최근 수정 시각 : 2022-08-01 15:09:01

공업수학

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영어: engineering mathematics
한자: (공업수학), (공학수학)

1. 개요2. 실제 공대에서
2.1. 수강 시기2.2. 학과별 차이2.3. 분량2.4. 배우는 내용2.5. 공학용 계산기와의 연관
3. 교과서

1. 개요

공업수학이라 하면 다양한 범위의 수학을 지칭할 수 있지만, 우리나라에서 공업수학이라고 하면 주로 미국을 포함한 주요 국가 공대 2학년에서 배우는 고등 공학 수학(Advanced Engineering Mathematics)을 뜻하며, 공대의 학부 과정을 정상적으로 이수하기 위한 수학을 다룬다. 공업수학이라는 어감이 오해를 불러 일으키기 십상이지만, 수학과를 제외하면 공대를 포함하여 자연계의 주요 전공에서 필수 수학 중 2학년 과정에 해당하는 상위 과정의 수학 과목이다. 따라서 영문 과목명에도 고급, 고등, 심화라는 의미의 "Advanced"라는 타이틀이 붙는다. 이 과목을 배우고 나면 공대나 자연과학의 학부 수준에서 사용되는 대부분의 수학적 지식을 습득할 수 있다.

대학교 수학은 양과 깊이가 방대해지는데, 수학과에서는 계산보다 철저히 증명 위주의 수학을 다루며, 각 과목을 천천히 엄밀하게 다루게 된다. 하지만 이공계 정원의 대다수를 차지하는 공대에서는 수학과와 달리 수학이 목적이 아닌 수단이며, 수학에 존재하는 많은 엄밀한 증명을 알 필요가 없으며, 응용을 위한 방대한 원리를 계산 위주로 빠르게 습득할 필요가 있다. 따라서 공대 전공을 위한 수학으로서 수학과와는 지향점이 다른 수학 과목의 필요성이 대두되었고 그에 따라 '공업수학(혹은 공학수학)'이라는 과목이 탄생하였다. 줄여서 '공수'라고 부른다. 공과대학에 재학 중이며 개설되어 있다면 반드시 이수해야 하는 과목이고, 대부분의 학교의 공대는 당연히 졸업 필수과목으로 지정해 두고 있다.[1] 물론 일부 공대는 개설하지 않는다.[2] 건축학과의 경우 교양과목 개념으로 구조역학 응용역학 파트만 간단하게 공부하고 전공과목에는 수학이 들어가지 않는다.[3]

실업계 등에서 배우는 '공업수학의 기초'를 생각하고 쉽다고 생각하면 곤란하다. 비록 수학과 과목에서 일부만 발췌해서 정리해 놓은 것이라고 해도, 전문 지식을 갖춘 엔지니어를 양성하기 위한 고급수학이기 때문에 고교 수학에 비해 수준 차이가 확연하다.

따라서 공대 학부 과정을 이수하기 위해 필요로 하는 기본적인 수학이 망라되어 있으며, 수학 관련학과나 대학원에 진행하지 않는 이상 일반적으로 자연계 수학 필수 커리 중에서 가장 높은 단계의 수학을 배우는 과목이다. 일반적으로 공대 2학년에 이수하게 되어 있으며, 일반적으로 선행 과목으로 1학년 때 배우는 미분적분학 선형대수학 이수가 필요하다.

수학이라는 타이틀을 달고는 있어도 수학과의 주요 수학 과목들과는 이질적인 면이 많다. 왜냐하면 수학은 수학이지만 철저히 공대생을 위한 수학이기 때문에 수학의 방대한 주제들에 관한 내용을 짧은 기간에 필요한 것만 배우기 때문이다. 즉, 수학을 그 자체의 학문이 아니라 공학을 이해하고 공부하는데 필요한 도구로서 사용하기 위해 필요한 수학 지식을 배우는 것이라고 봐야 한다. 그마저도 대학원에 간다면 학부 과정에서 배우는 공업수학으로는 대부분 턱없이 부족하다. 그래서 대학원에 갈 사람들은 미분방정식과 선형대수학을 따로 배우는 것이 좋다. 참고로 공업수학은 수학과에서 가르치는 과목이 아니라 공과대학에서 가르치는 과목이며, 수학과 학생들은 굳이 이수할 필요가 없는 경우가 절대다수이다.[4]

푸리에 변환 또한 통신 분야에서 폭넓게 쓰이며, 벡터미적분학 또한 전자기학을 비롯한 과목에서 쓰인다. 대부분의 교수들은 "공업수학을 배웠다"를 완벽하게 이해했다는 것으로 알고 수업을 하기 때문에(시간관계상 설명 못하는 부분도 있고) 꼭 열심히 들어야 한다.

2. 실제 공대에서

2.1. 수강 시기

공과대학에 진학한 뒤 전공 과목으로 듣게 되는 수학 과목이다. 대부분 미적분학 선형대수학을 이수한 후 2학년 때 이 과목을 배운다. 간혹 1학년에 미적분학 및 선형대수학을 배우면서 함께 시작하는 경우가 있다.[5]

보통 공과대학들은 이들을 '전공필수(전필) 과목'으로 지정하니, 이걸 F 받거나 하면 패스할 때까지 들어야 하고[6][7] 공학수학이 선수과목으로 걸려 있는 전공과목을 들을 수도 없게 되어 그렇기 때문에 재수강생들이 많은 과목이다. 대부분의 대학에서 필수로 지정하는 과목이기도 하고, 무엇보다도 학력이 낮은 대학교는 공대에도 수학포기자들이 많아서 낮은 학점을 받는 경우가 많기 때문.

같은 공과대학이라도 전공이 전화기 외에도 컴퓨터공학, 재료공학 등으로 매우 다양해서 요구되는 수학의 수준도 크고 작은 차이가 존재하기 때문에, 같은 학교여도 전공이 다르면[8], 혹은 같은 전공이라도 학교가 다르면 공업수학을 소화하는 기간이나 분량 등에서 큰 차이를 보인다. 예를 들어 환경공학이라면 그렇게 비중이 크진 않지만 전자공학, 기계공학이라면 애인처럼 끼고 살아야 하고 그런데 진짜 애인은 안 생겨요. 심지어는 공업수학을 아예 개설하지 않고 수학과 과목들 중 공업수학에 포함된 과목들을 따로 수강하라고 방목(...)하는 대학도 있다. 대표적인 학교가 카이스트 포항공과대학교이다.

물리학과, 수학과, 통계학과, 사범대학 수학교육과 학생들도 실용적인 목적의 수학을 공부하기 위해, 혹은 공대 복수전공이나 편입 등을 위해 찾아오는 경우가 있다. 특히 편입의 경우 자연계 대학 편입학에서 미적분학과 함께 매우 중요하게 여겨지는 과목이다. 다만 새로 편입한 대학에서 들을 일은 없다. 전적대학에서 이수를 하고 오기를 요구하는게 보통. 또한 편입시험에서 일부 대학들을 제외하면 수학 출제범위가 공업수학을 고스란히 포함하기 때문에 편입 후 머리를 포맷해버리지 않고서는 수학 때문에 문제될 일은 없다.

2.2. 학과별 차이

대학마다 천차만별 케바케라서 확실하게 단언하는 것은 금물이지만, 주로 공과대학 소속 교수나 해당 과의 커리큘럼을 잘 이해하고 있는 수학과 교수가 배정되는 것은 비슷하되, 그 교수의 전공에 따라서도 강의의 방향 등에서 차이가 있다. 이과의 기초과목 '수학, 과탐'의 연장선격인 미적분학, 일반물리학, 일반화학, 일반생물학처럼 공과대학의 수강대상자 전원이 한 커리큘럼으로 배우는 경우도 있지만, 공과대학은 전공별로 필요한 수학적 역량이 다르다는 점에서 아예 전자과 전용(전자수학), 화공과 전용(화공수학), 기계과 전용(기계수학) 같은 식으로 과마다 전용 강의를 진행하기도 한다. 이 경우는 각 해당학과 교수가 강의하게 된다.

전자/화공/기계는 필요한 범위가 어느 정도 일률적으로 말할 정도는 된다. 토목공학/건축공학의 경우 동역학, 정역학과 함께 구조역학이 주요 학문중 하나이기 때문에 공업수학의 중요성이 매우 크다. 예컨대 공업수학에서 배우는 파동방정식을 모르면 동역학의 대부분의 내용을 이해할 수 없다.

한편, 컴퓨터공학과의 경우 색다른 커리큘럼의 수학을 배울 수도 있다. 임베디드 시스템의 경우 하드웨어, 회로를 만진다면 전자공학 쪽이라 비슷하지만, 보통은 독자노선을 걷게 된다. 수치해석, 선형대수, 이산수학, 통계학, 정수론, 미분기하학 쪽을 더 치중해서 배우게 되는데... 이쯤되면 그냥 수학과 아닌가???[9] 게다가 컴공의 경우도 공부하는 분야에 따라서 필요한 수학도 천차만별이다. 컴퓨터 시스템 계열에선 알고리즘/오토마타/정수론이, 컴퓨터 그래픽스나 디지털 영상처리 전공 시에는 미분기하학, 공간/벡터, 선형대수, 푸리에 해석 등을 다루게 된다.

의공학과는 크레이직(Kreyszig, 10판 원서)를 쓰는 고려대학교 기준으로 1학기에 1~6장, 2학기에 7, 8, 11~14장을 나간다. 즉 상미분방정식, 선형대수, 푸리에 해석, 편미분방정식, 복소미적분까지 다룬다.

2.3. 분량

보통 두 학기 분량으로 진행하는 경우가 많지만[10] 학교나 전공에 따라서는 세 학기 분량을 소화하며 피눈물을 흘려야 하는 경우도 있고[11][12], 반대로 한 학기 만에 뚝딱 끝내는 경우도 왕왕 있다. 일례로 어느 대학의 컴퓨터공학과의 경우 공업수학은 한 학기만 듣고 정수론이나 이산수학, 통계학에 나머지 한 학기를 할당한다. 심지어는 공업수학 ABCDE로 나눠놓고 A는 공통, BCDE는 학과별로 정해서 다른 내용을 배우는 학교도 있다.[13] 이러한 분량의 차이는 학교별 교육 방식과 더불어 각 전공에서 요구하는 수학의 수준에 따라 해당 부분에 대해 얼마나 깊이 다루느냐가 달라지기 때문이라 볼 수 있다. 또한 이렇게 대학별로 학과별로 학생들에게 요구되는 수준이 천차만별이라 수학 전공 교수들이 강의를 하는 경우가 많지 않다는 점이 다른 수학 과목들에 비해 이색적이다. 사실 공과대학 과목이니 당연하다고 볼 수도 있다.

2.4. 배우는 내용

배우는 내용은 미적분학 교과서에서 다루는 벡터미적분 같은 내용부터 시작해서 미분방정식, 해석학, 선형대수학이 기본으로 들어가고, 이산수학, 확률론, 통계학 등의 여러 분야가 옵션으로 소개되는 등 과목의 범위 자체가 하나로 정의할 수 없이 매우 넓은 편이다. 문제는 이를 배우는 데 있어 정석적인 과정이나 접근방식은 과목별로 매우 차이가 난다는 점인데... 4년 내내 수학만 공부할 수도 없는 공대생들에게는 이것들을 일일이 개별 과목으로 섭렵하려면 애로사항이 굉장히 많다. 이 때문에 학생의 입장에서는 대학 들어왔더니 수학 교육이 고등학교때보다 더 중구난방이라는 느낌을 받을 수 있다. 사실, 이런저런 욕은 먹고 있지만 한국의 초중고 수학교육은 나름대로 체계적이고 꼼꼼한 편이다. 또한 과거의 학력고사 세대와는 달리 정리 그 자체보다는 유도과정이나 논리적 추론이 강조되는 추세이다. 고등학생 때 교사들과 강사들이 수능 문제가 좋은 문제라고 괜히 강조하는 게 아니다. 그러나 공업수학은 '많은 내용+적은 강의 시간+문제 풀이 위주의 교육'이라는 콤보가 겹쳐 초중고에 비해 교육이 매우 허술한 게 현실이다. 더군다나 많은 남학생들이 1학년 수료 후~2학년 여름방학에 군 입대를 하는데, 이 시기는 공업수학을 배우기 직전이나 한창 배우고 있는 시기와 겹친다. 따라서 전역한 남학생들은 기초 개념이 증발한 채 수업을 듣게 되는 문제점이 있다. 물론 다시 복습하면 어느 정도 기억이 돌아오지만, 입대 전에 체계적으로 쌓아올린 수학적 기초를 중구난방으로 땜질한다는 느낌을 지울 수 없다. 물론 군대 때문에 학문의 기초가 무너지는 게 수학뿐만은 아니지만. 이 때문에 빠른 시간에 공학계열 과목 수강에 문제가 없을 정도로까지 실용적인 목적의 수학을 숙달시키기 위해 만들어진 과목이 바로 이 공업수학. 서로 이질적인 과목들을 한 과목으로 묶어버린 성격상 대학 강의가 아니라 독학을 하는 사람에게는 맥이 끊기지 않으면서도 각자가 주안점을 둔 파트의 내용이 알찬 교과서를 선택하는 것이 중요하다.

2.5. 공학용 계산기와의 연관

공학용 계산기가 공학적으로 필요한 수학적 계산(행렬, 복소수 연산 등)을 쉽고 빠르게 해 내도록 고안된 장치이므로 원초적으로는 공업수학과 떼려야 뗄 수 없는 관계에 있다. 애초에 공업수학을 제대로 익히지 못하면 계산기도 제대로 쓸 수 없으니까. 다만 공업수학 시험에 따라 공학용 계산기를 쓰는 것을 허용하지 않거나, 혹은 문제 출제 방식에 따라 계산기가 별로 쓸모없는 경우가 있는 등[14] 케바케이다.

요즘은 공학용 계산기의 휴대성이 필요한 일을 할 때도 스마트폰이나 태블릿 PC라는 대안이 있어서 오히려 공학용 계산기를 가질 의미가 퇴색한 편이다. 하지만 TI 계산기가 출동한다면 어떨까? 개인 공부 용도로 쓴다면 어차피 휴대성은 별로 중요하지 않기 때문에 MATLAB 등으로 직접 코딩을 하거나, Wolfram Alpha같은 시뮬레이션 프로그램을 돌리는 게 훨씬 효율적일 것이다. 따라서 현재는 부정행위 문제로 스마트폰, 태블릿 PC 등의 반입이 금지되는 각종 시험이 아닌 이상 공학용 계산기는 잘 쓰이지 않는다. 공학시험용 계산기

3. 교과서

  • Erwin O. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics
    전세계적으로 가장 많이 쓰이는 교과서. 독일계 캐나다인 수학자 에르빈 크라이스치히가 저술하였다. 번역판은 공업수학으로 출판된다. 이름이 읽기가 난해하기에 한국의 대학생들은 그냥 어윈 크레이직크레이지이라고 읽는 경우가 많다.[15] 같은 독일어권인 오스트리아 출신 월터 루딘(Walter Rudin)보다도 발음 왜곡이 심하다. 저자는 2008년 말에 작고했지만 이후에도 계속해서 개정판이 나오고 있다. 국내 기준으로는 2012년에 10판까지 나온 상태. 일반 버전(의 국제판/북미판)과 축약 버전이 판매되는데, 일반적인 경우 1권에서는 라플라스 변환과 벡터미적분까지, 2권에서는 푸리에 급수부터 복소해석, 수치해석까지 다루고, 축약버전은 복소해석까지만 나와있다. 잦은 오타는 덤. 10판 표지는 국제판이 고층빌딩, 북미판이 사장교(목포대교처럼 생긴 다리). 참고로 번역본을 구해서 읽으려 한다면 10판을 읽지 말고 무조건 9판을 구해서 읽길 권한다. 번역적으로 9판이 10판에 비하면 번역상태가 아주 좋다. 10판을 번역한 번역진들을 봤을때 9판을 번역했던 번역진들중 없는 사람도 있고 바뀐 사람도 있다. 아마 개정 10판을 번역하는 과정중에서 번역진들이 바뀌어서 그래서 10판 번역이 개판인듯 하다. 10판은 필체에서 번역투가 난무하는 반면 9판의 필체는 비교적 깔끔한 편이다. 2020년부터 기존 9판, 10판을 번역해 출판했던 범한서적판이 절판되고 텍스트북스가 판권을 얻어 새로 10판의 번역본을 출판하였다. 한편 9판 솔루션 영어본이 구글에 있다. 탕웨이가 들고 다니는 모습도 포착 되었다. # 10판 솔루션의 경우는 텍스트북스에서 발행한 것이 있다. (번역본이 아닌 자체적으로 펴낸 것으로 보인다). 식과 내용의 전개가 꽤 압축된 편이다. 강의 없이 책으로만 독학하기에는 설명이 부족할 수 있다.
    공업수학을 들을 일이 없는 수학과생들에게는 '크레이직' 하면 미분기하학, 함수해석학 등 다른 과목 교과서의 저자로도 잘 알려져 있으나, 의외로 Kreyszig는 공업수학의 핵심 진도라 할 수 있는 ODE나 PDE를 중점적으로 다루는 교과서는 따로 낸 적이 없다.
  • Dennis G. Zill, Advanced Engineering Mathematics
    위의 Kreyszig 저 다음으로 많이 쓰이는 교과서 중에 하나이다. Kreyszig보다는 설명이 자세하고 연습문제도 쉬운 편이지만, 매 챕터마다 문제 수가 매우 많다. 적게는 20개~많게는 100개가 넘어가는 수준. 따라서 공업수학을 처음 공부할 때나 독학할 때에는 Kreyszig보다 공부하기 수월하다. 번역판 제목은 Kreyszig과 다르게 공학수학으로 출간되며, Kreyszig보다 내용이 조금 적은 편이다. 1권은 상미분방정식과 선형대수 파트, 연립 미분방정식이 수록되어 있으며, 2권은 Fourier해석과 복소해석이 수록되어있다. Kreyszig에 수록되어 있는 수치해석과 최적화, 그래프, 확률통계 [16]가 없는 것이 아쉬운 부분. 5판에는 X 실험기 시리즈 보잉 팬텀 웍스의 X-48B가 나와있고, 해답지가 별도로 나온다. 2017년에 6판이 나왔는데, 표지는 번역판 표지는 사장교이며, 북미판은 우주선이다. [17] 그리고 6판 기준 북미판과 국제판의 내용 차이가 없다. [18] 2021년 기준으로 현재 판매 중인 판본은 7판.
    Zill은 미적분학, 복소해석학이나 미분방정식 등 일부 전공수학 과목의 교과서도 같이 내곤 하지만, Kreyszig와 달리 대학원 레벨의 고급과정의 저서를 내놓지는 않는 편이라 수학과 학생들은 Zill의 저서를 본 적이 없는 사람들도 많다.

그 밖에 K.A. Stroud나 Peter V. O'Neil의 저서도 많이 쓰이지만 Kreyszig과 Zill에는 미치지 못하는 편이다. O'Neil의 경우 독학용으로도 종종 사용된다. 독자들은 Zill보다 Kreyszig이 더 고난도라고 여기는 경향이 있다.

역시나 과마다, 대학교마다 수업 내용이 다른 것처럼 교과서 역시 다른데 같은 대학교라도 소속 단과대학마다 다르기도 하고, 심지어는 같은 단과대학(대부분 공과대학) 소속이라도 학과마다 다른 교재를 쓰기도 하며 심지어 같은 학과라도 교수에 따라 다른 교재를 쓰기도 한다.


[1] 과목명이나 필수/선택 지정 범위는 학교, 학과마다 차이가 있을 수 있다. 대부분은 '공학수학', '공업수학'( 학점은행제에서는 이 이름을 채택하였다) 정도로 무난하게 짓는 경우가 많지만, 가끔 전혀 다른 이름으로 개설되는 경우도 있다. '고등미적분학'이라는 과목을 찾아봤더니 교재 공지가 크레이직 공업수학이라고 뜨는등... 물론 다른 이름으로 개설된 경우에도 수학 과목임은 명백히 알아볼 수 있게 개설하니 구분하기는 쉽다. [2] 이런 경우 미분방정식 선형대수학을 수학과로부터 듣고 와야 하는 경우가 많다. [3] 건축학과의 커리큘럼은 오로지 건축설계뿐이다. [4] 다만 공대 교수가 이런저런 사정으로 가르칠 수 없을 때 수학과 교수들이 강의를 대신 땜빵해주거나, 아예 수학과에서 교양과목 형식으로 개설해 주기도 한다. [5] 과거 한때 연세대 공대에서 이 과목을 1학년 필수 과목으로 지정한 적이 있었다. 1학년에 입학하자마자 3월 한달 동안 연대 공대 전용 교재로 1학년 과정의 급수, 벡터, 선형대수 기초 등을 속성으로 배운 후 4월부터 크레이직 책으로 미방을 배우기 시작했었다. [6] 다만 필수 과목인지라 어지간히 농땡이 안 피우고 시험을 0점 받지 않는한 웬만해서는 F는 안 주려고 한다. 다만 공업수학을 제대로 하지 못한다면 추후 전공 수업도 제대로 따라갈 수조차 없기 때문에 F는 안 받더라도 최대한 수업을 잘 듣고 배운 내용을 잘 소화하는 것이 좋다. [7] 따라서 수요가 많기에 두 자릿 수 이상의 여러 분반을 편성하여 개설시키고 계절학기에서도 반드시 개설된다. [8] 이 때문에 단과대보다 범주가 작은, 학과 차원에서 강좌를 개설하고 석차를 같은 학과생들끼리 매기는 경우가 일반적이다. 타 학과생이 신청하면 전공필수가 아닌 자유선택으로 배정되어 전공학점으로 인정되지 않는다. [9] 괜히 수학과생들의 복수전공 1지망 분야가 컴퓨터겠는가? 보통은 수학과에서 컴퓨터 같이 공부하던 학생들이 컴퓨터를 공부하러 공과대학원으로 오는 식이지만, 가끔 역으로 컴공에서 이쪽 수학에 맛 들이고 이쪽 과목들을 듣다가 자기 이뻐하는 수학과 교수한테 영입당하는 경우나 컴공 커리큘럼을 보면서 수학 교직을 노리면서 수학을 복수전공으로 하는 경우도 있다. 서로의 분야에의 진입장벽이 다른 공학계열과의 진입장벽에 비해서도 그리 높지 않기 때문에 가능한 일. [10] 이 경우 공업수학Ⅰ, 공업수학Ⅱ로 나누어 배우게 된다. 대개 둘 다 필수이나, 전기전자를 제외한 고려대학교 공과대학, 단국대학교 공과대학 및 SW융합대학처럼 Ⅰ만 필수고 Ⅱ는 선택인 곳도 있다. 고려대 전기전자는 I, II 모두 필수이다. 숭실대학교 또한 전기/전자/정보통신 모두 I, II 모두 필수이다. 보건과학대학 소속인 바이오의공학부는 특이하게 Ⅰ이 선택이고 Ⅱ만 필수이다. 원래 Ⅰ, Ⅱ 모두 필수였으나 2021년부터 변경되었다. [11] 공업수학Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ로 나누어 배우게 된다. 대표적으로 서울 소재 한양대학교 서울캠퍼스 기계공학부와 화학공학과, 건설환경공학과, 원자력공학과. Ⅲ은 선택과목으로 걸어둔 경우도 많은데 이 두 과에서는 졸업필수과목이다. [12] 이 경우 Ⅰ에서 행렬과 미분방정식, Ⅱ에서 복소미적분 관련 내용을 배우며 Ⅲ에서 푸리에 변환과 편미분방정식을 배운다. [13] 이 경우 A는 앞 학기, BCDE는 뒤 학기에 개설하게 된다. [14] 해석학적으로만 풀 수 있는 문제들의 경우( 미분방정식) [15] 미국에서도 실제 발음으로 읽기보다는 그냥 '어윈 크레이직'이라고 읽는 경우가 많다. [16] Kreyszig 원서에는 수록되어 있는 파트고 Zill은 해당 확률과 통계 파트가 챕터 2개로 되어 있는데 북미 현지 학생들을 대상으로 유료로 pdf 판으로 판매하고 있다. https://www.jblearning.com/catalog/productdetails/9781284207989 [17] 이 아저씨는 수학과 학생들을 위한 미분방정식 입문(A First Course in Differential Equations with Modelling Applications), 미분방정식과 응용(Differential Equations with Boundary-value Problems) 같은 책들에다가도 우주인들의 EVA 같은 사진을 써먹는다. 진성 우주덕이신 듯. [18] 국제판 뒤에 북미판과 내용 차이가 있을 수 있다고 표시해 놨는데, 둘 다 펴서 확인한 결과, 큰 차이가 없다.