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[math(\displaystyle \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}-xy=0 )]
위 미분방정식의 해 [math(y)]는 두 선형독립의 해 [math(\mathrm{Ai}(x))], [math(\mathrm{Bi}(x))]의 선형 결합으로 쓸 수 있는데, 이때 두 선형독립의 해를 에어리 함수(Airy function)라 하며 아래와 같이 나타낼 수 있다. [math(\exp{x} = e^{x})]이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{Ai}(x) &= \frac1{\pi} \int_0^{\infty} \cos \biggl( \frac{t^3}3 +tx \biggr) {\rm d}t \\
\mathrm{Bi}(x) &= \frac1{\pi} \int_0^{\infty} \biggl( \exp \biggl( -\frac{t^3}{3} +tx \biggr) + \sin \biggl( \frac{t^3}3 +tx \biggr) \!\biggr) {\rm d}t \end{aligned} )]
다음은 에어리 함수의 그래프를 나타낸 것이다.
에어리 함수는 아래와 같은 특징이 있다.
- [math(\mathbf{Ai}\boldsymbol{(x)})]
- 이 함수의 경우 0이 아닌 함숫값[1]이 대부분 [math(x<0)] 영역에 쏠려 있다는 특징이 있다.
- [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Ai}(x)=0)]이다.
- [math(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \mathrm{Ai}(x)=0)]이다.
- [math(y)]절편은 [math(\displaystyle \frac1{2\sqrt[6]3\pi} \,\Gamma\biggl(\frac13\biggr))]이다.[A]
- [math(\mathbf{Bi}\boldsymbol{(x)})]
- [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Bi}(x)=\infty)]이다.
- [math(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \mathrm{Bi}(x)=0)]이다.
- [math(y)]절편은 [math(\displaystyle \frac{\sqrt[3]3}{2\pi} \,\Gamma\biggl(\frac13\biggr))]이다.[A]
- 두 함수 모두 [math(x<0)] 영역에서는 진동하는 경향이 있다.
이 함수는 양자역학에서 WKB 근사법을 다룰 때 등장한다.