만 봐도 그 복잡함을 알 수 있다.

2. 응용

공간을 다루는데 있어서 빼놓을 수 없다.
도시, 섬 등의 위치를 위도 경도로 나타내는 것도 해석기하학에서 도입되는 개념이며, 초중학교 교과서에 등장하는 대권항로같은 것은 비유클리드기하학을 다룰 때 등장하는 측지선이라는 개념을 사용한다.

상대성 이론에도 해석기하학이 필수로 들어가는데, 여기서는 공간만이 아닌, 시공간을 다룬다. 중력에 따른 GPS의 오차도 해석기하학적으로 시공간이 휘어진 정도를 계산해서 얼마만큼 보정할지 결정한다.

고체물리학, 통계물리학 등에서는 물체의 위치뿐만이 아니라, 물체의 속도, 파동의 파수 벡터 등으로도 '공간'을 만들어서 '운동량 공간', '파수 공간' 등의 개념을 다루기도 한다.

3. 수학 올림피아드에서

한국수학올림피아드 등에서는 해석기하적 방법으로 문제를 풀기도 한다. 기하 문제를 해석적으로 푸는 경우와, 해석학(대수 분야) 문제를 기하적으로 푸는 경우가 있다. 보통 올림피아드에는 논증기하학으로 푸는 문제가 주로 나오지만, 간혹 해석기하학으로 접근했을 때 훨씬 간편해지는 문제도 출제된다.

3.1. 기하 문제를 해석적으로 푸는 경우

평면기하 문제의 경우, 좌표평면 위에 문제에서 주어진 상황을 놓고 해석학적인 방법으로 접근하기도 한다.

3.2. 해석학(대수 분야) 문제를 기하적으로 푸는 경우



파일:CC-white.svg 이 문단 및 하위 문단의 내용 중 전체 또는 일부는 문서의 r62에서 가져왔습니다. 이전 역사 보러 가기
파일:CC-white.svg 이 문단 및 하위 문단의 내용 중 전체 또는 일부는 다른 문서에서 가져왔습니다.
[ 펼치기 · 접기 ]
문서의 r62 ( 이전 역사)
문서의 r ( 이전 역사)

대수 분야에서 변수들이 일련의 방정식을 만족하는 경우, 주어진 상황을 기하학적으로 재해석하여 문제를 풀기도 한다. 이를 '구조법'이라고 하기도 하는데, 정식 수학 용어는 아니다. 광의적으로는, 문제의 주어진 조건으로 새로운 수학모형을 만들어내는 방법, 즉 기존과 다른 문제풀이의 경로와 방법을 찾는 것을 구조법이라고 한다. 구조법을 합리적으로 상황에 맞게 이용한다면 복잡한 것을 간단한 것으로 변화시켜 문제를 교묘하게 풀 수 있다. 그래서 구조법은 문제풀이에 종종 이용된다.

구조법을 사용하여 문제를 풀 때에는 여러 방면의 지식을 종합적으로 응용해서 문제를 쉽게 해결할 수 있는 새로운 방법을 강구해야 한다. 따라서 구조법을 공부하면 지식을 풍부하게 하고, 종합적인 사고능력과 창의적인 문제를 푸는 실력을 키울 수 있다. 그렇다고 모든 문제를 구조법으로 풀 수 있는 것은 아니다. 다만 구조법은 특수한 풀이 방법의 하나로서, 상황에 맞게 활용해야 효과적이다. 따라서 모든 문제에 적용하려 들지는 말고 적용 가능하다고 추측될 때 (예를 들어 제2 코사인 법칙을 쓸 수 있을 것 같을 때) 사용하면 아주 효과적이다.

3.2.1. 의의

해석기하학은 좌표를 변수로 하는 방정식으로써 도형의 성질을 연구하는 학문이다. 즉, 도형을 그림이 아닌 수식으로 이해할 수 있을 뿐만 아니라 역으로 이해하기 힘든 수식을 도형으로 바꾸어 쉽게 이해할 수 있다.

이런 시각이 특히 두드러지는 곳 중 하나가 전자기학에서 쓰이는 맥스웰 방정식으로, 전하/ 자하의 존재를 구멍이 없는 입체도형의 겉면 적분으로, 발전기 전자석의 원리를 닫혀 있는 평면도형의 적분으로 나타내는 식이다.

또한 대수 기하학, 미분 기하학이라는 학문 자체가 이런 시각을 기본으로 깔고 들어간다. 대수 기하학에서 다루는 대상의 하나인 에탈 코호몰로지 문서만 봐도 어떤 느낌인지 알 수 있다.

3.2.2. 구체적인 방법

3.2.2.1. 두 점 사이의 거리 공식의 활용
좌표평면 위의 두 점 [math({\rm A}(x_1,\,y_1))], [math({\rm B}(x_2,\,y_2))] 사이의 거리 [math(\rm AB)] 는 [math({\rm AB}=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2})]이다.[6]
위 식을 좀 더 아름답게(?) 응용할 수 있다.
모든 실수 [math(x_1,\,x_2,\,x_3,{\cdots},\,x_n)] 과 [math(y_1,\,y_2,\,y_3,{\cdots},\,y_n)]에 대하여 다음이 성립한다.

[math(\sqrt{{x_1}^2 + {y_1}^2 } + \sqrt{{x_2}^2 + {y_2}^2 } + {\cdots} + \sqrt{{x_n}^2 + {y_n}^2 } \ge \sqrt{(x_1 + x_2 + {\cdots} + x_n)^2} +\sqrt{(y_1 + y_2 + {\cdots} + y_n)^2})]
주어진 부등식을 제곱하고 다음의 항등식을 이용하자.
[math(z_i = \sqrt{{x_i}^2 + {y_i}^2})]이라고 하면
[math(\displaystyle (z_1 + z_2 + z_3 + {\cdots} + z_n)^2 = {z_1}^2 + {z_2}^2 + {z_3}^2 + {\cdots} + {z_n}^2 + 2\sum z_iz_j)]
이므로 정리하면
[math(\displaystyle \sum_{i=1}^n({x_i}^2 +{y_i}^2) + 2 \sum_{i<j} \sqrt{({x_i}^2 +{y_i}^2)({x_j}^2 +{y_j}^2)} \ge \sum_{i=1}^n({x_i}^2 +{y_i}^2) + 2\sum_{i<j}(x_ix_j + y_iy_j))]
이고
[math(\displaystyle \sum_{i<j} \sqrt{({x_i}^2 +{y_i}^2)({x_j}^2 +{y_j}^2)} \ge \sum_{i<j}(x_ix_j + y_i y_j))]
인데, 위 부등식은 코시-슈바르츠 부등식에 의해 성립한다.
}}}
3.2.2.2. 코사인 법칙

삼각형 [math(\mathrm{ABC})]를 고려하자. 이때 각 [math(A)], [math(B)], [math(C)]의 대변을 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]라 할 때 다음이 성립한다.

[유클리드 공간]

[math(\begin{aligned} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos A \\ b^2&=c^2+a^2-2ca\cos B \\ c^2&=a^2+b^2-2ab\cos C \end{aligned})]

[구면 공간]

[math(\begin{aligned} \cos a&= \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A \\ \cos b&= \cos a \cos c + \sin a \sin c \cos B \\ \cos c&= \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C \end{aligned})]

[쌍곡 공간]

[math(\begin{aligned} \cosh a&= \cosh b \cosh c + \sinh b \sinh c \cos A \\ \cosh b&= \cosh a \cosh c + \sinh a \sinh c \cos B \\ \cosh c&= \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b \cos C \end{aligned})]


[유클리드 공간]

없음


[구면 공간]

[math(\begin{aligned} \cos a&= \dfrac{\cos A + \cos B \cos C}{\sin B \sin C} \\ \cos b&= \dfrac{\cos B + \cos A \cos C}{\sin A \sin C} \\ \cos c&= \dfrac{\cos C + \cos A \cos B}{\sin A \sin B} \end{aligned})]

[쌍곡 공간]

[math(\begin{aligned} \cosh a&= \dfrac{\cos A + \cos B \cos C}{\sin B \sin C} \\ \cosh b&= \dfrac{\cos B + \cos A \cos C}{\sin A \sin C} \\ \cosh c&= \dfrac{\cos C + \cos A \cos B}{\sin A \sin B} \end{aligned})]
  • 차례대로 위가 제1 코사인 법칙, 아래가 제2 코사인 법칙
3.2.2.3. 사인 법칙
  • 구면 공간
    [math(\dfrac{\sin a}{\sin A}=\dfrac{\sin b}{\sin B}=\dfrac{\sin c}{\sin C}=2R)]
  • 쌍곡 공간
    [math(\dfrac{\sinh a}{\sin A}=\dfrac{\sinh b}{\sin B}=\dfrac{\sinh c}{\sin C}=2R)]

코사인 법칙과 더불어서 많이 쓰이는 정리이다.
3.2.2.4. 오일러 공식
[math(a^z = e^{\Re(z\ln a)}\{\cos(\Im(z \ln a)) + i\sin(\Im(z\ln a))\})]
복소수 범위의 지수함수 삼각함수로 바꾸는 그 식이다. 이 공식의 의의는 지수식에 삼각함수를 이용한 기하학적 공리[7]를 적용할 수 있다는 것에 있다.

자세한 내용은 오일러 공식 문서 참조.
3.2.2.5. 이차형식
원의 방정식 같이, 특정 도형을 그리는 이차식을 이용해서 문제를 풀 수 있다.

3.2.3. 예제

  • 위에거 다 제쳐두고 예제로 감잡는 것이 가장 중요하다! 위 식들은 모두 알고 있어야 예제를 풀 수 있고, 예제를 풀 때에는 풀이는 가급적 열지 말자. 구조법은 상상력(?)이 가장 핵심이기 때문에 풀이를 보기 앞서 접근 방식을 고민해보는 것을 추천한다.
예제1 [math(\sqrt{x^2 -8x +17} + \sqrt{x^2 -2x +5})] 의 최솟값을 구하시오.
【 풀이 】

(준 식) = [math(\sqrt{(x-4)^2 + 1^2} + \sqrt{(x-1)^2 + (-2)^2})]이므로, 좌표평면 위의 세 점 [math({\rm X}(x,\,0))], [math({\rm A}(4,\,1))], [math({\rm B}(1,\,-2))]에 대하여 위 식은 [math(\overline{\rm AX}+\overline{\rm XB})]의 최솟값과 같다. 즉, 해당 식이 최소가 되는 경우는 점 [math(\rm X)]가 [math(\overline{\rm AB})] 위에 놓일 경우이다. 따라서 해당 식은 [math(x=3)]일 때 최솟값을 가지며, 최솟값은 [math(\overline{\rm AB}=\sqrt{(4-1)^2+\{1-(-2)\}^2}=3\sqrt2)]이다.
예제2 다음 연립방정식을 만족시키는 양수 [math(x,\,y,\,z)]에 대하여 [math(2xy + \sqrt3yz + zx)]의 값을 구하시오.
[math(\begin{cases} x^2 + y^2 = 3^2 \\ y^2 + yz + z^2 = 4^2 \\ z^2 + \sqrt3zx +x^2 = 5^2 \end{cases})]
【 풀이 】
식을 차례대로 변형하면
[math(\begin{cases} x^2 + y^2 - 2{\cdot}xy{\cdot}\cos\dfrac\pi2 = 3^2 \\ y^2 + z^2 - 2{\cdot}yz{\cdot}\cos\dfrac23\pi = 4^2 \\ z^2 + x^2 - 2{\cdot} zx{\cdot}\cos \dfrac56\pi = 5^2\end{cases})]
이런식으로 변형이 가능한데, 이식은 제2 코사인 법칙을 이용해 도형으로 변환할 수 있다.

파일:geogebra-export-4.png
위 그림에서 [math(\overline{\rm AE}=i)], [math(\overline{\rm BE}=j)], [math(\overline{\rm CE}=k)]라고 할 때
[math(\begin{cases}i=x \\ j=y \\ k=z\end{cases})]
이다.
이제 [math(2xy + \sqrt3yz + zx)]의 값을 구해야 하는데 준 식은 각 삼각형의 넓이의 합 [math(\Delta)]로 구할 수 있다.

[math(\begin{aligned}\Delta &= 6 = \dfrac12{\cdot}3{\cdot}4 \\ &= \dfrac12xy\sin\dfrac\pi2 + \dfrac12yz\sin\dfrac23\pi + \dfrac12zx\sin\dfrac56\pi \\ &= \dfrac12xy+\dfrac{\sqrt3}4yz+\dfrac14zx \\ &=\dfrac14(2xy + \sqrt3yz + zx)\end{aligned})]
따라서 [math(2xy + \sqrt3yz + zx=24)]라는 것을 알 수 있다.

※ 이 문제는 인도의 Chennai Mathematical Institute 학부과정 2019년 입학 시험 문제였다. 출처


[1] 이런 좌표는 또 n차원 좌표계에 표현할 수 있다. 그리고 좌표를 이용하여 표현한다는 것은 곧 대수적인 방법으로도 기하학적 구성을 표현할 수 있다는 말이 된다. [2] 사실은 중3 2학기 피타고라스 정리와 삼각비 단원에서 약간 배운다. [3] 가장 유명한 좌표계의 예를 들자면, 2차원에는 극좌표계, 3차원에는 원통 좌표계, 구면 좌표계가 있다. [4] 단순히 좌표 성분의 변화뿐만이 아닌, 기저 벡터의 변화까지 고려해야 한다. 예를 들어, 사람의 키를 pres라는 단위로 재고, 1pres를 해당 시점의 대통령의 키로 정의한다고 해보자. 어떤 사람의 키가 150cm에서 300cm로 커졌을 때, 대통령의 키가 100cm에서 150cm가 되었다면, 그 사람의 키는 1.5pres에서 2.0pres로 증가한다. 그 사람의 실제 키는 2배가 되었지만, 키를 재는 단위인 pres가 100cm에서 150cm로 바뀌면서, 키의 수치만 보면 1.5에서 2.0으로 약 1.33배가 되었다. [5] 각 시점에서 기저 벡터의 방향을 확인해야 한다. 비유클리드 좌표계에서는 같은 벡터라도, 벡터의 출발점이 달라지면 표현 방식이 달라진다. 예를 들어, 같은 고기 1인분이더라도, 고기집마다 1인분에 해당되는 무게가 다르다. 그러므로 서로 다른 가게에서 고기를 1인분씩 산다면, 각각의 가게에서 1인분이 몇 그램인지 고려해서 계산해야 고기의 총 무게를 알 수 있다. [6] 이를 유클리드 노름이라고 한다. [7] 위의 코사인 법칙, 사인 법칙도 포함한다.