최근 수정 시각 : 2022-09-27 17:43:07

거리함수

기하학· 위상수학
Geometry· Topology
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px"
{{{#!wiki style="letter-spacing: -1px"
평면기하학에 대한 내용은 틀:평면기하학 참고
기본 대상
공리 유클리드 기하학
비유클리드 기하학
도형 기본 도형 평면 · 부피 · 꼬인 위치 · 각기둥 · 각뿔 · 원기둥 · 원뿔 · ( 공 모양 ) · 전개도 · 겨냥도 · 다면체 ( 정다면체 ) · 정사영
곡면 타원면 · 타원포물면 · 쌍곡포물면 · 원환면
프랙탈 도형 시에르핀스키 삼각형 · 시에르핀스키 사각형( 멩거 스펀지) · 망델브로 집합 · 코흐 곡선 · 드래곤 커브
기타 다포체 · 초구 · 일각형 · 이각형
다루는 대상과 주요토픽
위상수학 위상 공간 유계 · 옹골 집합 · 다양체 · 택시 거리 공간 · 연결 공간 · 위상수학자의 사인곡선
위상도형 사영평면 · 뫼비우스의 띠 · 클라인의 병 · 매듭( 목록)
대수적 위상수학 호몰로지 · 호모토피
미분기하학 미분다양체 · 측지선 · 곡률( 스칼라 곡률 · 리만-크리스토펠 곡률 텐서 · 리치 텐서) · 열률 · 텐서 · 쌍곡 공간( 쌍곡삼각형 · 푸앵카레 원반) · 타원 공간( 구면삼각형) · 아핀접속
기타 차원 · 좌표계 · 거리함수
정리 · 추측
실베스터-갈라이 정리 · 해안선 역설 · 바나흐-타르스키 역설 · 라이데마이스터 변환 · 오일러 지표 · 푸앵카레 정리 · 호지 추측미해결
분야
논증기하학 · 미분기하학 · 해석기하학 · 매듭이론 · 프랙탈 이론 · 정보기하학 · 위상 데이터분석 }}}}}}}}}}}}

해석학 · 미적분학
Analysis · Calculus
{{{#!wiki style="word-break: keep-all; margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px; letter-spacing: -1px"
<colbgcolor=#8f76d6> 함수 합성 · 항등원 · 역원 · 멱함수( 비례·반비례) · 초등함수( 대수함수 · 초월함수) · 특수함수 · 범함수( 변분법) · 다변수 ( 동차 · 숨은 함수( 다가 함수)) · 그래프 · 대칭 · 증감표 · 극값 · 절편 · 연속 · 매끄러움 · 계단형 · 미끄럼틀형 · 볼록/오목 · 닮은꼴 함수 · 병리적 함수 · 해석적 연속 · 로그함수 · 지수함수 · 삼각함수
정리 · 토픽 중간값 정리 · 최대·최소 정리 · 부동점 정리 · 오일러 동차함수 정리 · 립시츠 규칙 · 스펙트럼 정리
극한 엡실론-델타 논법 · 수열의 극한 · 수렴 ( 균등수렴) · 발산 · 부정형 · 어림( 유효숫자) · 근방 · 점근선 · 무한대 · 무한소 · 스털링 근사
정리 · 토픽 로피탈의 정리 · 슈톨츠-체사로 정리
수열
급수
규칙과 대응 · 단조 수렴 정리 · 멱급수 · 테일러 급수 ( 일람) · 조화급수 · 그란디 급수 · 망원급수 ( 부분분수분해) · 오일러 수열 · 베르누이 수열 · 파울하버의 공식 · 리만 재배열 정리
정리 · 토픽 바젤 문제 · 라마누잔합 · 0.999…=1 · 콜라츠 추측미해결
미적분 미분 도함수 ( 편도함수) · 도함수 일람 · 차분 · 유율법 · 변화량 · 변분법 · 곱미분 · 몫미분 · 연쇄 법칙 · 역함수 정리 · 임계점 ( 변곡점 · 안장점) · 미분형식 · 미분방정식 ( 풀이) · [math(boldsymbolnabla)] · 라그랑주 승수법
적분 역도함수 일람 · 부분적분 ( LIATE 법칙 · 도표적분법 · 예제) · 치환적분 · 정적분 ( 예제) · 이상적분 · 중적분 ( 선적분 · 면적분 · 야코비안) · 르베그 적분 · 스틸체스 적분 · 코시 주요값
정리 · 토픽 미적분의 기본정리 ( 선적분의 기본정리) · 평균값 정리 ( 롤의 정리) · 스토크스 정리 ( 발산 정리 · 그린 정리) · 라플라스 변환 · 푸리에 해석 ( 푸리에 변환 · 아다마르 변환) · 2학년의 꿈 · 리시 방법 · 야코비 공식

해석
실수 · 좌표계 · 측도론 ( 측도 · 르베그 측도) · 실직선 · 유계( 콤팩트성) · 칸토어 집합 · 비탈리 집합
복소
해석
복소수( 복소평면) · 편각 · 코시-리만 방정식
정리 · 토픽 오일러 공식 ( 오일러 등식 · 드 무아브르 공식) · 리우빌의 정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리
여타 하위 학문 해석기하학 · 미분기하학 · 해석적 정수론 ( 소수 정리 · 리만 가설미해결) · 벡터 미적분학 · 확률론 ( 확률변수 · 중심극한정리) · 수치해석학
기타 뉴턴-랩슨 방법 · 디랙 델타 함수 · 카오스 이론 · 오일러 방정식 · 퍼지 논리 · 거리함수 · 분수계 미적분학 · merry=x-mas
응용 수리물리학 · 수리경제학( 경제수학) · 공업수학
난제 양-밀스 질량 간극 가설 · 나비에 스토크스 방정식의 해 존재 및 매끄러움 }}}}}}}}}

1. 개요2. 차원 거리함수3. 민코프스키 시공간
3.1. 민코프스키 시공간의 거리함수 3.2. 거리함수 텐서
4. 관련 문서

1. 개요

distance function · , 또는 metric(메트릭) [가]

집합 [math(X)]의 거리 함수(metric)란 다음의 세 성질을 만족하는 함수 [math(d:X \times X\to \mathbb{R})]이다.
* [math(d\left(x,y\right)\geq0)], [math(d\left(x,y\right)=0)] if and only if [math(x=y)])
* 대칭성
[math(d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right))]
* 삼각부등식
[math(d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right) \geq d\left(x,z\right))][2]

두 점이 얼마나 멀리 떨어져 있는가를 뜻하는 측도인 ' 거리'를 일반화한 것이다. 이때 직선거리(straight-line distance, Euclidean distance)는 두 점을 연결하는 선분의 길이이며 두 점 사이의 최단거리임을 보일 수 있다. 한편 이동거리(distance traveled)는 경로의 길이로 그리고 노름(norm)은 크기의 일반화로 다루어진다.

메트릭(metric) 또는 거리 함수(distance function)는 자연스러운 집합의 요소 사이의 거리를 정의하는 함수 d(x,y)로 나타낼수있다. 예를 들어 두 점사이의 거리가 0이면 두 요소는 해당 특정 메트릭에서 동일할것이다. 따라서 거리 함수는 두 요소가 얼마나 가까운지를 측정하는 방향으로 계량화 과정을 제공할수있다. 여기서 요소는 추상적일수있으며 또는 숫자일 필요는 없지만 벡터, 행렬 또는 임의의 개체일 수도 있다. 거리 함수는 종종 최적화 문제에서 최소화를 위해 오류 또는 비용 함수로 사용될수있다.[가]

2. 차원 거리함수

파일:Euclid_elements_2_4_B.svg
점G와 점B의 두 점 사이의 거리[math( \overline{GB} (l))]는 [math( \text{점}B(x_1,y_1) )] 와 [math( \text{점}G(x_2,y_2) )]의 2차원의 평면 좌표계(coordinate system)에서 피타고라스의 정리에 따라
[math( \overline{GB}^2 = \overline{GI}^2 + \overline{IB}^2)]
[math( l^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2)]이다.
이러한 맥락(context)에서 [math( \text{선분}GI (l) = (x_1 - x_2) )]로 나타낼수있고 따라서 1차원의 거리함수
[math( l^2 = (x_1 - x_2)^2 )]로 나타낼수있다.
이처럼 거리(l,length) 제곱에서 n차원의 거리함수(metric)를 1부터 4까지 차원을 나열해보면
[math( l^2 = (x_1 - x_2)^2 )]
[math( l^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2)]
[math( l^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 )]
[math( l^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 + (I_1 - I_2)^2 )]
를 조사할수있다.
이이서 [math( \Delta x \text{ 증분을} x_1, \Delta y\text{증분을} x_2, \Delta z\text{증분을} x_3,\Delta I\text{증분을} x_4 )]로 나타내보면
따라서 거리함수
[math( l^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2 )]
를 얻을 수 있다.

2.1. 함수로 해석

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 다항함수/공식/길이 문서
2번 문단을
부분을
참고하십시오.

2.2. 벡터 공간에서

[math(mathbb C)] 위의 벡터 공간에서는 정의가 아래처럼 바뀐다.
[math(\begin{aligned} l^2 &= \left< {\bold x},\,{\bold x} \right> \\ &= \operatorname{tr}({\bold x} \otimes {\bold x}) \\ &= \det({\bold x}^{\ast} {\bold x}) \end{aligned})]
[math(\bold x)]는 상술한 [math(x_i)]를 성분으로 하는 벡터, [math(\ast)]는 수반 연산자이다.

3. 민코프스키 시공간

헤르만 민코프스키(Hermann Minkowski)의 민코프스키 시공간(Minkowski spacetime)은 사람이 인지하는 현실세계인 3차원 공간에 1차원 시간을 4번째 차원으로 더해서 이루어진 공간이다. 시공간이기는 한데 다른 3차원의 성분들이 거리함수인지라 시간(t)에 속도(c, 광속)를 주어서 시간을 거리함수처럼 다룬다. 또한 민코프스키 시공간은 복소수체계인 허수 [math( i )]를 도입한 [math( x_4 = ict )]를 가정함으로써 아인슈타인 일반 상대성 이론 특수 상대성 이론을 비교적 잘 기술할수있는 공간으로 설정하고 사용할수있다. [4] 이러한 민코프스키 시공간의 허수[math( i )]는 드무아브르 정리에서처럼 극좌표계상에서 회전성을 보여주는 복소수체계로 잘 알려져있다.

3.1. 민코프스키 시공간의 거리함수

일반적인 거리함수 [math( l^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2 )] 로 부터 n=4일때
[math( l^2 = (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + (x_4)^2 )]
민코프스키 시공간의 거리함수중 시간함수 성분을 [math( x_4 = ict )]로 이해해보면
[math( l^2 = (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + (ict)^2 )]
[math( l^2 = (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 - (ct)^2 )]
이제 괄호를 생략하고 미분을 주요하게 드러네 표현해보면
[math( dl^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2dt^2 )]
[math( dl^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(dx_i)^2 )]
민코프스키 시공간으로 일반적인 거리함수를 확대해볼수있다.

3.2. 거리함수 텐서

거리함수(metric)로부터
[math( dl^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(dx_i)^2 )]를 n=4에서 간단히 표현해보면
[math( l^2 = (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + (x_4)^2 )]
그리고 이어서 [math( x_i )]에 따른 계수 함수 [math( f_i )]를 제공해보면
[math( l^2 = f_1(x_1)^2 + f_2(x_2)^2 + f_3(x_3)^2 + f_4(x_4)^2 )]
이것을 또다시 [math( x_i )][math( x_i )]로 확대하고 계수함수를 넘버링(numbering)해보면
[math( l^2 = f_{11}x_1x_1 + f_{12}x_1x_2 + f_{13}x_1x_3 + f_{14}x_1x_4 )]
[math( + f_{21}x_2x_1 + f_{22}x_2x_2 + f_{23}x_2x_3 + f_{24}x_2x_4 )]
[math( + f_{31}x_3x_1 + f_{32}x_3x_2 + f_{33}x_3x_3 + f_{34}x_3x_4 )]
[math( + f_{41}x_4x_1 + f_{42}x_4x_2 + f_{43}x_4x_3 + f_{44}x_4x_4 )]
텐서 함수로 나타내보면
[math( dl^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}f_{ii}{dx_i dx_i} )]
아인슈타인 표기법으로 고치면
[math( dl^2 = g_{ii}{dx^i dx^i} )]
거리함수 텐서(metric tensor)
[math( g_{ii}(x^{ii}) )]
를 얻을수있다.

4. 관련 문서


[가] \[Math.NET\]Distance Metrics https://numerics.mathdotnet.com/Distance.html [2] 세 점 [math(x)], [math(y)], [math(z)]이 이루는 삼각형을 상상하고, 그 변들의 길이 사이의 관계를 떠올려 보자. [가] [4] Hermann Minkowski , Space and Time - Minkowski’s Papers on Relativity,Translated by Fritz Lewertoff and Vesselin Petkov, Edited by Vesselin Petkov Free version https://www.minkowskiinstitute.org/mip/MinkowskiFreemiumMIP2012.pdf