최근 수정 시각 : 2022-04-17 03:23:59

사슬 복합체

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1. 개요2. 정의3. 사슬 사상4. 호몰로지5. 어디에 쓰이는가?
5.1. 대수위상
6. 예
6.1. 단체 사슬 복합체6.2. 드람 복합체(de Rham complex)
7. 여담

1. 개요

Chain Complex

위상 공간을 대수적으로 이해하기 위해 만든 카테고리의 일종이다. 아벨군(혹은 모듈이나 벡터공간도 된다)의 열이 어떤 사상을 통해 연결되어있는 모양을 하고 있으며, 이를 통해 호몰로지를 계산할 수 있다.

2. 정의

[math(\left(A,d\right))]가 사슬 복합체라는 것은 아벨 군 [math(\cdots,A_{-1},A_{0},A_{1},A_{2},\cdots)]과 준동형사상(homomorphism) [math(d_k:A_{k}\to A_{k-1})]가 존재하여, [math(d_k \circ d_{k+1}=0)]이 된다는 것을 의미한다. [math(d)]를 경계 사상(boundary map)이라고 부른다. 편의상 준동형사상들의 아래첨자를 생략하기도 한다. 반대로 [math(d)]의 화살표 방향을 바꾸어 index를 커지는 것으로 받아들이면 듀얼인 공사슬 복합체(cochain complex)에 대해서 생각할 수 있다.

3. 사슬 사상

두 사슬 복합체 사이의 사상을 생각할 수 있는데, 이를 사슬 사상이라고 부른다. 정확히는, 사슬 사상은 각 사슬 복합체 사이의 준동형사상이면서 경계 사상과 가환이도록 하는 사상을 일컫는다. 즉, 어떤 두 사슬 사상 [math(\left(C,d\right))]과 [math(\left(D,d'\right))]에 대해서, [math(f)]가 사슬 사상이라는 것은 [math(f_k:C_k\to D_k)]인 준동형사상들이 존재하여, [math(f_{k-1}\circ d_{k}=d'_{k}\circ f_{k})]임을 의미한다.

그림으로 생각한다면, 각 복합체는 하나의 직선으로 그려지고, 둘 사이의 사상은 이를 연결하는 사다리의 모습으로 그릴 수 있다.

4. 호몰로지

[math(d_k \circ d_{k+1}=0)]이라는 좋은 성질 때문에, [math(d)]의 핵(kernel)은 언제나 [math(d)]의 상을 포함한다. 즉, 핵을 상으로 나눈 몫 대상(quotient object)에 대해서 생각할 수 있다. 그러니까, [math(k)]번째 호몰로지 [math(H_k)]는 [math(\text{Ker} d_k/\text{Im} d_{k+1})]로 정의된다. 호몰로지가 중요한 이유는 대략 두 가지라고 볼 수 있는데, 첫째로 호몰로지가 다르다는 것이 사슬 복합체가 다르다는 것의 의미하기 때문이고, 둘째로 두 공간이 cell complex인 경우, 공간 사이의 함수가 모든 호몰로지에서 동형사상이 되면 그 함수는 호모토피 등가가 되기 때문. (호몰로지 버전의 Whitehead theorem)

호몰로지는 좀더 일반적으로, 위상공간 범주에서 군 범주로 가는 함자가 되는데, 이때 정의역 범주를 CW-complex와 같은 호모토피류를 가지는 공간으로 제한시키면 특정 조건들이 호몰로지 함자를 특징짓는다.

그리고 이를 좀더 일반화 해서 '일반화된 호몰로지'를 정의할 수 있고 이는 현대 대수위상의 시작점이라 할 수 있다.

사슬복합체에서 dual을 취하면 화살표의 방향이 바뀌게 되고 여기서 호몰로지를 구하면 이를 코호몰로지라고 한다.

코호몰로지는 호몰로지와 다르게 (가)군 구조 뿐 아니라 환의 구조까지 가지게 돼서 공간을 좀더 세분하게 분류할 수 있다.

또한 코호몰로지는 함자로 기술되고, 호몰로지와 같이 정의역범주를 적절히 제한하게 되면 특정 조건이 코호몰로지 함자를 특징짓는다.

더 나아가 호몰로지와 다르게 표현가능함자가 되는데 (Brown의 Representability정리) 이때 이 표현들을 모아두면 오메가 스펙트라가 나온다.

5. 어디에 쓰이는가?

5.1. 대수위상

사실 이렇게 정의만 봐서는 이딴 걸 왜 정의하는지 이해가 잘 안 갈 수 있는데, 이들은 위상 공간이라는 복잡한 것들을 대수적으로 이해할 수 있도록 하기 때문이다. 밑에 예를 보면 알겠지만, 위상 공간에서 사슬 복합체로 가는 함자를 잘 잡으면 위상 공간을 분류할 수 있게 된다. 예를 들어, 특이 호몰로지를 쓰면 구는 [math(R, 0, R)]이 나오는데 도넛은 [math(R, R^2, R)]이 나온다. 이것만 가지고 이 둘이 같은 호모토피 클래스에 있지 않다는 결론이 바로 나오는 것이다. 다만 이러한 함자를 잘 찾는 것이 어렵다고 할 수 있다.

6.

6.1. 단체 사슬 복합체

위상 공간을 삼각형이나 사면체 등의 단체(simplex)로 나눈 뒤, 그것이 만들어내는 대수적 구조를 확인하는 방법이다. 정확히 정의하자면, 먼저 [math(n)]-단체는 [math(R^m \left(m>n\right))] 공간에서 [math(n+1)]개의 아핀 독립(그러니까 어떤 3개의 벡터도 일직선 위에 있지 않다는 뜻이다)인 벡터들을 꼭짓점으로 가지는 어떤 도형을 일컫는다. 꼭짓점이 [math(a_0 , a_1 , \cdots, a_n)]으로 되어있다면 이를 [math(\left(a_0 , a_1 , \cdots, a_n\right))]라고 나타낸다. 그 중에서도, 특이 [math(n)]-단체([math(\triangle ^n)])라 함은 [math(R^n)] 공간에서 [math(\left(1,0,\cdots,0\right),\left(0,1,0,\cdots,0\right),\cdots,\left(0,0,\cdots,0,1\right))]을 연결하여 만들어지는 도형을 말한다. 즉, [math(e_i=\left(0,0,\cdots,0,1,0,\cdots,0\right))]([math(i)]번째만 1인 단위벡터)라고 정의하면, [math(\triangle ^n=\left\{c_1 e_1+\cdots+c_n e_n, \forall k,c_k>0, \sum_k c_k \leq 1\right\})]이다.

이제 이런 모든 특이 [math(n)]-단체에서 어떤 위상공간 [math(T)]로 가는 모든 연속함수를 생각한 뒤, 그 함수들로 자유 아벨 군(free abelian group)을 생성하자. 그러면 이것이 특이 [math(n)]-사슬 [math(C_k)]가 된다. 이제 경계 사상 [math(\partial_k : C_k \to C_{k-1})]을 만들어주면 되는데, 이는 [math(n)]-단체의 원소를 하나 제거하여 만든 [math(n-1)]-단체의 교차합(alternating sum)으로 정의된다. 즉, [math(\partial_k c_k\left(a_0, a_1,\cdots, a_n\right)=\sum_i \left(-1\right)^i c_k\left(a_0,\cdots,\hat{a_i},\cdots,a_n\right))]으로 정의된다. (hat 기호는 이 원소를 제외한다는 의미이다.)

그러면 자명(?)하게 [math(\partial_k \circ \partial_{k+1}=0)]가 0인데, 그러므로 호몰로지에 대해서 생각할 수 있다. 이를 특이 호몰로지라고 한다.
특이 호몰로지를 찾는 것은 쉽게 말해서 서로 다른 Bordism 클래스에 있으면서 닫혀있는 도형이 몇개인가를 세는 문제와 같다고 할 수 있다. 예를 들어, 구 [math(S^n \left(n>2\right))]의 경우, 이 구 위에서 그려진 임의의 원을 점으로 줄일 수 있으므로 1번째 호몰로지가 0이 된다. 또한 0번째 호몰로지의 차원은 경로 연결 성분(path-connected component)의 갯수와 같다는 사실이 알려져있다.

파일:external/upload.wikimedia.org/400px-P1S2all.jpg [1]

[math(n)]번째 특이 호몰로지의 차원 수를 베티 수(betti number)이라고 하며, 이 베티 수의 교차합을 오일러 지표(Euler characteristic)이라고 하는데, 이것이 바로 그 오일러의 다면체 정리에 나오는 [math(\chi=v-e+f)]와 같다.

6.2. 드람 복합체(de Rham complex)

미분다양체(smooth manifold) 위에서 다른 방법으로 실벡터 혹은 복소벡터공간 위의 공사슬 복합체를 만들 수 있는데, 미분형식(differential form)을 이용한다. 여기서는 그 구체적인 정의는 생략하도록 하겠다. 그러나 코호몰로지가 결과적으로 실수 계수 특이 코호몰로지와 똑같이 나오기 때문에(드람 정리---다시 말해, de Rham cohomology는 underlying manifold의 topological invariant이다), 다양체의 미분 구조를 분류하는데는 도움을 주지 않는다.

7. 여담

2018년 5월 21일 트위터 실시간 트렌드에 '호몰로지'가 올라왔다.

[1] 이미지 출처: 위키피디아, https://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space

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