최근 수정 시각 : 2024-04-24 01:14:43

부분분수분해

[[대수학|대수학
Algebra
]]
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"
이론
기본 대상 연산 · 항등식( 가비의 이 · 곱셈 공식( 통분 · 약분) · 인수분해) · 부등식( 절대부등식) · 방정식( 풀이 · ( 무연근 · 허근 · 비에트의 정리( 근과 계수의 관계) · 제곱근( 이중근호 · 개방법) · 환원 불능) · 부정 · 불능) · 비례식 · 다항식 · 산술( 시계 산술)
수 체계 자연수( 소수) · 정수( 음수) · 유리수 · 실수( 무리수( 대수적 무리수 · 초월수) · 초실수) · 복소수( 허수) · 사원수 · 팔원수 · 대수적 수 · 벡터 공간
다루는 대상과 주요 토픽
대수적 구조
군(group) 대칭군 · 기본군 · 자유군 · 리 군 · 괴물군 · 점군 · 순환군 · 군의 작용 · 동형 정리 · 실로우 정리
환(ring) 아이디얼
체(field) 갈루아 이론 · 분해체
대수 가환대수 · 리 대수 · 불 대수( 크로네커 델타)
마그마· 반군· 모노이드 자유 모노이드 · 가환 모노이드
선형대수학 벡터 · 행렬 · 텐서( 텐서곱) · 벡터 공간( 선형사상) · 가군(module) · 내적 공간( 그람-슈미트 과정 · 수반 연산자)
정리·추측
대수학의 기본정리 · 나머지 정리 · 유클리드 호제법 · 부분분수분해 · PID 위의 유한생성 가군의 기본정리 · 산술·기하 평균 부등식 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 호지 추측미해결 · 가환대수에서의 호몰로지 추측미해결
관련 하위 분야
범주론 함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 · 토포스 이론 · 타입 이론
대수 위상수학 연속변형성 · 사슬 복합체 · 호몰로지 대수학( 호몰로지 · 코호몰로지) · mapping class group · 닐센-서스턴 분류
대수기하학 대수다양체 · · 스킴 · 에탈 코호몰로지 · 모티브
대수적 정수론 타원곡선 · 디오판토스 방정식 · 유리근 정리 · 모듈러성 정리
가환대수학 스펙트럼 정리
표현론 실베스터 행렬
기타 및 관련 문서
수학 관련 정보 · 추상화 · 1학년의 꿈 · 노름 · 혼합계산 · 분배법칙 · 교환법칙 · 결합법칙 · 교재 }}}}}}}}}

해석학· 미적분학
Analysis · Calculus
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"
<colbgcolor=#26455A>실수와 복소수 실수( 실직선 · 아르키메데스 성질) · 복소수( 복소평면 · 극형식 · 편각) · 근방 · 유계 · 콤팩트성 · 완비성
함수 함수 · 조각적 정의 · 항등함수 · 역함수 · 멱함수 · 다변수함수( 동차함수 · 음함수) · 다가 함수 · 함수의 그래프 · 좌표계 · 닮은꼴 함수 · 극값 · 볼록/오목 · 증감표
초등함수( 대수함수 · 초월함수 · 로그함수 · 지수함수 · 삼각함수) · 특수함수 · 범함수( 변분법 · 오일러 방정식) · 병리적 함수
극한·연속 함수의 극한 · 수열의 극한 · 연속함수 · ε-δ 논법 · 수렴( 균등수렴) · 발산 · 부정형 · 점근선 · 무한대 · 무한소 · 0.999…=1
중간값 정리 · 최대·최소 정리 · 부동점 정리 · 스털링 근사 · 선형근사( 어림)
수열· 급수 수열 · 급수( 멱급수 · 테일러 급수( 일람) · 조화급수 · 그란디 급수( 라마누잔합) · 망원급수( 부분분수분해)) · 그물
오일러 수열 · 베르누이 수열 · 월리스 곱
단조 수렴 정리 · 슈톨츠-체사로 정리 · 축소구간정리 · 급수의 수렴 판정 · 리만 재배열 정리 · 바젤 문제 · 파울하버의 공식 · 오일러-매클로린 공식 · 콜라츠 추측미해결
미분 미분 · 도함수( 이계도함수 · 도함수 일람) · 곱미분 · 몫미분 · 연쇄 법칙 · 임계점( 변곡점 · 안장점) · 매끄러움
평균값 정리( 롤의 정리) · 테일러 정리 · 역함수 정리 · 다르부 정리 · 로피탈 정리
립시츠 규칙 · 뉴턴-랩슨 방법 · 유율법
적분 적분 · 정적분( 예제) · 스틸체스 적분 · 부정적분( 부정적분 일람) · 부분적분( LIATE 법칙 · 도표적분법 · 예제) · 치환적분 · 이상적분( 코시 주요값)
미적분의 기본정리 · 적분의 평균값 정리
리시 방법 · 2학년의 꿈
다변수· 벡터 미적분 편도함수 · 미분형식 · · 중적분( 선적분 · 면적분 · 야코비안) · 야코비 공식
라그랑주 승수법 · 오일러 동차함수 정리 · 선적분의 기본정리 · 스토크스 정리( 발산 정리 · 그린 정리 변분법
미분방정식 미분방정식( 풀이) · 라플라스 변환
측도론 측도 · 가측함수 · 곱측도 · 르베그 적분 · 절대 연속 측도 · 라돈-니코딤 도함수
칸토어 집합 · 비탈리 집합
복소해석 코시-리만 방정식 · 로랑 급수 · 유수 · 해석적 연속 · 오일러 공식( 오일러 등식 · 드 무아브르 공식) · 리우빌의 정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리
함수해석 공간 위상 벡터 공간 · 국소 볼록 공간 · 거리공간 · 프레셰 공간 · 노름공간 · 바나흐 공간 · 내적공간 · 힐베르트 공간 · Lp 공간
작용소 수반 작용소 · 에르미트 작용소 · 정규 작용소 · 유니터리 작용소 · 컴팩트 작용소
대수 C*-대수 · 폰 노이만 대수
정리 한-바나흐 정리 · 스펙트럼 정리 · 베르 범주 정리
이론 디랙 델타 함수( 분포이론)
조화해석 푸리에 해석( 푸리에 변환 · 아다마르 변환)
관련 분야 해석기하학 · 미분기하학 · 해석적 정수론( 1의 거듭제곱근 · 가우스 정수 · 아이젠슈타인 정수 · 소수 정리 · 리만 가설미해결) · 확률론( 확률변수 · 중심극한정리) · 수치해석학 · 카오스 이론 · 분수계 미적분학 · 수리물리학 · 수리경제학( 경제수학) · 공업수학
양-밀스 질량 간극 가설미해결 · 나비에 스토크스 방정식의 해 존재 및 매끄러움미해결
기타 퍼지 논리
}}}}}}}}} ||


1. 개요2. 유리식의 표준 부분분수분해3. 구하는 법
3.1. Heaviside cover-up method3.2. 테일러 전개
4. 항등식5. 활용

1. 개요

/ partial fraction decomposition
[math(\begin{aligned}
\dfrac1{x^2-1} = \dfrac12 \!\left( \dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+1} \right)
\end{aligned} )]
통분되어 있는 분수를 다른 분수들의 합과 차로 분해하는 것을 말한다. 위의 예시처럼 보통 유리식에서 더 낮은 차수의 분모들로 분해하거나, 경시대회 등에서 [math(\frac1{AB} = \frac1{B-A} \bigl( \frac1A-\frac1B \bigr))] 등의 항등식을 이용해 아래 예시처럼 급수 망원급수 형태로 바꾸어 값을 구한다거나 하는 경우가 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{k=1}^n \frac1{k(k+1)(k+2)\cdots(k+m)} = \frac1m \biggl( \frac1{m!} -\frac1{(n+1)(n+2)\cdots(n+m)} \biggr)
\end{aligned} )]
하지만 중등교과과정 이상에서 보통 부분분수분해는, 아래의 문단에서 얘기하는 유리식의 표준 부분분수분해를 일컫는다.

2. 유리식의 표준 부분분수분해

유리식의 표준 부분분수분해
두 다항식 [math(p(x)\in F[x])], [math(q(x)\in F[x])]에 대해 [math(q(x) \neq 0)]가 기약다항식의 곱 [math(q = q_1^{e_1} q_2^{e_2} \cdots q_k^{e_k})]로 인수분해 된다고 하자. 그러면 다음을 만족하는 다항식들 [math(a(x))], [math(b_{i,j}(x))]이 유일하게 존재한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{p(x)}{q(x)} = a(x) +\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{e_i} \frac{b_{i,j}(x)}{\{q_i(x)\}^j} \qquad \deg(b_{i,j}) < \deg(q_i)
\end{aligned} )]

특히, [math(\deg(p) < \deg(q))]이면[1] [math(a=0)]이다.

배경인 [math(F)]가 바뀌면 기약다항식이 바뀌므로 인수분해 꼴도 바뀌어 다른 부분분수분해를 볼 수 있다. 예를 들어 유리수 및 실수 위에서는
[math(\begin{aligned}
\dfrac1{x^3+1} = \dfrac{1/3}{x+1} +\dfrac{2/3-x/3}{x^2-x+1}
\end{aligned} )]
로 분해되는 분수가 복소수 위에서는
[math(\begin{aligned}
\dfrac1{x^3+1} = \dfrac{1/3}{x+1} +\dfrac{\omega/3}{x+\omega} +\dfrac{\omega^2/3}{x+\omega^2} \qquad \biggl( \omega = \dfrac{-1+\sqrt3i}2 \biggr)
\end{aligned} )]
로 분해되는 식.

한편, 분모에 완전제곱식이 들어가 있으면 다음과 같이 된다.
[math(\begin{aligned}
\dfrac{x+1}{x^6+2x^4+x^2} = \dfrac1x +\dfrac1{x^2} +\dfrac{-x-1}{x^2+1} +\dfrac{-x-1}{(x^2+1)^2}
\end{aligned} )]
물론 이 예시는 유리수/실수 위에서고, 복소수 위에서는 [math(c/(x+i)^2)] 꼴 등이 나올 것이다.

대수학의 기본정리에 따르면, 복소계수 기약다항식은 일차다항식밖에 없고 실계수 기약다항식은 일차다항식 혹은 허근을 갖는 이차다항식이 전부이기 때문에, 복소수의 경우 [math(q_i)]들을 1차로 놓을 수 있고 실수의 경우 [math(q_i)]들을 1차 혹은 2차로 놓을 수 있다. 유리수계수로 한정하면 더욱 높은 차수가 나올 수 있다.

존재성 및 유일성의 증명은 교과과정에선 명시적으로 나오지 않는데, 베주 항등식에 의존하기 때문.
{{{#!folding [존재성 증명]
우선 다음의 보조정리를 먼저 증명한다.
<table width=100%>
다항식 [math(q_1(x))], [math(q_2(x))]가 서로소일 때, 다음을 만족하는 다항식 [math(r_1(x))], [math(r_2(x))]가 존재한다.

[math(\begin{aligned}
\dfrac1{q_1q_2} = \dfrac{r_1}{q_1} +\dfrac{r_2}{q_2}
\end{aligned} )]
저 분수식은 [math(r_1q_2 +r_2q_1 = 1)]과 동치이므로, 사실상 베주 항등식이다. 이 보조정리와 귀납법을 활용하면 유리식을 분모가 [math(q_i^{e_i})]인 유리식들의 합으로 일단 분해할 수 있다. 각각의 [math(b(x)/\{q_i(x)\}^{e_i})] 꼴에 대해서는 일단 몫을 덜어내고, 그 다음에 [math(b)]를 [math(q_i)]로 나눈 나머지를 [math(b_{i,e_i})]로 놓아 [math(b_{i,e_i}/{q_i}^{e_i})]을 덜어내고, 남은 부분 [math(b'/{q_i}^{e_i-1})]에서 다시 분모 [math(q_i^{e_i-1})] 부분을 덜어내고...의 과정을 반복하면 된다.
}}}||
[유일성 증명]
-------
만약 표준 부분분수분해에 두 가지 방법이 있다면, 두 식을 빼서 비교하면 부분분수로 0을 나타내는 자명하지 않은 방법이 있다는 소리이다. 다음 식을 생각한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
0 = a(x) +\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{e_i} \frac{b_{i,j}(x)}{\{q_i(x)\}^j}
\end{aligned} )]

양 변에 [math(q(x))]를 곱하고, [math(q_i(x))]로의 나누어 떨어짐을 생각한다. 그러면 [math(q_i \vert b_{i,e_i})]이므로, 차수 조건에 의해 [math(b_{i,e_i}=0)]이다. 양 변에 [math(q(x))] 대신 [math(q(x)/q_i(x))]를 곱하면 비슷하게 [math(b_{i,e_i-1}=0)]을 얻고, ... 이런 식으로 [math(b_{i,j}=0)]을 보인다. 그러면 자연스럽게 [math(a=0)]도 따라나와서, [math(a=0)]을 나타내는 방법이 유일하다는 것이 증명되고, 이는 처음의 가정인 "부분분수로 0을 나타내는 자명하지 않은 방법이 있다"[math(\Leftrightarrow)]"표준 부분분수분해에 두 가지 방법이 있다"와 모순. 따라서 이 가정은 틀렸고, 따라서 표준 부분분수분해에는 단 한 가지 방법밖에 없다.

3. 구하는 법

일단 존재성/유일성이 밝혀진 이상, 항등식을 찾아내는 전가의 보도와도 같은 미정계수법을 쓰면 된다. 양 변에 분모를 곱해 다항식으로 만들고 계수비교법을 사용하는 것이 보통이나, 자신이 있다면 [math(x)]에 직접 수를 대입해 구할 수도 있다. 이 대입법을 극한까지 활용한 다음 기법이 있다.

3.1. Heaviside cover-up method

헤비사이드의 가리기법( Heaviside cover-up method)
분모가 서로 다른 일차식으로 인수분해되는 다음 꼴의 부분분수분해에서

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{p(x)}{(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_k)} = \sum_{i=1}^k \frac{c_i}{x-\lambda_i} \qquad (\deg(p)<k)
\end{aligned} )]

각각의 계수들은 다음 식으로 구할 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
c_i = \frac{p(\lambda_i)}{\displaystyle \prod_{j\neq i} (\lambda_i-\lambda_j)} = \frac{p(\lambda_i)}{(\lambda_i-\lambda_1)\cdots(\lambda_i-\lambda_{i-1})(\lambda_i-\lambda_{i+1})\cdots(\lambda_i-\lambda_k)}
\end{aligned} )]
증명은 의외로 쉬운데, 양 변에 [math((x-\lambda_i))]를 곱하고 그 다음에 [math(x=\lambda_i)]를 대입하면 된다. 사용하기도 의외로 편하지만 쓸 수 있는 상황이 제한적이라는 당연하면서도 치명적인 단점이 있다. 다만 분모의 인수 중 제곱이 있더라도, 제곱이 아닌 인수 [math(x-\lambda)]에 대해서는 똑같은 방식으로 [math(c/(x-\lambda))] 부분을 구할 수 있다.

기법의 이름은 분모의 [math((x-\lambda))]들 및 관련 없는 항들을 싹 다 손으로 가리고(...) [math(x)]에 [math(\lambda)]를 대입하면 된다는 뜻.

이때, 다항함수/공식 문서에서 증명한 기울기 공식에 따르면
[math(\begin{aligned}
f(x) = a(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_n)
\end{aligned} )]
일 때 [math(f'(x_i))]의 값은 [math(\boldsymbol{f(x)})]에서 [math(\boldsymbol{(x-\lambda_i)})]를 지운 뒤 [math(\boldsymbol{x=\lambda_i})]를 대입한 값이므로, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
c_i = \frac{p(\lambda_i)}{\displaystyle \prod_{j\neq i} (\lambda_i-\lambda_j)} = \frac{p(\lambda_i)}{f'(\lambda_i)}
\end{aligned} )]
따라서 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{p(x)}{(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_k)} = \sum_{i=1}^k \frac{p(\lambda_i)}{(x-\lambda_i)f'(\lambda_i)}
\end{aligned} )]
이 형태의 공식은 다항함수/공식 문서의 4.3.1 문단에서 설명한 기울기의 역수의 합 공식의 증명에도 사용된 바 있다.

예시)
[math(\begin{aligned}
\dfrac{x^3+1}{x(x-2)^2(x-4)^2} = \dfrac cx + (\cdots)
\end{aligned} )]
다른 것들을 무시하고 [math(c)]만 구하고 싶다면, 양 변에 [math(x)]를 곱하고 [math(0)]을 대입하면 [math(c = \dfrac{0^3+1}{(0-2)^2(0-4)^2} = \dfrac1{64})]을 얻을 수 있다.

====# 예제 #====
파일:2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 42쪽 2번.jpg
2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 42쪽 2번
앞서 밝힌 공식에 의하여
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac1{f(x)} = \sum_{i=1}^n \frac1{(x-x_i)f'(x_i)}
\end{aligned} )]
이므로, 문제의 [math(g(x))]는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
g(x) &= \sum_{i=1}^3 \frac{f(x)}{(x-x_i)f'(x_i)} \\
&= \frac{f(x)}{f(x)} = 1
\end{aligned} )]
이때 [math(\{a_n\})]이 등차수열이어서 [math(a_1)], [math(a_2)], [math(a_3)]의 값이 모두 다르며, 문제에서 [math(f(x) = (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3))]이고 위 식에서 [math(n=3)]이므로 공식의 조건이 모두 성립하는 것이다.

결국 [math(g(x))]는 알고 보면 함숫값이 항상 [math(1)]인 상수함수에 불과하므로 정답은 ④이다.

실제 수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, [math(f(x))]를 미분하고 일일이 [math(g(x))]를 계산하여 정리한 다음 [math(x=a_4)]를 대입하는 일련의 과정이 너무 번거롭다.

파일:2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 42쪽 2번 수특 해설_수정.jpg
이때, 다항함수/공식 문서의 4.3 문단에서 설명한 기울기 공식에 따라 다음이 성립하는 것이다.
[math(\begin{aligned}
f'(a_1) &= (a_1-a_3)(a_2-a_3) \\
f'(a_2) &= (a_2-a_1)(a_2-a_3) \\
f'(a_3) &= (a_3-a_1)(a_3-a_2)
\end{aligned} )]

한편, [math(\{a_n\})]의 공차가 [math(2)]임을 이용하여 위 해설에 나온 대로 [math(g(a_n))]을 써 보면 다음과 같이 실제로 [math(n)]의 값에 관계없이 [math(1)]이 나온다.
[math(\begin{aligned}
g(a_n) &= \dfrac{(a_n-a_2)(a_n-a_3)}{(a_1-a_2)(a_1-a_3)} +\dfrac{(a_n-a_1)(a_n-a_3)}{(a_2-a_1)(a_2-a_3)} +\dfrac{(a_n-a_1)(a_n-a_2)}{(a_3-a_1)(a_3-a_2)} \\
&= \dfrac{2(n-2)\times2(n-3)}{(-2)\times(-4)} +\dfrac{2(n-1)\times2(n-3)}{2\times(-2)} +\dfrac{2(n-1)\times2(n-2)}{4\times2} \\
&= \dfrac{4(n-2)(n-3)-8(n-1)(n-3)+4(n-1)(n-2)}8 \\
&= \dfrac88 = 1
\end{aligned} )]

3.2. 테일러 전개

한편, [math(p(x))]가 [math(n)]차 다항식일 때, [math(p(x)/(x-a)^m)] 꼴인 경우에는, [math(x=a)]에서의 테일러전개를 하면 미정계수법 같은 지저분한 방법을 피할 수 있다.
다항식의 테일러 전개
[math(p(x))]가 [math(n)]차 다항식 일 때, 임의의 실수 [math(a)]에 대해 아래의 항등식이 성립한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
p(x) &= \sum_{i=0}^n \frac{p^{(i)}(a)}{i!} \,(x-a)^i \\
&= p(a) +\frac{p'(a)}{1!}\,(x-a) +\frac{p''(a)}{2!}\,(x-a)^2 +\cdots +\frac{p^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n
\end{aligned} )]
[2]
이를 이용하면
[math(\begin{aligned}
\dfrac{p(x)}{(x-a)^m} = \dfrac{p(a)}{0!\,(x-a)^m} +\dfrac{p'(a)}{1!\,(x-a)^{m-1}} +\cdots +\dfrac{p^{(n-1)}(a)}{(n-1)!\,(x-a)^{m-(n-1)}} +\dfrac{p^{(n)}(a)}{n!\,(x-a)^{m-n}}
\end{aligned} )]
가 된다.

예시)
[math(\begin{aligned}
\dfrac{x^4+3x^2-5x-2}{(x-2)^5}
\end{aligned} )]
일 때,
[math(\displaystyle \begin{aligned}
p(x) &= x^4+3x^2-5x-2 & p(2) &= 16 \\
p'(x) &= 4x^3+6x-5 & p'(2) &= 39 \\
p(x) &= 12x^2+6 & p(2) &= 54 \\
p(x) &= 24x & p(2) &= 48 \\
p^{(4)}(x) &= 24 & p^{(4)}(2) &= 24
\end{aligned} )]
이므로
[math(\begin{aligned}
\dfrac{x^5+3x^2-5x-2}{(x-2)^5} &= \dfrac{16}{0!\,(x-2)^5} +\frac{39}{1!\,(x-2)^4} +\frac{54}{2!\,(x-2)^3} +\frac{48}{3!\,(x-2)^2} +\frac{24}{4!\,(x-2)} \\
&= \dfrac{16}{(x-2)^5} +\frac{39}{(x-2)^4} +\frac{27}{(x-2)^3} +\frac8{(x-2)^2} +\frac1{(x-2)}
\end{aligned} )]

4. 항등식

유리식의 표준 부분분수분해가 아닌, 개요 문단에서 소개했던 [math(\frac1{AB} = \frac1{B-A} \bigl( \frac1A-\frac1B \bigr))]와 같은 형식의 부분분수분해 항등식도 여럿 소개한다.
  • 2개의 항으로 이루어진 분수를 분해할 경우
[math(\begin{aligned}
\dfrac1{AB} = \dfrac1{B-A} \biggl( \dfrac1A-\dfrac1B \biggr)
\end{aligned} )]}}}||
  • 3개 이상의 항으로 이루어진 분수를 분해할 경우 - 위의 경우를 응용하여 다양하게 분해 가능하다.
[math(\begin{aligned}
\dfrac1{ABC} &= \dfrac1{C-AB} \biggl( \dfrac1{AB}-\dfrac1C \biggr) = \dfrac1{BC-A} \biggl( \dfrac1A-\dfrac1{BC} \biggr) \\
&= \dfrac1{C-A} \biggl( \dfrac1{AB}-\dfrac1{BC} \biggr) = \dfrac1{B(C-A)} \biggl( \dfrac1{A}-\dfrac1{C} \biggr)
\end{aligned} )]}}}||
  • 부분분수분해를 이용한 무한급수
    • [math(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac1{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty \biggl( \frac1n-\frac1{n+1} \biggr) \!= 1)]
    • [math(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac1{n(n+1)(n+2)} = \sum_{n=1}^\infty \frac12 \biggl( \frac1{n(n+1)}-\frac1{(n+1)(n+2)} \biggr) \!= \frac14)]
    • [math(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac1{n(n+1)(n+2)(n+3)} = \sum_{n=1}^\infty \frac13 \biggl( \frac1{n(n+1)(n+2)}-\frac1{(n+1)(n+2)(n+3)} \biggr) \!= \frac1{18})]
    • [math(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac1{n(n+1)(n+2)\cdots(n+k)} = \sum_{n=1}^\infty \frac1k \biggl( \frac1{n\cdots(n+(k-1))}-\frac1{(n+1)\cdots(n+k)} \biggr) \!= \frac1{k\cdot k!})]

5. 활용

가장 먼저 등장하는 것은 유리함수 적분일 것이다. 실수 위에서 부분분수분해를 하면 모든 유리식의 적분을 다음 세 가지 꼴의 적분들의 합으로 모두 바꾸어 버릴 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \frac{{\rm d}x}{(x-a)^k}, \quad \int \frac{{\rm d}x}{((x-p)^2+q^2)^l}, \quad \int \frac{x-p}{((x-p)^2 + q^2)^l} \,{\rm d}x
\end{aligned} )]
첫 번째야 뭐 쉽고, 두 번째/세 번째가 조금 힘들지만 각각 삼각치환과 [math(y=(x-p)^2)]의 치환적분으로 해결 가능하다. 따라서 어떤 유리함수라도 분모를 이차식 이하의 인수들로 인수분해했으면 초등함수로 적분할 수 있는 것. 물론 계산은 무지 더러울 때가 많다.

그 다음으로 나오는 것이 라플라스 변환. 미분방정식의 해에 라플라스 변환을 해서 유리식을 얻고 [math(\to)] 부분분수 분해 [math(\to)] 역변환의 과정을 비슷하게 거친다. 조합론을 공부한다면 선형 점화식 생성함수 풀이도 비슷하게 볼 수 있다. 내용은 대수학스러운데 어찌 써먹는 건 다 해석학이다...

다음과 같은 이색적인(?) 부분분수 분해도 가능하다. 중국인의 나머지 정리와의 연관성을 볼 수 있을...수도?
[math(\begin{aligned}
\dfrac1{60} = -2 +\dfrac12 +\dfrac1{2^2} +\dfrac23 +\dfrac35
\end{aligned} )]
실제로 이 부분분수분해 진술은 다항식환 [math(F[x])]를 임의의 유클리드 정역으로 바꿔도 비슷하게 성립하긴 한다.

부분분수분해를 통하여 다항함수 미분계수에 대한 흥미로운 성질을 증명할 수도 있다. 다항함수/공식 문서의 역수의 합 문단 참고. 이미 위의 Heaviside cover-up method 문단에서 언급도 하고 사용도 한 공식이다.


[1] 즉, [math(p(x))]의 차수가 [math(q(x))]의 차수보다 작다면 [2] 미분을 아직 안 배웠다면, 다항식 [math(p(x))]에 대해서 [math(p'(x))]는 [math(x^k)]를 [math(kx^{k-1})]로 바꾸는 연산 결과라고 생각하면 된다. 예를 들어서 [math((4x^3+3x^2-3x+1)' = 4(3x^2)+3(2x)-3(1)+1(0) = 12x^2+6x+3)]이 된다. 한편 [math(p^{(n)}(x))]는, [math(p^{(0)}(x)=p(x))]이고 [math(p^{(k+1)}(x)=(p^{(k)}(x))')]로 정의된다.