최근 수정 시각 : 2022-03-08 12:03:42

다가 함수

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1. 개요2. 심화
2.1. 분지 절단
3. 예시4. 관련 문서

1. 개요

/ multivalued function

일반적으로, 함수는 정의역의 한 값에 한 가지 값만이 대응한다. 예를 들어 항등함수 [math(\mathrm{id}_\mathbb R)]의 경우, [math(\mathrm{id}_\mathbb R(1)=1)] 한 가지 값만을 갖는다. 그런데 복소해석학을 배우다 보면, 여러 가지 값을 갖는 함수가 필요하다. 예를 들어, 편각 [math(\arg)]는 [math(\arg(1+i)=\pi/4, 9\pi/4,\cdots)]로 무수히 많은 값을 갖는다. 이렇게 여러 값을 갖는 함수를 다가 함수라고 한다. 명칭은 '함수'이지만, 함수의 기본적인 정의에 어긋나므로 진짜 함수는 아니다.

2. 심화

정의역이 [math(X)]이고 치역이 [math(Y)]인 다가 함수는, 실질적으로 [math(X\to\mathcal P(Y)\backslash \emptyset)][1]라고 생각할 수 있다. 즉, 정의역의 원소를 치역의 원소들의 모임, 즉 치역의 부분집합에 대응시키는 함수로 보는 것이다. 이 경우, 로그 함수는 다음과 같이 생각할 수 있다.

[math(\log(x)=\{y\in\mathbb C|e^y=x \})]

이때 다가 함수 [math(f:X\to \mathcal P(Y)\backslash \emptyset)]의 주요값은 [math(\forall x\in X, g(x)\in f(x))]인 함수 [math(g:X\to Y)]로 정의된다.
선택 공리 하에서, 다가 함수의 주욧값은 항상 존재하는데, [math(f:X\to \mathcal P(Y)\backslash \emptyset)]의 치역 [math(\mathrm{range}(f))]의 선택함수 [math(C)]와 [math(f)]의 합성 [math(C\circ f)]가 [math(f)]의 주요값이기 때문이다.

2.1. 분지 절단

복소 해석학에서 로그 함수를 정의할 때, [math(\operatorname{Arg}(\operatorname{Log}z)\in(-\pi, \pi])]이도록 한다. 이렇게 편각에 따라 주요값을 정하는 것을 분지 절단(branch cut)이라고 한다.

3. 예시

대부분의 다가 함수는 음함수의 역함수에서 나온다.

4. 관련 문서



[1] [math(\mathcal P)]는 멱집합이다.