최근 수정 시각 : 2020-10-25 00:31:44

비탈리 집합


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1. 개요2. 상세
2.1. 증명

1. 개요

비탈리 집합(Vitali set)은 르베그 불가측 집합의 예시이다.

2. 상세

EE를 양의 르베그측도를 갖는 R\mathbb{R}의 임의의 유계 부분집합이라고 하고, EE 동치관계 \sim를 아래와 같이 정의하자.
x\sim y \iff x-y \in \mathbb{Q}
그러면, 선택공리에 의해서, 각 동치류에서 대표 원소를 1개씩 뽑을 수 있다. 이렇게 뽑은 대표 원소들의 집합을 VV라고 하자. 그러면, VV는 르베그 불가측 집합이다.

2.1. 증명

서로 다른 임의의 q1,q2Qq_{1},q_{2}\in\mathbb{Q}에 대해 (V+q1)(V+q2)=(V+q_{1})\cap (V+q_{2})=\emptyset인 것에 주목하자. EE가 유계이므로,
VE[a,a]V \subset E \subset [-a,a]
인 양수 aa가 존재한다. I=[2a,2a]QI=[-2a,2a]\cap \mathbb{Q}라고 하자. 그러면, 임의의 xEx\in E에 대해서, 적당한 유리수 qIq\in I가 존재해서, xV+qx\in V+q이 성립한다. 즉,
EqI(V+q)E\subset \displaystyle\bigcup _{q\in I}(V+q).
이제, VV가 르베그 가측집합이라고 가정하면 르베그 측도의 이동불변성에 의하여 V+qV+q도 가측이고, m(V+q)=m(V)m(V+q)=m(V)가 성립하여,
m(E)m(qI(V+q))=qIm(V+q)=n=1m(V)m(E)\leq m\left(\displaystyle\bigcup_{q\in I}(V+q)\right)= \displaystyle\sum_{q\in I } m(V+q) =\sum_{n=1}^{\infty}m(V)
이다. 그런데, qI(V+q)\cup_{q\in I}(V+q)는 유계이므로, 0<m(qI(V+q))<0<m(\cup_{q\in I}(V+q))<\infty인데, n=1m(V)<\sum_{n=1}^{\infty}m(V)<\infty이려면, m(V)=0m(V)=0이여야 하므로, 모순이다.