Polynomial Remainder Theorem
1. 개요
고등수학(상)에서 항등식의 개념 뒤에 나오는 내용. 한국의 수학 교육과정에서는 다루지 않고 당연하게 받아들이는 나눗셈 정리가 기본 바탕으로 깔려있는 정리이다. 나눗셈 정리를 간단하게 설명하자면, 자연수 [math(b)]를 [math(a)]로 나누었을 때 ([math(b\geq a)]), [math(b=aq+r)]([math(0\leq r<a)])를 만족하는 정수 [math(q,r)]이 유일하게 존재한다는 내용. 이 나눗셈 정리는 다항식에 대해 확장 할 수 있으며, 다항식 버전의 정리는 아래와 같다.정식 [math(B(x))]를 정식 [math(A(x))]로 나누었을 때 [1], [math(B(x)=A(x)Q(x)+R(x),\,(0\leq\deg R(x)<\deg A(x)))]를 만족시키는 정식 [math(Q(x),R(x))]가 유일하게 존재한다. 이때, [math(Q(x))]를 몫, [math(R(x))]를 나머지라고 한다.
나머지 정리는 위 나눗셈 정리의 특별한 경우에 대한 따름정리이다.2. 증명
존재성과 유일성 각각에 대해 다음과 같이 증명한다.2.1. 존재성
1을 갖는 환 [math(R)]에서 정의된 다항식환상의 다항식 [math(f(x), g(x)\in R\left[x\right])]을 고려하자.먼저 [math(\deg f(x)<\deg g(x))]라면 생각할 필요도 없이 [math(Q(x)=0, R(x)=f(x))]로 두면 된다.
즉 [math(f(x)=Q(x)g(x)+R(x)=0\times g(x)+f(x)=f(x))]
그러므로 [math(\deg f(x)\geq\deg g(x))]에서 존재함을 보이면 된다.
[math(\deg f(x)=0)]인 경우는 [math(\deg f(x)=0\geq\deg g(x))]여야 하므로 [math(\deg g(x))]는 0이거나 [math(-\infty)]. 즉 상수 다항식이거나 영다항식이어야 한다.
※여기서는 [math(\deg 0=-\infty)]로 두는 관습을 따랐다.
그런데, [math(\deg g(x)>\deg R(x))]여야 하므로 [math(\deg g(x)=-\infty)]라면 모순이 생긴다.[2] 그러므로 [math(\deg g(x)=0)]이므로 [math(g(x))]는 상수 다항식이 된다.
그러면 [math(f(x)=a_0, g(x)=b_0(\neq 0))]이므로 [math(f(x)=a_0=a_0b_0b_0^{-1}=a_0b_0^{-1}b_0=a_0b_0^{-1}g(x)+0)]이므로, [math(R(x)=a_0b_0^{-1}, Q(x)=0)]으로 두면 존재함을 보일 수 있다.
이제 [math(\deg f(x)=n)]일 때, [math(n-1)]차 다항식까지 존재성이 참이라 가정하자.
[math(\deg f(x)=n, \deg g(x)=m)]이라 하면 [math(\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i, g(x)=\sum_{j=0}^{m}b_jx^j)]로 쓸 수 있다.
따라서 [math(\displaystyle a_nb_m^{-1}x^{n-m}=q(x))]라고 두고 [math(F(x)=f(x)-q(x)g(x))]라고 정의하자.
이는 [math(f(x))]의 최고차항이 소거된 새로운 다항식이므로 [math(\deg F(x)<\deg f(x))]임은 자명하다.
그런데 가정에서 [math({\color{Red}\deg f(x)=n})]일 때, [math(\color{Red}n-1)]차 다항식까지 존재성이 참이라고 하였다.
따라서 [math(\mathcal{Q}(x), \mathcal{R}(x))]가 존재하여 [math(F(x)=\mathcal{Q}(x)g(x)+\mathcal{R}(x))]가 되는데, [math(F(x)=f(x)-q(x)g(x))]이므로 이를 대입하여 정리하면
[math(f(x)=F(x)+q(x)g(x)=\mathcal{Q}(x)g(x)+\mathcal{R}(x)+q(x)g(x)=\{\mathcal{Q}(x)+q(x)\}g(x)+\mathcal{R}(x))]가 되고,
[math(Q(x):=\mathcal{Q}(x)+q(x), R(x):=\mathcal{R}(x))]라고 정의하면 [math(\deg f(x)=n)]에서도 성립하므로, 강한 수학적 귀납법에 따라 모든 자연수차수 다항식에서 성립함을 보일 수 있다.
3. 나머지 정리
[math(x)]에 대한 다항식 [math(f(x))]를 일차식 [math(x-a)]로 나누었을 때의 나머지는 [math(f(a))]이다.
위 정리는 일반적인 일차식 [math(ax+b)]에 대해 일반화가 가능하며, 그 내용은 아래와 같다.[math(x)]에 대한 다항식 [math(f(x))]를 일차식 [math(ax+b)]로 나누었을 때의 나머지는 [math(f\biggl(-\dfrac{b}{a}\biggr))]이다.
4. 활용
나머지 정리는 고차식의 인수분해를 하는 데 쓸 수 있다. 만약 어떤 수 [math(a)]를 대입했는데 값이 0이라면 원 다항식 [math(f\left(x\right))]는 [math(x-a)]를 인수로 가지는데, 이를 인수정리(factor theorem) 이라고 부른다. 이 과정을 빠르게 할 수 있는 것이 바로 조립제법이며, 조립제법에 대한 더 자세한 내용은 항목 참조.5. 관련 항목
[1]
단, [math(\deg B(x)\geq\deg A(x))]이다. 참고로 deg는 방정식 최고차항 차수를 뜻한다.
[2]
사실 여기까지 갈 것도 없이, 제수에 해당하는 [math(g(x))]가 영다항식일 수 없다는 것으로도 보일 수 있다.