최근 수정 시각 : 2022-05-30 22:10:02

부분분수분해

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Partial fraction decomposition
1. 개요2. 유리식의 표준 부분분수분해3. 구하는 법4. 활용

1. 개요

[math(\displaystyle \frac{1}{x^2-1} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right))]

통분되어 있는 분수를 다른 분수들의 합과 차로 분해하는 것을 말한다. 위의 예시처럼 보통 유리식에서 더 낮은 차수의 분모들로 분해하거나, 경시대회 등에서 [math({1\over {AB}}={1\over{B-A}}\left({1\over A}-{1\over B}\right))] 등의 항등식을 이용해 아래 예시처럼 급수 망원급수 형태로 바꾸어 값을 구한다거나 하는 경우가 있다.
[math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{1\over k(k+1)(k+2)\cdots(k+m)}={1\over m}\left({{1\over m!}-{1\over (n+1)(n+2)\cdots(n+m)}}\right))]

하지만 중등교과과정 이상에서 보통 부분분수분해는, 아래에 얘기하는 유리식의 표준 부분분수분해를 일컫는다.

2. 유리식의 표준 부분분수분해

유리식의 표준 부분분수분해
두 다항식 [math(p(x), q(x) \in F[x])]에 대해 [math(q(x) \neq 0)]가 기약다항식의 곱 [math(q = q_1^{e_1} q_2^{e_2} \cdots q_k^{e_k} )]로 인수분해된다고 하자. 그러면 다음을 만족하는 다항식들 [math(a(x), b_{i,j}(x))]이 유일하게 존재한다.
[math(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = a(x) + \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{e_i} \frac{ b_{i,j}(x)} {q_i(x)^{j}}, \quad \deg(b_{i,j})<\deg(q_i) )]
특히, [math(\deg(p)<\deg(q))]이면[1] [math(a=0)]이다.

배경인 [math(F)]가 바뀌면 기약다항식이 바뀌므로 인수분해 꼴도 바뀌어 다른 부분분수분해를 볼 수 있다. 예를 들어 유리수 및 실수 위에서는
[math(\displaystyle \frac{1}{x^3+1} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{2/3-x/3}{x^2 - x + 1} )]
이 복소수 위에서는
[math(\displaystyle \frac{1}{x^3+1} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{\omega/3}{x+\omega} + \frac{\omega^2/3}{x + \omega^2}, \quad \omega = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2})]
로 분해되는 식. 제곱식이 들어가 있으면
[math( \displaystyle \frac{x+1}{x^6+2x^4+x^2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{-x-1}{x^2+1} + \frac{-x-1}{(x^2+1)^2} )]
같은 예시가 있다. 물론 저건 유리수/실수 위에서고 복소수 위에서는 [math(c/(x+i)^2)] 꼴 등이 나올 것이다.

대수학의 기본정리에 따르면 복소계수 기약다항식은 일차다항식밖에 없고, 실계수 기약다항식은 일차다항식 혹은 허근을 갖는 이차다항식이 전부이기 때문에, 복소수/실수의 경우 [math(q_i)]들을 1차/1차 혹은 2차로 놓을 수 있다. 유리수계수로 한정하면 더욱 높은 차수가 나올 수 있다.

존재성 및 유일성의 증명은 교과과정에선 명시적으로 나오지 않는데, 베주 항등식에 의존하기 때문.
존재성 증명
우선 다음의 보조정리를 먼저 증명한다.
다항식 [math(q_1(x),q_2(x))]가 서로소일 때, 다음을 만족하는 다항식 [math(r_1(x),r_2(x))]가 존재한다: [math(\displaystyle \frac{1}{q_1 q_2} = \frac{r_1}{q_1} + \frac{r_2}{q_2} )]
저 분수식은 [math(r_1 q_2 + r_2 q_1 = 1)]과 동치이므로 사실상 베주 항등식이다. 이 보조정리와 귀납법을 활용하면 유리식을 분모가 [math(q_i^{e_i})]인 유리식들의 합으로 일단 분해할 수 있다. 각각의 [math(b(x)/q_i(x)^{e_i})] 꼴에 대해서는 일단 몫을 덜어내고, 그 다음에 [math(b)]를 [math(q_i)]로 나눈 나머지를 [math(b_{i,e_i})]로 놓아 [math(b_{i,e_i}/{q_i}^{e_i})]을 덜어내고, 남은 부분 [math(b'/{q_i}^{e_i -1})]에서 다시 분모 [math(q_i^{e_i -1})] 부분을 덜어내고... 의 과정을 반복하면 된다.

유일성 증명
만약 표준 부분분수분해의 두 가지 방법이 있다면, 두 식을 빼서 비교하면 부분분수로 0을 나타내는 자명하지 않은 방법이 있다는 소리이다. 다음 식을 생각한다.
[math(\displaystyle 0 = a(x) + \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{e_i} \frac{ b_{i,j}(x)} {q_i(x)^{j}} )]
양변에 [math(q(x))]를 곱하고, [math(q_i(x))]로의 나누어떨어짐을 생각한다. 그러면 [math(q_i \vert b_{i,e_i} )]이므로, 차수조건에 의해 [math(b_{i,e_i}=0)]이다. 양변에 [math(q(x))] 대신 [math(q(x)/q_i(x))]를 곱하면 비슷하게 [math(b_{i,e_i-1}=0)]을 얻고, ... 이런 식으로 [math(b_{i,j}=0)]을 보인다. 그러면 자연스럽게 [math(a=0)]도 따라나와서, [math(a=0)]을 나타내는 방법이 유일하다는 것이 증명되므로 모순.

3. 구하는 법

일단 존재성/유일성이 밝혀진 이상, 항등식을 찾아내는 전가의 보도 미정계수법을 쓰면 된다. (...) 양쪽에 분모를 곱해 다항식으로 만들고 계수비교법을 사용하는 것이 보통이나, 자신이 있다면 [math(x)]에 직접 숫자를 대입할 수도 있다. 이 대입법을 극한까지 활용한 다음 기법이 있다.
Heaviside의 가리기법(cover-up method)
분모가 서로 다른 일차식으로 인수분해되는 다음 꼴의 부분분수분해에서
[math(\displaystyle \frac{p(x)}{(x-\lambda_1)(x-\lambda_2) \cdots (x-\lambda_k)} = \sum_{i=1}^{k} \frac{c_i}{x-\lambda_i}, \quad \deg(p)<k)]
각각의 계수들은 다음 식으로 구할 수 있다.
[math(\displaystyle c_{i} = \frac{p(\lambda_i)}{\displaystyle\prod_{{j}\neq{i}}(\lambda_{i}-\lambda_{j})} = \frac{p(\lambda_i)}{(\lambda_i-\lambda_1)\cdots(\lambda_i-\lambda_{i-1})(\lambda_{i}-\lambda_{i+1}) \cdots(\lambda_i-\lambda_k)} )]
증명은 의외로 쉬운데, 양변에 [math((x-\lambda_{i}))]를 곱하고 그 다음에 [math(x=\lambda_i)]를 대입하면 된다. 사용하기도 의외로 편하지만 쓸 수 있는 상황이 제한적이라는 당연하면서도 치명적인 단점이 있다. 다만 분모의 인수 중 제곱이 있더라도, 제곱이 아닌 인수 [math(x-\lambda)]에 대해서는 똑같은 방식으로 [math(c/(x-\lambda))] 부분을 구할 수 있다.
기법의 이름은 분모의 [math((x-\lambda))]들+관련없는 항들을 싹다 손으로 가리고(...) [math(x)]에 [math(\lambda)]를 대입하면 된다는 뜻.

예시)
[math( \displaystyle \frac{x^3+1}{x(x-2)^2(x-4)^2} = \frac{c}{x} + (\cdots) )]
다른 애들을 무시하고 [math(c)]만 구하고 싶다면, 양변에 [math(x)]를 곱하고 0을 대입하면 [math(\displaystyle c = \frac{0^3+1}{(0-2)^2 (0-4)^2} = \frac{1}{64})]을 얻을 수 있다.

한편, [math(p(x))]가 [math(n)]차 다항식 일 때, [math(p(x)/(x-a)^{m})] 꼴인 경우에는, [math(x=a)]에서의 테일러전개를 하면, 미정계수법 같은 지저분한 방법을 피할 수 있다.
다항식의 테일러 전개
[math(p(x))]가 n차 다항식 일 때, 임의의 실수 a</math>에 대해 아래의 항등식이 성립한다.
[math(p(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\frac{p^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^{i}=p(a)+\frac{p'(a)}{1!}(x-a)+\frac{p^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^{2}+\cdots+\frac{p^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n})][2]
이를 이용하면
[math(\displaystyle\frac{p(x)}{(x-a)^{m}}=\frac{p(a)}{(x-a)^{m}}+\frac{p'(a)}{1!(x-a)^{m-1}}+\cdots+\frac{p^{(n-1)}(a)}{(m-1)!(x-a)^{m-n-1}}+\frac{p^{(n)}(a)}{m!(x-a)^{m-n}})]
가 된다.

예시) [math(\displaystyle\frac{x^{4}+3x^{2}-5x-2}{(x-2)^{5}})] 일 때,
[math(p(x)=x^{4}+3x^{2}-5x-2,\quad p(2)=16)],
[math(p'(x)=4x^{3}+6x-5,\quad p'(2)=39)]
[math(p^{(2)}(x)=12x^{2}+6,\quad p^{(2)}(2)=54)]
[math(p^{(3)}(x)=24x,\quad p^{(3)}(2)=48)]
[math(p^{(4)}(x)=24,\quad p^{(4)}(2)=24)]
이므로,
[math(\displaystyle\frac{x^{4}+3x^{2}-5x-2}{(x-2)^{5}}=\frac{16}{(x-2)^{5}}+\frac{39}{(x-2)^{4}}+\frac{27}{(x-2)^{3}}+\frac{8}{(x-2)^{2}}+\frac{1}{(x-2)})].

4. 활용

가장 먼저 등장하는 것은 유리함수 적분일 것이다. 실수 위에서 부분분수분해를 하면 모든 유리식의 적분을 다음 세 가지 꼴의 적분들의 합으로 모두 바꾸어 버릴 수 있다.
[math(\displaystyle \int \frac{{\rm d}x}{(x-a)^k}, \quad \int \frac{{\rm d}x}{ ((x-p)^2+q^2)^l}, \quad \int \frac{x-p}{ ((x-p)^2 + q^2)^l}\,{\rm d}x )]
첫번째야 뭐 쉽고, 두번째/세번째가 조금 힘들지만 각각 삼각치환과 [math(y=(x-p)^2)]의 치환적분으로 해결가능하다. 따라서 어떤 유리함수라도 분모를 이차식 이하의 인수들로 인수분해했으면 초등함수로 적분할 수 있는 것. 물론 계산은 무지 더러울 때가 많다.

그 다음으로 나오는 것이 라플라스 변환. 미분방정식의 해에 라플라스 변환을 해서 유리식을 얻고 > 부분분수 분해 > 역변환의 과정을 비슷하게 거친다. 조합론을 공부한다면 선형 점화식 생성함수 풀이도 비슷하게 볼 수 있다.

내용은 대수학스러운데 어찌 써먹는 건 다 해석학이다...

다음과 같은 이색적인(?) 부분분수 분해도 가능하다. 중국인의 나머지 정리와의 연관성을 볼 수 있을... 수도?
[math(\displaystyle \frac{1}{60} = -2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{5} )]
실제 위의 부분분수분해 진술은 다항식환 [math(F[x])]를 임의의 유클리드 정역으로 바꿔도 비슷하게 성립하긴 한다.


[1] 즉, [math(p(x))]의 최고차항의 차수가 [math(q(x))]의 최고차항의 차수보다 작다면 [2] 미분을 아직 안배웠다면, 다항식 [math(p(x))]에 대해서 [math(p'(x))]는 [math(x^{k})]를 [math(kx^{k-1})]로 바꾸는 연산 결과라고 생각하면된다. 예를 들어서 [math((4x^{3}+3x^{2}-3x+1)'=4(3x^{2})+3(2x)-3(1)+1(0)=12x^{2}+6x+3)]이 된다. 한편, [math(p^{(n)}(x))]는 [math(p^{(0)}(x)=p(x))]이고, [math(p^{(k+1)}(x)=(p^{(k)}(x))')] 로 정의된다.