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1. 정의
에어리 함수(Airy function)는 다음 에어리 미분방정식을 만족하는 두 선형독립인 해 [math(\mathrm{Ai}(x))]와 [math(\mathrm{Bi}(x))]를 나타낸다. 영국의 천문학자 조지 에어리가 도입하였다.[math(\begin{aligned}
\dfrac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2} -xy = 0
\end{aligned} )]
에어리 함수는 다음과 같이 적분꼴로 나타낼 수 있다. [math(\exp{x} = e^{x})]이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{Ai}(x) &= \frac1{\pi} \int_0^{\infty} \cos \biggl( \frac{t^3}3 +tx \biggr) {\rm d}t \\
\mathrm{Bi}(x) &= \frac1{\pi} \int_0^{\infty} \biggl( \exp \biggl( -\frac{t^3}{3} +tx \biggr) + \sin \biggl( \frac{t^3}3 +tx \biggr) \!\biggr) {\rm d}t \end{aligned} )]
다음은 에어리 함수의 그래프를 나타낸 것이다.
2. 특징
에어리 함수는 아래와 같은 특징이 있다.- [math(\mathbf{Ai}\boldsymbol{(x)})]
- 이 함수의 경우 0이 아닌 함숫값[1]이 대부분 [math(x<0)] 영역에 쏠려 있다는 특징이 있다.
- [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Ai}(x)=0)]이다.
- [math(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \mathrm{Ai}(x)=0)]이다.
- [math(\mathbf{Bi}\boldsymbol{(x)})]
- [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Bi}(x)=\infty)]이다.
- [math(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \mathrm{Bi}(x)=0)]이다.
- 위 그래프에서 볼 수 있듯, 두 함수 모두 [math(x<0)] 영역에서는 진동하는 경향이 있다.
3. 적분
에어리 함수와 관련된 다음의 흥미로운 정적분 식이 있다.|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^\infty \frac{{\rm d}x}{\operatorname{Ai}^2(x) + \operatorname{Bi}^2(x)} = \frac{\pi^2}6 \end{aligned} )] |
4. 함숫값
- [math(\operatorname{Ai}(0) = \dfrac1{2\sqrt[6]3\pi} \,\Gamma\biggl(\dfrac13\biggr))]
- [math(\operatorname{Bi}(0) = \dfrac{\sqrt[3]3}{2\pi} \,\Gamma\biggl(\dfrac13\biggr))]
- [math(\operatorname{Ai}'(0) = -\dfrac{\sqrt[6]3}{2\pi} \,\Gamma\biggl(\dfrac23\biggr))]
- [math(\operatorname{Bi}'(0) = \dfrac{\sqrt[3]9}{2\pi} \,\Gamma\biggl(\dfrac23\biggr))]
5. 기타
이 함수는 양자역학에서 WKB 근사법을 다룰 때 등장한다.
[1]
사실 [math(x >0)] 영역에서도 0에 매우 근접할 뿐이지 0은 아니다.