최근 수정 시각 : 2022-07-26 06:59:19

비에트의 정리


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1. 개요2. 정리3. 이차방정식
3.1. 증명 13.2. 증명 23.3. 증명 3
4. 삼차방정식
4.1. 증명
5. 사차방정식
5.1. 증명5.2. 유형
6. n차방정식
6.1. 모든 근의 합
6.1.1. 증명
6.2. 모든 근의 곱
6.2.1. 증명
7. 예제8. 기타

1. 개요

대수적으로 닫힌 체 위의 다항식의 영점 계수 사이에는 수학적 관계가 성립하며, 이를 비에트의 정리 또는 비에타 정리라 한다. 이를 수학 교육과정에서 근과 계수의 관계라 한다.

프랑스의 변호사[1]이자 영주 프랑수아 비에트[2]가 발견했다.

2. 정리

체 [math(F)] 위에서 차수 [math(n)]의 다항식

[math(\displaystyle f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{1} x + a_0)]

의 근이 중복을 포함하여 [math(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)]으로 나타난다고 했을 때, 각각의 계수 [math(a_k)]는 다음의 식으로 나타낼 수 있다.(단, [math(0 \le k \le n)])

[math(\displaystyle (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} = \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} \alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_k})]

위 식의 우변은 n개의 수 [math(\alpha_1,\, \alpha_2,\, \cdots,\, \alpha_n)] 중 서로 다른 [math(k)]개를 선택해서 곱한 것의 총합으로, 보통 기본 대칭다항식(elementary symmetric polynomial)이라고 하고 [math(s_k(\alpha_1, \,\cdots,\, \alpha_n))]으로 표기한다.

비에타 정리의 특별한 경우로 n차방정식의 모든 근의 합은 [math(-a_{n-1}/a_n)], 모든 근의 곱은 [math((-1)^n a_0/a_n)]이 된다.

정리의 증명은 방정식의 인수분해 형태

[math(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_n (x- \alpha_1)(x-\alpha_2) \cdots (x - \alpha_n))]

에서 양변의 [math(x^{n-k})]의 계수를 비교하면 된다. 우변을 전개했을 때의 곱에서는 [math(x)]가 [math((n-k))]번 선택되어야 하므로 근 [math(\alpha_i)] 중에서 [math(k)]개가 선택되고, 이들 중 서로 다른 것을 선택해 곱하므로 대칭다항식이 등장하는 것. 부호 [math((-1)^k)] 부분은 [math((-\alpha_i))]들을 [math(k)]번 곱하게 되는 과정에서 등장한다. 어떻게 보면 이항정리의 증명과 상당히 유사한 점이 있다. ([math(\alpha_1 = \cdots = \alpha_n)]이면 실제로 이항정리가 되기는 한다.)

비에타 정리에서 등장하는 기본 대칭다항식은 대칭다항식 연구에서 매우 중요한 역할을 하는데, 이러한 근들에 대한 모든 대칭다항식은 우리가 어떠한 대칭다항식으로 나타낼 수 있느냐고 한다면 기본 대칭다항식에 대한 다항식으로 나타낼 수 있기 때문이다. 이차방정식의 경우 두 근 [math(\alpha, \beta)]에 대한 다항식 중 [math(\alpha \leftrightarrow \beta)] 치환에 대해 동일한 모든 다항식은 [math(\alpha+\beta)], [math( \alpha \beta)]의 다항식으로 나타낼 수 있다. 이 근과 계수들로 근 [math(\alpha_k)]의 [math(m)]제곱의 합을 구하는 항등식을 우리는 뉴턴 항등식이라 한다. 그리고 일반 항등식들과 같이 뉴턴 항등식(Newton's identity) 등의 다양한 공식들도 존재하고, 한편으로는 갈루아 이론을 이러한 대칭다항식 관점에서 생각하는 방법도 있다. 비에타 정리는 이외에도 행렬의 특성다항식 등등 [math(n)]차방정식을 다루는 많은 상황에 쓰인다.



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3. 이차방정식

이차방정식 [math(ax^2+bx+c=0 \,\, (a\neq 0))]의 두 근을 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하면
  • 두 근의 합: [math(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a})]
  • 두 근의 곱: [math(\alpha\beta=\dfrac{c}{a})]
  • 두 근의 차: [math(|\alpha-\beta|=\biggl|\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\biggr|)]

저 식에서 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 자리를 바꿔도 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]가 이차방정식의 두 근임은 변하지 않으며, 두 근의 합, 곱, 차 역시 변하지 않는다. 또한, 이차방정식의 근이 허근일 때 두 근은 켤레복소수이기 때문에 두 근의 합과 곱은 결국 모두 실수가 된다.

3.1. 증명 1

이차방정식 근의 공식에 의하여

[math(\begin{aligned} \alpha&=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \beta&=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{aligned})]

로 놓으면

[math(\begin{aligned} \alpha+\beta&=\biggl( \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \biggr)+\biggl( \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \biggr)\\&=-\dfrac{b}{a} \\ \\ \alpha\beta&=\biggl( \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \biggr)\biggl( \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \biggr) \\&=\biggl(-\frac{b}{2a} \biggr)^{2}-\biggl(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \biggr)^{2} \\&=\frac{c}{a} \\ \\ |\alpha-\beta|&=\biggl| \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} - \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \biggr| \\&=\biggl|\displaystyle\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\biggr| \end{aligned})]

3.2. 증명 2

이차방정식 [math(ax^2+bx+c=0)]의 좌변을 인수분해하여 전개하면

[math(\displaystyle a(x-\alpha)(x-\beta)=a\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\})]

한편,

[math(\displaystyle ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)=0)]

이므로 계수비교법에 의하여 위의 관계가 성립한다.

3.3. 증명 3

두 근의 합과 곱 부분이 증명된 상태에서, 두 근의 차는 다음과 같은 곱셈 공식으로 유도할 수 있다.

[math(\begin{aligned}(\alpha-\beta)^2&=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\\&=\left(-\dfrac{b}{a}\right)^2-\dfrac{4c}{a}\\&=\dfrac{b^2-4ac}{a^2}\end{aligned})]

여기에서 양변에 제곱근을 취하면 위의 관계가 유도된다.

4. 삼차방정식

삼차방정식 [math(ax^3+bx^2+cx+d=0 \,\,(a\neq 0))]의 세 근을 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하면
  • 세 근의 합: [math(\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a})]
  • 두 근끼리의 곱의 합: [math(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a})]
  • 세 근의 곱: [math(\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a})]

4.1. 증명

삼차방정식 [math(ax^3+bx^2+cx+d=0)]의 좌변을 인수분해하여 전개하면
[math(\begin{aligned} \displaystyle a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)= a\{x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)x-\alpha\beta\gamma\}\end{aligned})]
이 된다. 한편,

[math(\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=a\left(x^3+\displaystyle{\frac{b}{a}}x^2+\displaystyle{\frac{c}{a}}x+\displaystyle{\frac{d}{a}}\right)=0)]

이므로 계수비교법에 의하여 위의 관계가 성립한다.

삼차방정식의 근의 공식을 이용하여 증명할 수도 있겠으나, 이차방정식과 달리 지나치게 복잡하므로 생략한다.

5. 사차방정식

사차방정식 [math(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0)] ([math(a \neq 0)])의 네 근을 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)], [math(\delta)]라 하면, 다음이 성립한다.
  • 네 근의 합: [math(\alpha+\beta+\gamma+\delta=-\dfrac{b}{a})]
  • 두 근끼리의 곱의 합: [math(\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta\delta+\gamma\delta=\dfrac{c}{a})]
  • 세 근끼리의 곱의 합: [math(\alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\gamma\delta=-\dfrac{d}{a})]
  • 네 근의 곱: [math(\alpha\beta\gamma\delta=\dfrac{e}{a})]

5.1. 증명

사차방정식 [math(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0)]의 좌변을 인수분해하여 전개하면
[math(\begin{aligned}\displaystyle a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)&= a\{x^4-(\alpha+\beta+\gamma+\delta)x^3+(\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta\delta+\gamma\delta)x^2-(\alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\gamma\delta)x+\alpha\beta\gamma\delta\}\end{aligned})]
이 된다.

한편,

[math(\displaystyle ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^4+\displaystyle{\frac{b}{a}}x^3+\displaystyle{\frac{c}{a}}x^2+\displaystyle{\frac{d}{a}}x+\displaystyle{\frac{e}{a}}\right)=0)]

이므로 계수비교법에 의하여 위의 관계가 성립한다.

사차방정식의 근의 공식을 이용하여 증명할 수도 있겠으나, 삼차방정식 보다도 더 복잡하므로 생략한다.

5.2. 유형

  • 모든 실근의 합·곱
    • 우선 대입이나 조립제법을 이용하여 2개의 정수근을 구해준 뒤, (이차식)[math(\times)](이차식) 꼴로 인수분해 하고 우변의 이차방정식의 근을 판별하여 준다. 판별식 [math(D=b^2-4ac)]의 값이 0보다 같거나 크면 2개의 실근 (중근도 포함)을 가지는 것이므로 합을 구할 때는 두 근의 유리수 부분만 (무리수 부분은 항상 켤레근이므로) 더해 주며, 곱을 구할 때는 [math((x+k)(x-k)=x^2-k^2)]임을 이용하여 앞의 두 정수근과 함께 곱해 준다. 반대로 0보다 작은 경우에는 실근이 아니기 때문에 더하거나 곱하지 않는다. 여기에 모든 양의 실근·모든 음의 실근으로 함정을 파 놓는 경우도 있으니 유의하자.
  • 두 실근과 두 허근의 합·곱
    • 실근의 경우와 같이 두 정수근을 구해준 다음, 나머지 두 근은 무조건 허수이므로[3] 바로 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 풀어준다.
  • 모든 허근의 합·곱
    • 네 근이 모두 허수이므로 바로 사차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 풀어준다.

6. n차방정식

모든 차수의 방정식에 대하여 비에트의 정리가 성립한다. 오차 이상의 방정식 부터는 근의 공식을 이용하여 증명할 수가 없다.

6.1. 모든 근의 합

[math(n)]차방정식에서, [math(f(x))]의 [math((n-1))]차항의 계수를 [math(f(x))]의 [math(n)]차항(최고차항)의 계수로 나눈 값은 그 방정식의 모든 근의 합에 [math(-1)]을 곱한 값과 같다.

6.1.1. 증명

[math(n)]차방정식의 [math(n)]개의 근(중근 생략 금지)을 [math(\alpha_{1})], [math(\alpha_{2})], [math(\alpha_{3})], [math(\cdots)], [math(\alpha_{n})]이라고 하자. 그러면 [math(n)]차방정식은

[math(\displaystyle a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)+\cdots+(x-\alpha_n)=0 \quad (a\neq 0))]

으로 나타낼 수 있다. 따라서 [math(n)]차방정식의 [math(n)]차항의 계수는 [math(a)]이다.

[math((n-1))]차항의 계수는 [math(n)]차방정식의 인수 중에서도 [math((x-\alpha_1))], [math((x-\alpha_2))], [math(\cdots)], [math( (x-\alpha_n))]의 수많은 조합들의 합으로 만들어지는데, 그 개별적인 조합이란 [math(n)]개의 인수 [math((x-\alpha_k))](단, [math(k)]는 [math(n)] 이하의 자연수)에서 오직 한 번만 [math(-\alpha_k)] 쪽을 선택하고 나머지 [math((n-1))]번은 [math(x)] 쪽을 선택하여 그것들을 모두 곱한 값이다. [math((n-1))]차식이 되기 위해서는 [math(x)] 쪽을 [math((n-1))]번 선택하여 [math((n-1))]번 곱해야 하기 때문이다.

그러면 오직 한 번 [math(-\alpha_k)]를 선택할 경우 나오는 조합은 [math(-\alpha_kx^{n-1})]이며, 이렇게 나올 수 있는 모든 조합의 총합에 [math(n)]차항의 계수 [math(a)]를 곱한 값

[math(-a(\alpha_1+\alpha_2+\cdots\alpha_n)x^{n-1}=-ax^{n-1}\displaystyle{\sum_{k=1}^n \alpha_k})]

가 바로 [math(n)]차방정식의 [math((n-1))]차항이 된다.

곧, [math((n-1))]차항의 계수는

[math(-a(\alpha_1+\alpha_2+\cdots\alpha_n)=-a\displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha_k)]


한편, [math(n)]차방정식의 [math((n-1))]차항의 계수를 [math(b)]라고 하자. 그러면

[math(\begin{aligned} b&=-a\displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha_k \quad \to \quad -\dfrac{b}{a}=\sum_{k=1}^n \alpha_k \end{aligned})]

여기에서 [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha_k)]란 바로 [math(n)]차방정식의 모든 근의 합이므로, 위 내용이 증명되었다.

6.2. 모든 근의 곱

또한, [math(f(x))]의 상수항을 [math(f(x))]의 [math(n)]차항의 계수로 나눈 값은 그 방정식의 모든 근의 곱과 같다.

6.2.1. 증명

[math(x)]에 관한 방정식의 상수항은 그 항에 [math(x)]를 포함하지 말아야 하므로, [math(n)]차방정식의 인수 [math((x-\alpha_k))](단, [math(k)]는 [math(n)] 이하의 자연수) 중에서 [math(x)] 쪽을 한 번도 선택하지 말아야 한다. 다시 말해서, [math(-\alpha_k)] 쪽만 [math(n)]번 선택하여 그것들을 모두 곱해야 한다.

그러면 [math(n)]차방정식의 상수항이란 [math((-1)^n\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n)]에 [math(n)]차항의 계수 [math(a)]를 곱한 [math((-1)^na\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n)]이다.

한편, [math(n)]차방정식의 상수항을 [math(c)]라고 하면

[math(\begin{aligned} c&=(-1)^na\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n \quad \to \quad \dfrac{c}{a}=(-1)^n\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n \end{aligned})]

여기에서 [math((-1)^n\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n)]이란 바로 [math(n)]차방정식의 모든 근의 곱이므로, 위 내용이 증명되었다.

7. 예제

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8. 기타

  • 수학과 교육과정에 대한 교육부 공식 보고서를 보면 '근과 계수의 관계'라는 말도 혼재하는데 용어를 통일해야 한다.[4] '근과 계수와의 관계'라는 말에서는 '와'가 불필요하므로 '근과 계수의 관계'로 쓰는 편이 더 자연스럽다.
  • 중학교 3학년 때 처음으로 이차방정식과 이차방정식의 근의 공식을 배우는데, 이때는 '방정식과 부등식에 대한 지나치게 복잡한 활용 문제는 다루지 않을 것'과 함께 '이차방정식의 근과 계수의 관계는 다루지 않을 것'을 '교육부 고시 제2015-74호 [별책 8] 31쪽에서 명시하고 있다.
  • 이차방정식의 근과 계수의 관계는 고등학교 1학년 때 유도 과정과 함께 배우는데[5] 두 근의 합과 곱만을 다루고 위에서 참고로 설명한 두 근의 차는 아예 교육과정에서 다루지 않는다. 또한, 삼차 이상의 방정식의 근과 계수의 관계 역시 교과서에 명시되어 있지 않다. 그렇다고 해서 교육부 방침으로서 명시적으로 이 내용들을 다루는 것을 금지하지도 않는다. 다만 이차방정식의 근과 계수의 관계를 지나치게 복잡하게 활용하는 문제를 내지 않을 것만을 지시하고 있다.
  • 시중에 출시된 문제집이나 사설 학원에서는 이차방정식의 두 근의 차 및 삼차 이상의 방정식의 근과 계수의 관계를 좋은 팁으로 소개해주곤 한다. 이 내용들은 교과서에서는 명시적으로 다루지 않아도, 내신에서건 수능에서건 긴요하게 써먹을 수 있으니 상위권을 노린다면 웬만하면 익혀두자.
  • 정석적인 방법은 아니지만 수학II의 미분법을 미리 공부했다면 삼차방정식의 근과 계수 문제를 함수의 그래프를 이용하여 풀어낼 수도 있다.
  • 이 정리를 본따서 응용한 vieta jumping이라는 방법이 IMO의 역대 초고난이도 문제의 정석 풀이법이다.

[1] 피에르 드 페르마와 비슷하게 법조인이 수학적 정리를 발견한 사례이다. [2] 프란키스쿠스 비에타(Franciscus Vieta)라고도 한다. [3] 네 근이 모두 허수인 경우는 고등학교 과정에서는 다루지 않는다. [4] '이차방정식의 근과 계수와의 관계는 다루지 않는다.' 교육부 고시 제2015-74호 [별책 8], p.31 [5] 교육부 공식 성취 기준은 다음과 같다. 〈복소수와 이차방정식〉 - 10수학01-08: 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해한다.