최근 수정 시각 : 2022-05-12 15:16:18

시계 산술


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1. 개요2. 상세3. 기타

1. 개요

clock arithmetic · ,

정수[1]의 집합이 유한하다고 간주하는 산술. ' 시계 대수학'이라고도 한다. 대개 '[math(n)]시(時) 산술', '[math(n)]시 대수학', '[math(n)]진 정수' 등으로 불린다. 기호로는 [math(({\mathbb Z}_{n},\,+,\,\cdot))]으로 표기한다.

예를 들어 시계에서 12시에서 1시간이 경과하면 13시가 아니라 1시가 된다. 이를 수식으로 표현하면 [math(12 + 1 = 1)]이 되는데 좀더 수학적으로 표현하면 mod 연산을 써서 [math(12 + 1\equiv 1\left(\text{mod}\,12\right))]로 표기할 수 있다. 다만, 실제로 수학에서 다룰 경우는 1 ~ n 까지가 아니라 0 ~ n-1 까지를 범위로 한다. 덧셈의 항등원인 0이 있는 게 여러모로 편하기 때문.

2. 상세

예를 들어 '5시 대수학'에서는 정수가 0, 1, 2, 3, 4밖에 없고, 이 다섯 개의 수가 반복된다. 즉 4 다음에는 0이 오는 식. 따라서 이런 체계에서는
[math(k)]는 [math(0)] 이상의 정수
[math(5k)] [math(5k+1)] [math(5k+2)] [math(5k+3)] [math(5k+4)]
5시 대수학 [math(0)] [math(1)] [math(2)] [math(3)] [math(4)]

따라서, 5시 대수학에서는 2+4=1, 4×4=1 이런 식으로 된다.
이는 나머지와도 연관이 있다. 한마디로 어떤 수를 5로 나누었을 때 나머지가 다름 아닌 '5시 대수학'에서의 값이 된다.

시계 산술이 적용되는 정수 유한체라고 한다. 위의 5시 대수학에서는 [math((a+b)^5 = a^5+b^5)]이 성립하는 말도 안되는 결과를 낼 수 있다.[2] 나눗셈 또한 이질적인데 확장된 유클리드 호제법을 이용한다.

합동식, 순환군과도 관련이 있다.

3. 기타

일반각도 같은 맥락이라고 볼 수 있다. 한 바퀴를 돌 때마다 각이 반복되기 때문.[3]

컴퓨터에서는 오버플로를 통해 자주 접할 수 있다. 가령 32비트 정수형인 경우 [math(2^{31} - 1)] 다음의 수가 [math(-2^{31})]이 나오는 식.[4]
[1] 다른 수 체계를 이용해서도 만들 수 있으나, 시계 산술이 수학적으로 가치 있는 것은 정수이므로 보통 정수로 생각한다. [2] [math(p in {mathbb P})]인 [math(p)]시 대수학에서 모두 성립하는 성질이다. 저 [math(p)]를 해당 체의 표수(characteristic)라고 한다. [3] 사실 이 설명은 앞뒤가 바뀌었다고 볼 수 있는데, 일반각의 [math({rm mod},2pi)]를 지구의 자전주기의 절반에 대응시켜 만든 것이 시계이기 때문이다. [4] unsigned는 [math(2^{32} - 1)] 다음이 [math(0)]