Euler's theorem
1. 개요
레온하르트 오일러가 증명한 정리이다. 오일러 정리는 정수론에서의 정리와 동차함수에서의 정리로 구분된다.2. 정수론에서의 오일러 정리
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정수론 Number Theory |
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정수론에서 유용하게 쓰이는 정리로, 합동식과 관련이 있다. 페르마의 소정리를 일반화한 것이다.
내용은 아래와 같다.
[math( a )]와 [math( n )]이 서로 소인 양의 정수일 때,
[math( a^{ \varphi \left( n \right) } \equiv 1 \left( \text{mod}\ n \right) )]
[math( a^{ \varphi \left( n \right) } \equiv 1 \left( \text{mod}\ n \right) )]
여기서 [math( \varphi \left( n \right) )]은 [math( 1 )]부터 [math( n )]까지의 정수 중 [math( n )]과 서로소인 정수의 개수를 구하는 오일러 파이 함수다.
2.1. 증명
[math(n)] 이하의 자연수중 [math(n)]과 서로소인 수만 모아놓은 집합을 [math(S)]라 하자.정의에 의해 [math(S)]의 원소의 개수는 [math( \varphi \left( n \right) )]이다.
[math( S=\left\{b_1, \cdots, b_{\varphi\left(n\right)}\right\} )]
라 하자
[math(S)]의 각 원소들에 ([math(n)]과 서로소인) [math(a)]를 곱한 집합을 [math(aS)]라 하면
[math( aS=\left\{ab_1, \cdots, ab_{\varphi\left(n\right)}\right\} )]
이때, [math(aS)]의 모든 원소들은 [math(n)]과 서로소인 수들끼리 곱한 수들이므로 그 원소들 역시 [math(n)]과 서로소.
그리고 [math(aS)]의 모든 원소는 [math(n)]로 나눈 나머지가 서로 다르다 ([math(\because)] 만일 [math(ab_i \equiv ab_j (\text{mod}~n))], [math(1 \leq i,j \leq \varphi \left(n \right))]인 서로 다른 정수 [math(i)], [math(j)]가 존재한다면, [math(a(b_i - b_j ))]가 [math(n)]의 배수. [math(a)]와 [math(n)]이 서로소이므로 [math(b_i - b_j)]가 [math(n)]의 배수. 그런데, [math(b_i)]와 [math(b_j)]가 둘 다 [math(1)]이상 [math(n)]이하의 수들이므로 [math(-(n-1) \leq b_i -b_j \leq (n-1))]. 이 범위에는 [math(n)]의 배수가 [math(0)]뿐이므로 [math(b_i = b_j)]. 즉, 모순)
그러므로 [math(aS)]의 원소들을 [math(n)]으로 나눈 나머지는 [math(S)]의 원소들의 재배열이 된다.
따라서 [math(S)]의 모든 원소의 곱과 [math(aS)]의 모든 원소의 곱은 [math(n)]으로 나눈 나머지가 같다.
[math( b_1\cdots b_{\varphi\left(n\right)} \equiv a^{\varphi\left(n\right)}b_1\cdots b_{\varphi\left(n\right)} \left(\text{mod} ~n\right))]
[math( \therefore ~ a^{ \varphi \left( n \right) } \equiv 1 \left( \text{mod}~ n \right) )]
2.1.1. 다른 증명
[math(n)] 이하의 자연수중 [math(n)]과 서로소인 수만 모아놓은 집합을 [math(S)]라 하자.정의에 의해 [math(S)]의 원소의 개수는 [math( \varphi (n) )]이다.
그러면, 자명하게 [math(S)]는 [math(\bmod n)] 곱셈군을 이루고, 라그랑주 정리에 의해 [math(|S:\langle a\rangle||\langle a\rangle | = |S|=\varphi (n))]로 [math(a)]의 위수는 [math(\varphi(n))]의 약수이다. 따라서, [math(a^{\varphi(n)})]는 곱셈의 항등원 [math(1)]이 된다.
2.2. 응용
오일러 정리는 거듭제곱의 마지막 세 자리 수를 구하는 데 자주 사용된다. 예를 들어 [math(7^{2016})]의 마지막 세 자리 수를 구하고 싶을 때, [math(\varphi \left( 1000 \right) = 400)]이므로 [math(7^{400} \equiv 1 \left(\text{mod}~1000 \right))]가 성립함을 이용하면, [math(7^{2016} \equiv \left( 7^{400} \right)^5 \times 7^{16} \left( \text{mod}~1000 \right))]에 의해 [math(7^{16})]을 [math(1000)]으로 나눈 나머지를 구하면 된다.[1]2.3. 기타
오일러 정리는 대표적인 공개키 암호화 방식 중 하나인 RSA의 가장 중요한 이론이 되는 정리다.3. 동차함수에 대한 오일러 정리
함수 [math(f(x_k))]가 [math(x_k)]에 대한 [math(n)]차 동차함수이면, 다음이 성립한다.
| [math(\displaystyle \sum_{k}{ x_k \frac{ \partial f }{ \partial x_k } } = nf )] |
3.1. 오일러 정리의 미분
n차 동차 함수에 대한 오일러 정리는 다음과 같다.| [math(\displaystyle x\frac{ \partial f}{ \partial x} + y\frac{ \partial f}{ \partial y} = nf(x,y) )] |
| [math(f(\lambda x,\lambda y) = \lambda^n f(x,y))] |
양측에 대해 미분할때, 왼쪽 식에 연쇄 법칙을 적용하자. [math(u=\lambda x, v=\lambda y)]로 치환하여 [math(f(\lambda x,\lambda y)=f(u,v))]를 가정하면,
| [math(\dfrac{\partial f}{\partial u} \dfrac{{\rm d}u}{{\rm d}\lambda} +\dfrac{\partial f}{\partial v} \dfrac{{\rm d}v}{{\rm d}\lambda} = n\lambda^{n-1}f(x,y))] |
그러므로,
| [math(\displaystyle x\frac{ \partial f}{ \partial u} + y\frac{ \partial f}{ \partial v} = n\lambda^{n-1}f(x,y) )] |
[1]
물론 이는 [math(7^2=49=50-1)]임을 이용해서 이항정리를 통해 간략화시키면 된다.