|
[[대수학|대수학 Algebra ]]
|
||||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
이론 | |||
| 기본 대상 | 연산 · 항등식( 가비의 이 · 곱셈 공식( 통분 · 약분) · 인수분해) · 부등식( 절대부등식) · 방정식( /풀이 · 근( 무연근 · 허근 · 비에트의 정리( 근과 계수의 관계) · 제곱근( 이중근호 · 개방법) · 환원 불능) · 부정 · 불능) · 비례식 · 다항식 · 산술( 시계 산술) | |||
| 수 체계 | 자연수( 소수) · 정수( 음수) · 유리수 · 실수( 무리수( 대수적 무리수 · 초월수) · 초실수) · 복소수( 허수) · 사원수 · 팔원수 · 대수적 수 · 벡터 공간 | |||
| 다루는 대상과 주요 토픽 | ||||
| 대수적 구조 | ||||
| 군(group) | 대칭군 · 기본군 · 자유군 · 리 군 · 괴물군 · 점군 · 순환군 · 군의 작용 · 동형 정리 · 실로우 정리 | |||
| 환(ring) | 아이디얼 | |||
| 체(field) | 갈루아 이론 · 분해체 | |||
| 대수 | 가환대수 · 리 대수 · 불 대수( 크로네커 델타) | |||
| 마그마· 반군· 모노이드 | 자유 모노이드 · 가환 모노이드 | |||
| 선형대수학 | 벡터 · 행렬 · 텐서( 텐서곱) · 벡터 공간( 선형사상) · 가군(module) · 내적 공간( 그람-슈미트 과정 · 수반 연산자) | |||
| 정리·추측 | ||||
| 대수학의 기본정리 · 나머지 정리 · 유클리드 호제법 · 부분분수분해 · PID 위의 유한생성 가군의 기본정리 · 산술·기하 평균 부등식 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 호지 추측미해결 · 가환대수에서의 호몰로지 추측미해결 | ||||
| 관련 하위 분야 | ||||
| 범주론 | 함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 · 토포스 이론 · 타입 이론 | |||
| 대수 위상수학 | 연속변형성 · 사슬 복합체 · 호몰로지 대수학( 호몰로지 · 코호몰로지) · mapping class group · 닐센-서스턴 분류 | |||
| 대수기하학 | 대수다양체 · 층 · 스킴 · 에탈 코호몰로지 · 모티브 | |||
| 대수적 정수론 | 타원곡선 · 디오판토스 방정식 · 유리근 정리 · 모듈러성 정리 | |||
| 가환대수학 | 스펙트럼 정리 | |||
| 표현론 | 실베스터 행렬 | |||
| 기타 및 관련 문서 | ||||
| 수학 관련 정보 · 추상화 · 1학년의 꿈 · 노름 · 혼합계산 · 분배법칙 · 교환법칙 · 결합법칙 · 교재 | }}}}}}}}} | |||
1. 개요
Monoid대수학에서 다루는 대수적 구조의 일종으로, 군이나 환보다 약한 조건으로 정의된다.
2. 정의
[math(M)]과 그 위의 이항연산[math(*)][1]에 대해, [math((M,\,*,\,e))]가 모노이드(monoid)라 함은 다음을 만족하는 것이다.(결합법칙; associativity) 임의의 [math(a,\,b,\,c\,\in M)]에 대해, [math(a*(b*c)=(a*b)*c)]
(항등원의 존재; identity) 적절한 [math(e\in M)]이 존재하여[2], 임의의 [math(a)]에 대해, [math(a*e=a=e*a)]
이는, 군에서 역원의 존재성이 빠진 것이다. 즉, 모든 군은 모노이드이다. 군이 아닌 모노이드들 중 가장 대표적인 것이, 덧셈에 대해([math(0)]을 포함하는) [math(\mathbb{N})]이다.[3] 곱셈에 대해서 [math(\mathbb{Z})]도 군이 아닌 모노이드이다.
3. 자유 모노이드(free monoid)
자유 모노이드는 집합 [math(X)]위에서 정의된다.집합 [math(X)]에 대한 자유 모노이드 [math(F(X))][4]는 [math(X)]의 원소들로 이루어진 단어[5]들로 구성되며, 연산은 붙여쓰기(juxtaposition)이다. 그리고 항등원은 빈 문자열 [math(e=[])]이다. 예를 들어, [math(X=\{a,\,b\})]에 대해, 다음이 성립한다.[math([],\,[a],\,[b],\,[babaa]\in F(X) \\ [{\color{red}ababa}]*[{\color{blue}abaaaaaaa}]=[{\color{red}ababa}{\color{blue}abaaaaaaa}])]
[math(|X|>1)]이면 [math(F(X))]는 비가환이고, [math(|X|=1)]이면 [math(F(X)=N)], [math(|X|=0)]이면 [math(F(X)=\{[]\})]이다.
4. 가환 모노이드의 그로텐디크 확장(Grothendieck extension)
모노이드 [math(M)]에 대해, [math(M^2)]위의 동치류 [math(\equiv)]를 다음과 같이 정의한다.그리고 이에 의한 [math((a,\,b))]의 동치류를 [math([a,\,b]\in M^2/\equiv)]라 하자. 이 위의 연산 [math(\cdot)] 을 [math([a,\,b]\cdot[x,\,y]=[ax,\,by])]라 주면, 이는 결합적이고[math([e,\,e])]이 항등원이며, [math([a,\,b])]의 역원은 [math([b,\,a])]이다. 즉, [math({\left(M^2/\equiv,\,\cdot\,\right)})]은 군이다.
[1]
[math(*)]는 곱셈을 의미하는 것이 아니다.
[2]
여기서 [math(e)]를 항등원이라 한다.
자연로그의 밑이 아니다.
[3]
[math(0)]을 포함하지 않는 경우 곱셈에 대한 모노이드가 된다.
[4]
이 표현은 군, 가군 등 모든 free object를 표현하는 데에 쓰인다.
[5]
단어를 다음과 같이 묶어서 표시한다. [math([{\cdot}])]
[6]
이것이 동치관계인 것을 보이는 것은 아주 쉽다. [math(m)]의 존재성은 추이성을 보일 때 쓰인다.