최근 수정 시각 : 2022-06-10 04:00:10

치환적분

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1. 부정적분
1.1. 개요
1.1.1. 예제 1
1.1.1.1. 예제 1-1
1.1.2. 치환 적분을 두 번 이상하는 경우
1.1.2.1. 예제 2
1.1.3. 삼각 치환
1.1.3.1. ∫ √(a²-x²) dx 꼴
1.1.4. ∫ f(lnx)/x dx 꼴
1.1.4.1. 예제 4
1.1.5. 바이어슈트라스 치환적분
1.1.5.1. 증명1.1.5.2. 활용
2. 정적분
2.1. 개요
2.1.1. 예제 1

1. 부정적분

1.1. 개요

복잡한 합성함수를 적분할 때 사용되는 방법이다. 보통 합성함수를 적분할 때 먼저 치환적분을 해본 후 치환적분이 먹히지 않으면 부분적분법을 쓴다. 다만, 이 방법을 적용했을 때 초등함수로 결과가 나오지 않는 함수들이 있다. 단적인 예로 [math(\dfrac{\sin x}{x} )]라거나 [math(e^{-x^2} )]이라거나..[1] 만약 초등함수로 나타나지 않는다면 급수로 나타내서 적분하거나 수치해석을 이용할 수 있다.

[math(x=g(t) )] 이고 [math(g(t) )]가 미분 가능할 때, 치환적분법은 다음과 같다.

[math(\displaystyle \int f(x) \,\mathrm{d}x = \int f\{g(t)\} \,g'(t) \,\mathrm{d}t )][2]

대부분의 고등학생이라면 분명 기호에 불과하다고 배웠던 [math(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} )]를, 마치 분수처럼 계산해서 [math(\mathrm{d}x = g'(t) \,\mathrm{d}t)]와 같은 식으로 [math(\mathrm{d}x)]나 [math(\mathrm{d}y)]라는 단독표현을 써서 치환적분법을 배웠을 것이다. 이것은 사실 [math(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} )]가 단순한 기호가 아닌 미분형식이라는 엄연한 연산자[3]이기 때문이다. 그런데 이 미분형식은, 해당 문서를 들어가보면 알겠지만 여러 가지 미분 개념을 미리 마스터한 뒤에 배운다. 즉, 대학교를 가도 공업수학을 배우는 공대생이나, 수학과 신입생까지는 대게 고등학교와 마찬가지로 그냥 그런 게 있다 정도로만 알려준다. 이런 판국이니 고교 교육과정 입장에선 저 기호를 제대로 알려줄 수가 없는 것. 물론 지나치게 어려운 내용은 아니고 맘만 먹으면 고교 수준에서도 충분히 정의할 수 있는 개념이긴 하다. 여튼 교육 과정에는 벗어나는 방법이지만, 위 방법도 수학적으로는 문제가 없다.

추가로 치환적분법이 한 참고서[4]에 따르면 '[math(x=g(t) )]가 일대일 대응이어야 한다'라고 고교과정에서 배운다고 하는데, 이는 잘못된 내용이며 고등학교 교과서에서도 [math(x=g(t) )]라는 말 밖에 없다. Thomas 미적분학 교재에서도 [math(x=g(t) )]가 미분가능해야 한다고 설명하지, 절대로 일대일 대응 관련 이야기는 없다.
위와 같은 말이 나온 이유는, [math(x=g(t) )]가 일대일대응이 아닐경우, [math(x=g(t) )]의 증감에 따라 구간을 나눠야 하는 경우가 생기기 때문이다. 따라서 모든 경우를 생각하여 오류 없이 구간을 잘 나눈 경우에는 [math(x=g(t) )]의 일대일대응 여부는 치환적분과 상관이 없다...고는 하는데 사실 구간을 잘 나누었다는 얘기는 일대일 함수를 만들었다는 얘기이긴하다.

1.1.1. 예제 1

다음 부정적분을 구하시오.

[math(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm{d}x )]
  1. 일단 [math(t=f(x) )]로 둔다.
  2. 그러면 [math(f'(x)=\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} )]이다.
  3. 따라서 [math(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm{d}x = \int \frac1t \,\mathrm{d}t)]이다.
  4. 이것의 부정적분은 [math(\displaystyle \int \frac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}\,\mathrm{d}x=\ln\left| f\left( x \right) \right|+ \mathsf{const.})]이다. (단, const.\mathsf{const.}는 적분상수이다.)
  5. 위에서 [math(t=f(x) )]라 하였으므로, 그대로 대입하면 최종적으로 [math(\ln{|f(x)|}+C)]이 된다.

[math(\displaystyle \therefore \int \frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm{d}x = \ln{|f(x)|}+C )]

1.1.1.1. 예제 1-1
다음 부정적분을 구하시오.

[math(\displaystyle \int \tan x \,\mathrm{d}x )]

[풀이 1]

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \tan x \,\mathrm{d}x &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \,\mathrm{d}x \\
&= -\int \frac{(\cos x)'}{\cos x} \,\mathrm{d}x \\
&= -\ln{\left|\cos x\right|}+C
\end{aligned} )]

[풀이 2]

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \tan x \,\mathrm{d}x &= \int \frac{\sec x \tan x}{\sec x} \,\mathrm{d}x \\
&= \int \frac{(\sec x)'}{\sec x} \,\mathrm{d}x \\
&= \ln{\left|\sec x\right|}+C
\end{aligned} )]

이 때 [math(\displaystyle \ln{\left|\sec x\right|} = \ln{\left|\frac1{\cos x}\right|} = \ln{\left|\cos x\right|^{-1}} = -\ln{\left|\cos x\right|} )]이므로 두 결과는 일치한다.

1.1.2. 치환 적분을 두 번 이상하는 경우

1.1.2.1. 예제 2[5]
다음 부정적분을 구하시오.

[math(\displaystyle \int \sqrt{1+e^{ax+b}} \,\mathrm{d}x )]

[math(e^{ax+b}=t)]라고 두면 [math(\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = ae^{ax+b} = at)]이므로 [math(\mathrm{d}x= \dfrac{\mathrm{d}t}{at} )]로 바꾸어 대입하면

[math(\displaystyle \int \sqrt{1+e^{ax+b}} \,\mathrm{d}x = \frac1a \int \frac{\sqrt{1+t}}t \,\mathrm{d}t )]

[math(\displaystyle \sqrt{1+t}=k)]라고 두면, [math(t=k^2-1)]이고 [math(\mathrm{d}t = 2k\,\mathrm{d}k)]이므로 이를 대입하면

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \sqrt{1+e^{ax+b}} \,\mathrm{d}x &= \frac1a \int \frac{\sqrt{1+t}}t \,\mathrm{d}t \\
&= \frac1a \int \frac k{k^2-1} \cdot 2k \,\mathrm{d}k \\
&= \frac1a \int \frac{2k^2}{k^2-1} \,\mathrm{d}k \\
&= \frac1a \int \biggl( 2+\frac1{k-1}-\frac1{k+1} \biggr) \mathrm{d}k \\
&= \frac1a \biggl( 2k + \ln{\biggl| \frac{k-1}{k+1} \biggr|} \biggr) +C \\
&= \frac1a \biggl( 2\sqrt{1+t} - \ln{\biggl| \frac{\sqrt{1+t}-1}{\sqrt{1+t}+1} \biggr|} \biggr) +C \\
&= \frac1a \biggl( 2\sqrt{1+e^{ax+b}} - \ln{\biggl| \frac{\sqrt{1+e^{ax+b}}-1}{\sqrt{1+e^{ax+b}}+1} \biggr|} \biggr) +C
\end{aligned} )]
셋째줄에서 넷째줄로 넘어갈 때 부분분수분해법을 사용했다.

1.1.3. 삼각 치환

변수를 삼각함수로 치환하여 적분하는 방법이다.
대개 [math(\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x)]는 [math(x = a\sin t)]로, [math(\displaystyle \int \sqrt{a^2+x^2} \,\mathrm{d}x)]는 [math(x = a\tan t)]로 치환하여 적분한다.
[math(\displaystyle \int \sqrt{x^2-a^2} \,\mathrm{d}x)]는 [math(x>0)]일 땐 [math(x = a\sec t)]로, [math(x<0)]일 땐 [math(x = a\csc t)]로 치환하거나 아크시컨트, 아크코시컨트의 도함수를 이용하여 적분한다. 삼각치환을 할 때는 범위를 지정하는 것이 중요하다.
1.1.3.1. ∫ √(a²-x²) dx 꼴
다음 부정적분을 구하시오.
[math(\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x )]

일단 [math(\displaystyle x = a\sin t)]로 두고, [math(t)]의 범위는 [math(-\dfrac{\pi}2 \le t \le \dfrac{\pi}2)]로 둔다. 양 변을 [math(t)]에 대해서 미분하면 [math(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a\cos t)]이고, 이 식을 [math(\mathrm{d}x = a\cos t \,\mathrm{d}t)]로 바꾸어 본래의 적분에 대입하면 아래처럼 진행할 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x &= \int \sqrt{a^2-a^2\sin^2t} \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \\
&= \int \sqrt{a^2(1-\sin^2t)} \,a\cos t \,\mathrm{d}t \\
&= \int a\cos t \,\sqrt{a^2\cos^2t} \,\mathrm{d}t \\
&= a \int \cos t \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \qquad \biggl( \because -\frac{\pi}2 \le t \le \frac{\pi}2 \Rightarrow \cos t \ge 0 \biggr) \\
&= a^2 \int \cos^2t \,\mathrm{d}t \\
&= a^2 \int \frac{1+\cos{2t}}2 \,\mathrm{d}t \\
&= \frac{a^2}2 \biggl( t + \frac12\sin{2t} + C \biggr) \\
&= \frac{a^2}2 (t + \sin t\cos t) + C \\
&= \frac{a^2}2 \biggl( \arcsin{\frac xa} + \frac xa\cos\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) \biggr) + C \\
&\quad \biggl( \because x=a\sin t \Rightarrow \frac xa=\sin t \Rightarrow t=\arcsin{\frac xa}\biggr)
\end{aligned} )]
[math(\cos\biggl( \arcsin \dfrac xa \biggr) )]를 구하기 위해 [math(\sin^2t+\cos^2t=1)]에 [math(t=\arcsin{\dfrac xa} )]를 대입하면

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sin^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) + \cos^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= 1 \\
\biggl(\frac xa\biggr)^2 + \cos^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= 1 \\
\cos^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= 1 - \frac{x^2}{a^2} \\
\therefore \cos\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \\
\quad \biggl( \because -\frac{\pi}2 \le t=\arcsin{\frac xa} \le \frac{\pi}2 &\Rightarrow \cos\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) \ge 0 \biggr)
\end{aligned} )]
이 식을 위의 적분 결과에 대입하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x &= \frac{a^2}2 \biggl( \arcsin{\frac xa} + \frac xa\cos{\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr)} \biggr) + C \\
&= \frac{a^2}2 \arcsin{\frac xa} + \frac{ax}2 \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} + C \\
&= \frac{a^2}2 \arcsin{\frac xa} + \frac x2 \sqrt{a^2-x^2} + C
\end{aligned} )]

1.1.4. ∫ f(lnx)/x dx 꼴

1.1.4.1. 예제 4
다음 부정적분을 구하시오.

[math(\displaystyle \int \frac{\sin{(\ln x)}}x \,\mathrm{d}x )]

[math(\ln x=t)]로 두면 [math(x=e^t)]이고, [math(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=e^t)]이므로 [math(\mathrm{d}x=e^t\,\mathrm{d}t)]가 된다. 이를 위의 적분식에 대입하면 아래처럼 진행할 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \frac{\sin{(\ln x)}}x \,\mathrm{d}x &= \int \frac{\sin{(t)}}{e^t} \cdot e^t\,\mathrm{d}t \\
&= \int \sin t \,\mathrm{d}t \\
&= -\cos t + C
\end{aligned} )]

[math(\ln x=t)]로 치환했었으니 다시 [math(x)]에 관한 식으로 나타내면 다음 결과를 얻을 수 있다.

[math(\displaystyle \therefore \int \frac{\sin{(\ln x)}}x \,\mathrm{d}x = -\cos{(\ln x)}+C )]

1.1.5. 바이어슈트라스 치환적분

아예 적분이 복잡한 삼각함수식을 대수적 변수로 치환해 적분하는 방식이다.

적분이 복잡한 다음 식을 가정하면,

[math(\displaystyle \int f(\sin x , \cos x) dx)]

여기서, [math(t=\tan {x}/{2}))]을 적용하면, 임의의 함수는 다음과 같은 대수적 형식으로 치환된다.

[math(\displaystyle \int f\left({\left(\dfrac{2t}{1+t^2}\right), \left(\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\right)}\right) \dfrac{2}{1+t^2}dt)]
1.1.5.1. 증명
위의 정의 문단 함수를 상기하면,
[math(\displaystyle sin\,x=2sin(\dfrac{x}{2})cos(\dfrac{x}{2})=2\dfrac{sin(\dfrac{x}{2})cos^2(\dfrac{x}{2})}{cos(\dfrac{x}{2})})]
[math(\displaystyle =2\dfrac{tan(\dfrac{x}{2})}{sec^2(\dfrac{x}{2})})]

단, [math(\displaystyle sec^2(\dfrac{x}{2})-tan^2(\dfrac{x}{2})=1)]이므로,

[math(\displaystyle sin\,x=\dfrac{2t}{1+t^2})].

[math(\displaystyle cos\,x=cos^2(\dfrac{x}{2})-sin^2(\dfrac{x}{2}))]

[math(\displaystyle csc^2(\dfrac{x}{2})-cot^2(\dfrac{x}{2})=1)]이므로,

[math(\displaystyle cos\,x=\dfrac{1}{1+t^2}-\dfrac{t^2}{1+t^2}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2})]

삼각함수 치환적분을 사용하면 [math(dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt)].

그러므로, [math(\displaystyle \int f((\dfrac{2t}{1+t^2}), (\dfrac{1-t^2}{1+t^2})) \dfrac{2}{1+t^2}dt)]가 정의된다.
1.1.5.2. 활용
“[math(\int \dfrac{n_0}{n_1cos\,x+n_2sin\,x} dx)]” 꼴 적분에서 유용하게 쓸수 있다. 단, 계산이 많아지는 편.

2. 정적분

2.1. 개요

닫힌 구간 [math(\left[a,\,b\right] )]에서 연속인 함수 [math(f(x) )]에 대하여 미분가능한 함수 [math(g(t) )] 의 도함수 [math(g'(t) )]가 닫힌 구간 [math([\alpha,\,\beta] )]에서 연속이고 [math(a=g(\alpha),\,b=g(\beta) )]이면

[math(\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) \,g'(t) \,\mathrm{d}t )]

2.1.1. 예제 1

다음 정적분을 구하시오.

[math(\displaystyle \int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x )]

[math(\displaystyle x = a\sin t)]로 두고 [math(t)]의 범위는 [math(-\dfrac{\pi}2 \le t \le \dfrac{\pi}2)]로 두자. 그러면 [math(x=0)]일 때 [math(t=0)]이고, [math(x=a)]일 때 [math(t=\dfrac{\pi}2 )]이다. 또한 [math(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a\cos t)]이므로 위의 정적분은 아래와 같이 진행 가능하다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x &= \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2-a^2\sin^2t} \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \\
&= \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2(1-\sin^2t)} \,a\cos t \,\mathrm{d}t \\
&= \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2\cos^2t} \,a\cos t \,\mathrm{d}t \\
&= \int_0^{\pi/2} a\cos t \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \\
&= a^2 \int_0^{\pi/2} \cos^2t \,\mathrm{d}t \\
&= a^2 \int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos{2t}}2 \,\mathrm{d}t \\
&= \frac{a^2}2 \biggl[ t + \frac12\sin{2t} \biggr]_0^{\pi/2} \\
&= \frac{a^2}2 \biggl[ \biggl( \frac{\pi}2 + \frac12\sin{\pi} \biggr) - (0+0) \biggr] \\
&= \frac{a^2}2 \cdot \frac{\pi}2 \\
&= \frac{\pi a^2}4
\end{aligned} )]
참고로, 이 정적분 값은 반지름이 [math(a)]인 사분원의 넓이와 같으므로[6], 이를 4배하면 반지름이 [math(a)]인 원의 넓이가 [math(\pi a^{2})]이 됨을 알 수 있다.

[1] 이런 함수를 이른바 초등함수 표현이 불가능한 부정적분이 있다고 한다. 전자는 사인 적분 함수, 후자는 오차함수라는 특수함수를 이용해서 적분을 표현해야 한다. [2] 보통 [math(t=)]([math(x)]에 관한 함수)꼴로 두는데, 이럴 때에 다시 양변에 [math(x)]에 관한 함수의 역함수를 먹여도 된다. 그러면 이 꼴이 된다. [3] 쉽게 말하면 함수 [4] 숨마쿰라우데 미적분2 4단원 적분법 360쪽 [5] 이 예제에서 [math(a=2)], [math(b=0)]이면 [math(e^x)]의 곡선의 길이를 구하는 함수가 된다. [6] [math(\displaystyle y=\sqrt{a^2-x^2} )]이라고 두고 양변을 제곱하면 [math(x^2+y^2=a^2 \, (y\ge0) )]이 되므로