최근 수정 시각 : 2022-07-25 06:20:05

함수/볼록성


파일:상위 문서 아이콘.svg   상위 문서: 함수
해석학 · 미적분학
Analysis · Calculus
{{{#!wiki style="word-break: keep-all; margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px; letter-spacing: -1px"
<colbgcolor=#8f76d6> 함수 합성 · 항등원 · 역원 · 멱함수( 비례·반비례 ) · 초등함수( 대수함수 · 초월함수) · 특수함수 · 범함수 · 다변수 ( 동차 · 숨은 함수( 다가 함수)) · 그래프 · 대칭 · 증감표 · 극값 · 연속 · 매끄러움 · 계단형 · 미끄럼틀형 · 볼록/오목 · 닮은꼴 함수 · 병리적 함수 · 해석적 연속 · 로그함수 · 지수함수 · 삼각함수
정리 · 토픽 좌표계 · 중간값 정리 · 최대·최소 정리 · 부동점 정리 · 오일러 동차함수 정리 · 립시츠 규칙
극한 부정형 · 어림( 유효숫자 ) · 근방 · 수열의 극한 · 엡실론-델타 논법 · 수렴 ( 균등수렴 ) · 발산 · 점근선 · 무한대 · 무한소 · 스털링 근사
정리 · 토픽 로피탈의 정리 · 슈톨츠-체사로 정리
수열
급수
규칙과 대응 · 단조 수렴 정리 · 멱급수 · 테일러 급수 ( 일람 ) · 조화급수 · 그란디 급수 · 망원급수 ( 부분분수분해 ) · 오일러 수열 · 베르누이 수열 · 파울하버의 공식 · 리만 재배열 정리
정리 · 토픽 바젤 문제 · 라마누잔합 · 0.999…=1 · 콜라츠 추측미해결
미적분 미분 도함수 일람 · 차분 · 유율법 · 변화량 · 변분법 · 도함수 ( 편도함수 ) · 곱미분 · 몫미분 · 연쇄 법칙 · 역함수 정리 · 임계점 ( 변곡점 · 안장점 ) · 미분형식 · 미분방정식 ( 풀이 ) · [math(boldsymbolnabla)] · 라그랑주 승수법
적분 역도함수 일람 · 부분적분 ( LIATE 법칙 · 도표적분법 · 예제 ) · 치환적분 · 정적분 ( 예제 ) · 이상적분 · 중적분 ( 선적분 · 면적분 · 야코비안 ) · 르베그 적분 · 스틸체스 적분 · 코시 주요값
정리 · 토픽 평균값 정리 ( 롤의 정리 ) · 스토크스 정리 ( 발산 정리 · 그린 정리 ) · 라플라스 변환 · 푸리에 해석 ( 푸리에 변환 ) · 아다마르 변환 · 미적분의 기본정리 · 2학년의 꿈 · 리시 방법

해석
측도론 ( 측도 · 르베그 측도 ) · 유계( 콤팩트성 ) · 칸토어 집합 · 비탈리 집합
정리 · 토픽
복소
해석
복소평면 · 편각 · 코시-리만 방정식
정리 · 토픽 오일러 공식 ( 드 무아브르 공식 ) · 리우빌의 정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리
여타 하위 학문 수치해석학 ( FEM ) · 미분기하학 · 해석기하학 · 해석적 정수론 ( 소수 정리 ) · 벡터 미적분학( 야코비 공식 · 비앙키 항등식) · 확률론 ( 중심극한정리 )
기타 뉴턴-랩슨 방법 · 디랙 델타 함수 · 리만 가설미해결 · 카오스 이론미해결 · merry=x-mas
응용 수리물리학 · 수리경제학( 경제수학) · 공업수학 }}}}}}}}}

1. 개요2. 상세3. 공식4. 기타

1. 개요

함수의 오목성과 볼록성을 설명하는 문서이다.

2. 상세

볼록 집합 [math( S \subseteq \mathbb{R}^n)] 위에 정의된 함수 [math( f : S \to \mathbb{R} )]가 볼록(convex)임은 다음과 같으며:
임의의 점 [math( (x, y) \in S)]과 실수 [math(t \in [0, 1])]에 대해, [math(f\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\leq tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y\right))][1]

[math(-f)]가 볼록한 경우를 오목하다고 한다. 다르게 말하면[교육과정]:
볼록 집합 [math( S )] [math(\subseteq \mathbb{R})] [math(\subseteq \mathbb{R}^n)] 위에 정의된 함수 [math( f : S \to \mathbb{R} )]에 대해, [math(\left\{ (x, y) \in f : y \geq f(x) \right\})]가 볼록집합이면 아래로 볼록(convex downward)이거나 위로 오목(concave upward)이며, [math(\left\{ (x, y) \in f : y \leq f(x) \right\})]가 볼록집합이면 위로 볼록(convex upward) 혹은 아래로 오목(concave upward)이다.


참고로 중점만을 가지고 볼록함수를 판별하는 것은 충분하지 않다. 즉 [math(\displaystyle {f(x)+f(y) \over 2} \ge \displaystyle f({x+y \over 2}))](*) 라고 다 볼록함수가 아니라는 소리다. 예시로 코시 함수 방정식의 불연속해들이 여기 해당한다. 하지만 연속함수이며 (*)를 만족시키면 볼록함수가 된다.

볼록함수가 구간 내에서 두번 미분가능하면 [math(f(x) \ge 0)]을 만족시킨다. 역으로 두번 미분가능한 함수가 열린 구간 내에서 [math(f(x) \ge 0)]을 만족시키면 [math(f)]는 그 구간 안에서 볼록이다. 증명은 평균값의 정리를 사용하면 된다.

한편, 일반적인 볼록함수 [math(f)]에 대해서도 다음과 같은 사실이 알려져 있다. (고교과정 외 수준)
  • [math(f)]는 열린 구간에서 연속이다.
  • 임의의 점 [math(x)]에 대해 좌미분(left derivative) [math(\partial_{-}f(x)= \lim_{h \rightarrow -0} \frac{f(x+h) - f(x))}{h} )] 과 우미분(right derivative) [math(\partial_{+}f(x) = \lim_{h \rightarrow +0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} )] 이 존재하며, 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대해 [math(\partial_{-}f(x) \le \partial_{+}f(x) \le \partial_{-}f(x+\epsilon))]이다.
  • [math(\partial_{-}f(x_0) \le a \le \partial_{+}f(x_0) )]을 만족시키는 상수 [math(a)]에 대해서, 직선 [math( y = a(x-f(x_0)) + f(x_0) )]은 볼록함수 아래에 있다. 즉 [math( a(x-f(x_0)) + f(x_0) \ge f(x) )]가 성립한다. 이 [math(a)]를 'subderivative'라 부르기도 한다.
  • [math(f)]는 가산 개의(countable) 점을 제외하면 미분가능하다.
  • 닫힌 구간 내에서 볼록함수의 최대점은 양끝 경계점 중 하나이고, 최소점은 유일하게 존재한다.
미분가능하지 않은 볼록함수의 예시로는 절대값 함수 등이 있다.

다변수함수 세팅에서도 함수의 볼록성을 다음과 같이 비슷하게 정의할 수 있다.
볼록집합 [math(C)]에 속하는 임의의 [math(x, y)]와, [math(0\leq t \leq 1)]를 만족시키는 임의의 실수 [math(t)]에 대하여, 함수 [math(f : C \rightarrow \mathbb{R})]가 [math(f\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\leq tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y\right))]을 만족시키면 [math(f)]를 볼록함수라고 한다. 부등호 방향만 바꾸어 주면(등호 유지) 함수 [math(f)]를 그 구간에서 오목함수라고 한다.

한편, 볼록성을 판정할 수 없는 함수도 있다. 이는 다음과 같다.
특히 마지막의 경우, 볼록/오목처럼 보이는 점 내에 수많은 볼록/오목이 반복되고 있고, 그 속에도 또 수많은 볼록/오목이 반복되는 구간이 거듭되기 때문에 볼록/오목을 판별할 수 없다.[3]

3. 공식

닫힌 구간 [math([a,\,b])]에서 연속인 함수 [math(f(x))]에 대하여 양수인 두 상수 [math(m)], [math(n)]에 대하여 다음이 성립한다.
  • [math(f(x))]가 위로 볼록(아래로 오목)
    • [math(\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}<f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr) )]
  • [math(f(x))]가 아래로 볼록(위로 오목)
    • [math(\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}>f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr) )]

특히 [math(m=n=1)]이면
  • [math(f(x))]가 위로 볼록(아래로 오목)
    • [math(\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}<f \biggl( \frac{a+b}{2} \biggr) )]
  • [math(f(x))]가 아래로 볼록(위로 오목)
    • [math(\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}>f \biggl( \frac{a+b}{2} \biggr) )]

각 수식의 의미를 먼저 파악해보자.

[math(\displaystyle \frac{mb+na}{m+n} )]

의 경우 [math(x)]축 위의 두 점 [math((a,\,0))], [math((b,\,0))]을 [math(m:n)]으로 내분하는 점의 [math(x)]좌표이다. 즉,

[math(\displaystyle f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr) )]

는 해당 내분점의 [math(x)]좌표에 대한 [math(f(x))]의 함숫값이다.

이번에는 두 점 [math((a,\,f(a)))], [math((b,\,f(b)))]를 연결하는 직선 [math(l)]을 생각한다. 위에서 구한 내분점의 [math(x)]좌표에 대한 직선 위의 점은 곧 두 점 [math((a,\,f(a)))], [math((b,\,f(b)))]를 [math(m:n)]으로 내분하는 점이다.[4] 따라서 해당 점의 [math(y)]좌표는

[math(\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n} )]

가 된다. 위 결과는 곧
  1. [math(x)]축 위의 내분점의 [math(x)]좌표에 대한 직선 [math(l)] 위의 함숫값 [math(\dfrac{mf(b)+nf(a)}{m+n})]
  2. [math(x)]축 위의 내분점의 [math(x)]좌표에 대한 [math(f(x))]의 함숫값 [math(\displaystyle f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr))]

의 대소를 비교하는 것으로 이르게 된다.

곡선의 오목·볼록의 정의에 따라 구간 내에서 아래로 볼록한 함수의 함숫값은 직선 [math(l)]보다 밑에 있게 되어 2는 1보다 항상 아래에 있으므로

[math(\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}>f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr) )]

반대로 구간 내에서 위로 볼록한 함수의 함숫값은 직선 [math(l)]보다 밑에 있게 되어 2는 1보다 항상 위에 있으므로

[math(\displaystyle \frac{mf(b)+nf(a)}{m+n}<f \biggl( \frac{mb+na}{m+n} \biggr) )]


위 내용을 좌표평면상에서 시각화하면 아래와 같다. [math((\rm a))], [math((\rm b))]는 각각 [math(f(x))]가 구간에서 아래로 볼록한 경우, 위로 볼록한 경우이다.

파일:namu_곡선_오목_볼록_2_NEW.svg

닫힌 구간 [math([a,\,b])]에서 연속인 함수 [math(f(x))]에 대하여 다음이 성립한다.
  • [math(f(x))]가 위로 볼록(아래로 오목)
    • [math(\displaystyle\int_a^b f(x)\,{\rm d}x > \dfrac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\})]
  • [math(f(x))]가 아래로 볼록(위로 오목)
    • [math(\displaystyle\int_a^b f(x)\,{\rm d}x < \dfrac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\})]

이를 쉽게 생각하기 위해서 [math(f(x) \geq 0)]이라는 제약을 걸고 분석을 해보자. 우선 수식

[math(\dfrac{b-a}{2}\{f(a)+f(b)\}=S)]

의 의미를 파악해보자. 이는 구간 [math([a,\,b])]에서 높이가 [math(b-a)]이고, 윗변과 아랫변의 길이가 각각 [math(f(a))], [math(f(b))]인 사다리꼴의 넓이가 된다.[5] 이 사다리꼴은 [math(x)]축, [math(x=a)], [math(x=b)], [math((a,\,f(a)))], [math((b,\,f(b)))]를 지나는 직선 [math(l)] 이렇게 네 직선으로 둘러싸인 도형이다. 또한 수식

[math(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,{\rm d}x=T)]

는 [math(x)]축, [math(x=a)], [math(x=b)], [math(f(x))]의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 의미한다.

함수가 아래로 볼록할 경우 구간 [math([a,\,b])]의 함숫값은 직선 [math(l)]보다 아래에 위치하므로 [math(S < T)], 위로 볼록할 경우 위에 위치하므로 [math(S>T)]인 것이다.

단, [math(f(x) \leq 0)]인 경우에는 [math(S)], [math(T)]를 영역의 넓이에 음의 부호를 붙인 것임에 유의하자. 이 경우에도 위 수식은 성립한다.

모든 경우가 포함된 경우에도 위 수식은 성립하며, 한 영역을 [math(f(x) \geq 0)] 혹은 [math(f(x) \leq 0)]인 구간으로 나누고 적용한 결과를 종합하면 이를 증명할 수 있다.

[math(f(x) \geq 0)]일 때 [math((\rm a))]의 아래로 볼록한 경우와 [math((\rm b))]의 위로 볼록한 경우에 대한 위 내용을 좌표평면상에서 시각화해보면 아래와 같다.

파일:namu_다항함수추론_오목볼록.svg
  • [math(f(x))]가 위로 볼록(아래로 오목)
    • [math(\displaystyle\int_a^b \{f(x)-f(b)\}\;{\rm d}x\geq\dfrac{(b-a)\{f(a)-f(b)\}}2)]
  • [math(f(x))]가 아래로 볼록(위로 오목)
    • [math(\displaystyle\int_a^b \{f(x)-f(b)\}\;{\rm d}x\leq\dfrac{(b-a)\{f(a)-f(b)\}}2)]
이는 사다리꼴이 아니라 직각삼각형과 관련이 있는데, 식이 다르지만 결국 같은 사실을 나타내고 있다. 다음 예제의 그림으로 이해해 보자.
예제 [펼치기·접기]
-----
이 내용은 2004년 수능 가형 8번에 출제되었다.
파일:2004 가 수능홀 8.png
문제의 그래프는 [math(x)]축보다 위에 있고 아래로 볼록하므로 답은 'ㄱ, ㄷ'이다. [math(\overline{\rm PQ})]의 기울기는 [math(\{F(b)-F(a)\}/(b-a))]가 아니라 [math(\{f(b)-f(a)\}/(b-a))]이므로 ㄴ은 옳지 않다.


상수함수는 오목함수이기도 하고 볼록함수이기도 하다.[6] 디리클레 함수 같은 완전 불연속함수나 바이어슈트라스 함수 같은 병리적 연속함수는 어떤 점 근방을 잡더라도 그 위에서 오목하지도 볼록하지도 않다.

4. 기타



[1] 젠센 부등식의 변수 2개일 때 형태와 같다. [교육과정] 취소선 적용 [3] 정확히는, 정의역 내의 모든 임의의 근방에서 볼록하지도 오목하지도 않다. [4] 직접 [math(\biggl( \dfrac{mb+na}{m+n},\,0 \biggr))]을 직선 [math(l)]의 방정식 [math(y=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a))]에 대입하여 구해봐도 되지만 닮음에 의하여 [math(m:n)]으로 내분하는 점임이 명백하다. [5] 단, [math(f(a))]와 [math(f(b))] 중 하나가 0이면 직각삼각형의 넓이가 됨에 유의하자. [6] 강오목함수 혹은 강볼록함수는 아니다.


파일:CC-white.svg 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 문서의 r34에서 가져왔습니다. 이전 역사 보러 가기
파일:CC-white.svg 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 다른 문서에서 가져왔습니다.
[ 펼치기 · 접기 ]
문서의 r34 ( 이전 역사)
문서의 r1112 ( 이전 역사)