1. 개요
함수해석학에서 폰 노이만 대수(von Neumann algebras)란 항등 작용소(identity operator)를 포함하고 약한 작용소 위상(weak operator topology)에 닫혀 있는(closed), 힐베르트 공간의 유계작용소(bunded operator)들의 *- 대수(*-algebra)이다. 이는 C*-대수의 특별한 케이스로 볼 수 있다.이 폰 노이만 대수의 특별한 점은 대수 구조가 일반적으로 비가환이라는 것이다. (즉, 곱의 연산에서 교환법칙이 성립하지 않는다.)
폰 노이만 대수는 1930년대에 폰 노이만과 프렌시스 조지프 머리가 쓴 논문 "On ring of Operators"가 그 시초로 여겨지는 분야인 작용소 대수(operator algebras)에서 다뤄지는 중요한 주제로 필즈상 수상자인 알랭 콘, 존스가 이 분야의 전공자들이다. 특히, 알랭 콘은 작용소 대수의 더 심화된 주제인 비가환 기하학(Noncommutative Geometry)의 창시자 중 한 명으로 알려져 있다.
작용소 대수는 대수적 접근과 해석적 접근을 같이 한다. 그러므로 증명들을 이해하려면 측도론, 복소 해석학, 함수해석학, 위상수학,대수학의 지식이 필요하다.
입문서적이라 볼만한 책으론 Bruce Blackadar의 "Operator Algebras - theory of C* - algebras and von Neumann algebras -" 와 쇼이치로 사카이의 "C* - algebras and W* - algebras", 혹은 John Ringrose와 Richard Kadison의 "Fundamentals of Operator algebras"가 있다. 그리고 마사미치 타케사키의 "Operator Algebras" 시리즈 3권이 있는데 이건 꽤 심화서적으로 취급된다. 덧붙이자면 입문이라고 해서 학부과정의 집합론, 실해석학 같이 취급하면 안 된다. 저 책들의 내용을 자연스럽게 받아들이려면 적어도 콘웨이의 함수해석학 책 정도는 공부해야 한다 (실제로 책 한권만으로는 어렵다. 입문서라 불리는 것들을 볼 때도 다른 서적, 논문, 혹은 인터넷을 찾아가면서 공부하길 바란다)
후술한 내용들은 수학적 증명보다 흐름에 따라 내용을 전개하겠다. 자세한 증명이 궁금하면 서적을 찾아보거나 인터넷을 활용하길 바란다.
2. C*-대수(C*-algebra)
C*-대수에서 C는 closed를 의미한다. 따라서 C*-대수란 [math(B(H))]위의 닫힌 *-부분대수라는 뜻이다. 추상적인 뜻은,복소수 바나흐 대수 [math(A)]가 다음을 만족하는 involution이라 부르는 사상 [math(x)] → [math(x)]* 가 존재해서
1. ([math(x)]*)* [math(=)][math(x)]
2. ([math(x+y)])* [math(=)] [math(x)]*[math(+)][math(y)]*
3. ([math(ax)])* [math(=)] [math(\bar{a})][math(x)]*
4. ([math(xy)])* [math(=)] [math(y)]*[math(x)]*
5. [math(\parallel)][math(x)]*[math(\parallel)][math(=)][math(\parallel x \parallel)]
를 만족하고 추가적으로 C* 공리(C*-axiom)라고 불리는,
[math(\parallel)][math(x)]*[math(x)][math(\parallel)][math(=)][math(\parallel)][math(x)]* [math(\parallel)] [math(\parallel x \parallel)]
를 만족할 때 복소수 바나흐 대수 [math(A)]를 C*-대수(C*-algebra)라 부른다.
이 C* 대수의 대표적인 예가 바로 힐베르트 공간 [math(H)]의 유계작용소들(bounded operator)의 집합인 [math(B(H))]이다. 이때 involution은 adjoint로 정의해주면 된다. 그러므로 유계작용소들의 공간의 일반화가 C*-대수이다.
만일 C*대수가 곱셈 항등원인 1(표기는 이렇게하자)을 가지고 있으면 이 항등원의 노름값이 1(실수)이 되는 노름을 정의할 수 있는데, 이때 정의 된 새로운 노름은 기존의 노름과 동치이고 여전히 공간을 바나흐 공간으로 만드는 성질을 가지고 있다.
항등원을 가진 바나흐 대수를 unital하다고 말하는데, 모든 involutive한 바나흐 대수는 다음과 같은 방식으로 unital한 involutive 바나흐 대수를 구성할 수 있다.
A를 unital하지 않은 involutive 바나흐 대수라 하자. 이때 ,
[math(A)][math(\bigoplus)][math(\mathbb{C})]를 취하자. 그리고 몇가지 구조를 다음과 같이 정의한다.
1. [math((x,v)(y,u)=(xy+ux+vu,vu))]
2. [math((x,v))]*[math(=)]([math(x)]*,[math(\bar{v}))]
3. [math(\parallel)][math((x,v))][math(\parallel)][math(=)][math(\parallel)][math(x)][math(\parallel)][math(+)][math(\left\vert v \right\vert)]
그러면 사상 [math(x)] → [math((x,0))] 는 isometric isomorphism이고 [math((0,1))]은 [math(A)][math(\bigoplus)][math(\mathbb{C})]의 항등원이 될 뿐만 아니라 [math(A)]은 [math(A)][math(\bigoplus)][math(\mathbb{C})]의 아이디얼이 된다.
하지만 [math(A)]이 C* 대수임에도 [math(A)][math(\bigoplus)][math(\mathbb{C})]은 일반적으로 C*대수가 되지 않는데, 증명에 의하면 [math(A)]가 unital 하지 않은 C* 대수는 [math(A)][math(\bigoplus)][math(\mathbb{C})]을 C* 대수로 만들어 줄 수 있는 노름이 존재한다.
따라서 모든 unital하지 않은 C*대수는 위의 과정에 의해 unital한 C* 대수로 생각해도 무리가 없다. 앞으로 바나흐 대수 [math(A)]의 unitization을 [math(\tilde{A})]라 표기하자.
그렇다면 우리들은 이렇게 추상화시킨 대상으로부터 더 많은 뭔가를 할 수 있을까? 하는 질문이 떠오른다. 왜냐하면 C*-대수는 [math(B(H))]위의 대수를 추상화시킨 거고 실제로 여기에서 소개하지 않았지만 [math(B(H))]위에선 더 많은 뭔가를 할 수 있기 때문이다.
그것을 하기위해 일단 스펙트럼을 정의하기로 하자.
바나흐 대수의 어떤 원소 [math(x)]의 스펙트럼은 작용소의 스펙트럼과 같은 방식으로 정의된다.
[math(\sigma(x))]=[math( \left\{\omega\in \mathbb{C} | x - \omega1\mathrm{\ is \ not \ invertible.}\right\})]
이 스펙트럼은 컴팩트 공간임을 보일 수 있는데, 따라서 유계이고 닫힌집합이 된다(실제로 비어있지도 않다!).
스펙트럼 반지름(spectral radius)은 다음과 같이 정의한다.
[math(\parallel x \parallel _{sp})][math(=)][math(\sup)][math(\left\{ \left\vert u \right\vert | u \in \sigma(x) \right\})]
복소해석학과 함수해석학의 이론을 사용하면 바나흐 대수 [math(A)]와 [math(x,y \in A)]에 대해,
1. [math(\parallel x \parallel _{sp} = \lim_{n \to \infty} \parallel x ^{n} \parallel ^{1/n} = \inf\parallel x ^{n} \parallel ^{1/n})]
2. [math(f)]가 복소수 계수 다항식일때, [math(\sigma_{\tilde{A}}(f(x)) = f(\sigma_{A}(x)))]
3. [math(\sigma_{A}(xy)\cup\left\{0\right\} = \sigma_{A}(yx)\cup\left\{0\right\})]
4. [math(B)]가 [math(A)]의 바나흐 부분대수이고 [math(x\in B)]이면 [math(\sigma_{A}(x)\cup\left\{0\right\} \subseteq \sigma_{B}(y)\cup\left\{0\right\})]이다. 그리고 [math(\partial(\sigma_{B}(x))\cup\left\{0\right\} \subseteq \partial(\sigma_{A}(y))\cup\left\{0\right\})]이다. 여기서 [math(\partial)]은 [math(\mathbb{C})]에서 topological boundary이다.
3. 작용소 위상(operator topology)
[math(B(H))]위의 다음과 같이 정의된 함수[math(g_{\xi} : B(H) \longrightarrow H)]를 생각하자.([math(\xi \in H)])
[math(g_{\xi}(T)=T\xi)] , [math( T \in B(H))]
이때 모든 [math(\xi \in H)]대하여 함수 [math(g_{\xi}(T))]가 연속인, [math(B(H))]위의 coarsest한 위상을 줄 수 있는데, 이것을 강한 작용소 위상(strong operator topology, SOT)이라고 한다.그러므로 강한 작용소 위상에서 [math(T_{0} \in B(H))]를 포함한 기본 열린집합은 다음과 같은 형식이다.
[math(U_{\xi_{1},...,\xi_{m};\epsilon_{1},...,\epsilon_{m}})][math(=)]{ [math(T \in B(H) \mid \lVert T\xi_{k} - T_{0}\xi_{k} \rVert<\epsilon_{k})] for all [math( k= 1,...,m)] }
특히 { [math(T_{k})] }가 모든 [math(\xi \in H)]에 대하여 [math( T \in B(H))]가 존재해서 [math(\lim_{k}\lVert T_{k} \xi - T\xi \rVert=0)]일때 [math(T)] 는 강한 작용소 위상에서 { [math(T_{k})] }의 극한이라고 한다.(여기서 "[math(T)]가 { [math(T_{k})] }의 극한"이라는 의미는 모든 SOT - 열린집합에 대해 자연수 [math(n_{0})]가 존재하여 [math(k \ge n_{0})]인 모든 [math(k)]에 대해 [math(T_{k} \in U)]가 성립함을 의미한다.)
이제 약한 작용소 위상(weak operator Ttopology)을 정의하자.
[math(B(H))]위의 다음과 같이 정의된 함수[math(f_{\xi, \eta} : B(H) \longrightarrow \mathbb{C})]를 생각하자.([math(\xi, \eta \in H)])
[math(f_{\xi, \eta}(T)=\left\langle T\xi,\eta \right\rangle)] , [math( T \in B(H))]
이때 모든 [math(\xi,\eta \in H×H)]대하여 함수 [math(f_{\xi, \eta}(T))]가 연속인, [math(B(H))]위의 coarsest한 위상을 약한 작용소 위상이라고 한다.4. 폰 노이만 대수(von Neumann algebra)
작용소의 *-대수(*-algebra)란, 덧셈, 곱셈, 스칼라 곱 adjoint 연산에 닫혀 있는 [math(A \subseteq B(H))]이다.만약 *-대수 [math(A)]가 [math(B(H))]의 강한 작용소 위상에 닫혀있으면 [math(A)]를 폰 노이만 대수라고 부른다.
[math(\mathfrak{C} \subseteq B(H))]가 비지 않았다고 하자. 그때,
[math(\mathfrak{C'}=)]{[math(y \in B(H) \mid sy=ys)] for all [math(y \in B(H))]}
이것을 commutant라 부른다. 이 집합은 모든 [math(s \in \mathfrak{C})]에 대하여 [math(s)]*[math(\in \mathfrak{C})]라면, [math(\mathfrak{C'})]이 [math(B(H))]의 약한 작용소 위상에 닫힌 unital C*-대수임을 보일 수 있다.
다음은 폰 노이만 대수이론의 핵심이 되는 정리를 소개한다.
여기서 증명은 생략하겠다.
Theorem. (double commutant theorem)
[math(\mathfrak{C} \subseteq B(H))]이 unital한 C*-대수라 하자. 그러면 다음은 서로 동치이다.
1. [math(M''=M)]
2. [math(M)]은 폰 노이만 대수이다.
[math(\mathfrak{C} \subseteq B(H))]이 unital한 C*-대수라 하자. 그러면 다음은 서로 동치이다.
1. [math(M''=M)]
2. [math(M)]은 폰 노이만 대수이다.
만약 [math(\sigma)] - strongly* closed인 경우는 다음과 같다.
Theorem. (double commutant theorem)
[math(M)]이 힐베르트 공간 [math(H)]의 작용소들의 *-대수라 하자. 만약 [math(M)]이 [math(\sigma)] - strongly* closed인 경우,
(1). [math(M)]의 가장 큰 사영 [math(e)]가 존재하고,
이는 [math(H)]에서 [ [math(MH)] ]로의 전사인 사영이다. 또
모든 [math(x \in M)]에 관해 다음이 성립한다.
"[math(x=xe=ex)]"
(2). [math(M)]의 double commutant인 [math(M'')]는
[math(x+ \alpha 1)]의 형태인 모든 작용소들의 집합이다.
( [math(x \in M, \alpha \in \mathbb{C} )] ) 따라서
만약 [math(M)]이 nondegenerate하면 [math(M)]은
폰 노이만 대수이다. 즉,
"[math(M''=M)]"
[math(M)]이 힐베르트 공간 [math(H)]의 작용소들의 *-대수라 하자. 만약 [math(M)]이 [math(\sigma)] - strongly* closed인 경우,
(1). [math(M)]의 가장 큰 사영 [math(e)]가 존재하고,
이는 [math(H)]에서 [ [math(MH)] ]로의 전사인 사영이다. 또
모든 [math(x \in M)]에 관해 다음이 성립한다.
"[math(x=xe=ex)]"
(2). [math(M)]의 double commutant인 [math(M'')]는
[math(x+ \alpha 1)]의 형태인 모든 작용소들의 집합이다.
( [math(x \in M, \alpha \in \mathbb{C} )] ) 따라서
만약 [math(M)]이 nondegenerate하면 [math(M)]은
폰 노이만 대수이다. 즉,
"[math(M''=M)]"