최근 수정 시각 : 2022-03-18 04:46:38

해석적 정수론

정수론
Number Theory
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px"
공리
페아노 공리계 · 정렬 원리 · 수학적 귀납법
산술
나눗셈 약수·배수 배수 · 약수( 소인수) · 소인수분해( 목록) · 공배수 · 공약수 · 최소공배수 · 최대공약수
약수들의 합에 따른 수의 분류 완전수 · 부족수 · 과잉수 · 친화수 · 사교수 · 부부수 · 반완전수 · 불가촉 수 · 괴짜수
정리 베주 항등식 · 산술의 기본정리 · 나눗셈 정리
기타 유클리드 호제법 · 서로소
디오판토스 방정식 페르마의 마지막 정리 · 피타고라스 세 쌍 · 버츠와 스위너톤-다이어 추측(미해결)
모듈러 연산
잉여역수 · 2차 잉여 · 기약잉여계 · 완전잉여계 · 중국인의 나머지 정리 · 합동식 · 페르마의 소정리 · 오일러 정리 · 윌슨의 정리
소수론
수의 분류 소수 · 합성수 · 메르센 소수 · 쌍둥이 소수( 사촌 소수 · 섹시 소수) · 페르마 소수 · 레퓨닛 수
분야 대수적 정수론 · 해석적 정수론
함수 뫼비우스 함수 · 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수· 체비쇼프 함수 · 소수생성다항식
정리 그린 타오 정리 · 페르마의 두 제곱수 정리 · 디리클레 정리 · 소피 제르맹의 정리 · 리만 가설(미해결) · 골드바흐 추측(미해결)( 천의 정리) · 폴리냑 추측(미해결) · 소수 정리
기타 에라토스테네스의 체 · 윌런스의 공식
}}}}}}}}} ||

해석학 · 미적분학
Analysis · Calculus
{{{#!wiki style="word-break: keep-all; margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px"
{{{#!wiki style="letter-spacing: -1px"
<colbgcolor=#8f76d6> 기본 이론 함수 합성 · 항등원 · 역원 · 멱함수( 비례·반비례 ) · 초등함수( 대수함수 · 초월함수) · 특수함수 · 범함수 · 다변수 ( 동차 · 숨은 함수( 다가 함수 )) · 그래프 · 대칭 · 증감표 · 극값 · 연속 · 매끄러움 · 계단형 · 미끄럼틀형 · 볼록/오목 · 닮은꼴 함수 · 병리적 함수 · 로그함수 · 지수함수 · 삼각함수
극한 부정형 · 유계( 콤팩트성 ) · 어림( 유효숫자 ) · 근방 · 수열의 극한 · 엡실론-델타 논법 · 수렴 ( 균등수렴 ) · 발산 · 점근선 · 무한대 · 무한소 · 스털링 근사 · FEM
수열 규칙과 대응 · 단조 수렴 정리 · 급수( 멱급수) · 테일러 급수 ( 일람 ) · 조화급수 · 그란디 급수 · 망원급수 ( 부분분수분해 ) · 오일러 수열 · 베르누이 수열 · 파울하버의 공식 · 리만 재배열 정리
미분 도함수 일람 · 차분 · 유율법 · 변화량 · 변분법 · 도함수 ( 편도함수 ) · 곱미분 · 몫미분 · 연쇄 법칙 · 역함수 정리 · 임계점 ( 변곡점 · 안장점 ) · 미분형식 · 미분방정식 ( 풀이 ) · [math(boldsymbolnabla)] · 라그랑주 승수법
적분 역도함수 일람 · 부분적분 ( LIATE 법칙 · 도표적분법 · 예제 ) · 치환적분 · 정적분 ( 예제 ) · 이상적분 · 중적분 ( 선적분 · 면적분 ) · 르베그 적분 · 스틸체스 적분 · 코시 주요값
정리 · 토픽 중간값 정리 · 최대·최소 정리 · 평균값 정리 ( 롤의 정리 ) · 로피탈의 정리 · 슈톨츠-체사로 정리 · 미적분의 기본정리 · 스토크스 정리 ( 발산 정리 ) · 중심극한정리 · 오일러 공식 ( 드 무아브르 공식 ) · 오일러 동차함수 정리 · 리우빌의 정리 · 부동점 정리 · 뉴턴-랩슨 방법 · 리시 방법 · 좌표계 · 소수 정리 · 라플라스 변환 · 푸리에 해석( 푸리에 변환 ) · 아다마르 변환 · 바젤 문제 · 라마누잔합 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리 · 디랙 델타 함수 · 2학년의 꿈 · 0.999…=1 · 리만 가설미해결 · 카오스 이론미해결 · merry=x-mas
분야 실해석학 · 복소해석학 · 수치해석학 · 측도론 · 미분기하학 · 해석기하학 · 해석적 정수론 · 확률론 · 수리물리학 · 수리경제학( 경제수학) · 공업수학 }}}}}}}}}}}}


1. 개요2. 역사3. 특징4. 세부 분야5. 관련 전공서적6. 대표적인 수학자들7. 문제와 정리들

1. 개요

/ analytic number theory
미적분학보다 적분기호를 많이 볼 수 있는 곳[1]

정수론을 연구하는 데 미적분학, 복소해석학, 푸리에 해석 등을 이용하는 정수론의 한 분야. 처음 보는 사람은 도대체 어떻게 하는 건지 신기할 수도 있지만, 막상 하다보면 그냥 계산의 천국이라고 느껴진다.(하지만 확실히 신기한 결과들이 많이 나오기는 한다)

존 더비셔의 리만 가설등의 책을 통해서 꽤나 많이 알려져 있는데, 그에 비해 연구하기도 어렵고 연구하는 사람도 적은 편. 그럴 수밖에 없는 게 주로 연구할 분야가 제타함수, 골드바흐 추측, 소수 사이의 간격 등 난제 관련된 경우가 대부분이라 문제 하나 잘 풀면 필즈상 혹은 아벨상 직행이라고 봐도 무방하다.

2. 역사

해석적 정수론은 위대한 수학자 레온하르트 오일러 바젤 문제[2]를 해결하면서부터 시작되었다[3]. 오일러는 바젤 문제에 등장하는 수식을 n승인 경우로 확장시켜서 생각하게 되었고, 이와 같이 일반화된 개념이 제타 함수이다.

이후에 또다른 위대한 수학자 베른하르트 리만은 <주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여> (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe) 라는 논문에서 제타 함수의 정의역을 확장하여 다루었고, 제타 함수에 대한 연구는 수학계의 화두가 되었다. 리만은 제타 함수와 소수 계량 함수 (주어진 수보다 작은 소수의 개수를 표현하는 함수) 의 관계를 증명하고, 그의 스승인 가우스가 제시한 추측인 소수 추측 ( 소수 정리의 옛 이름) [4][5] 에 있어서, 이를 증명하는 방법을 제시하는 동시에 개수를 훨씬 정확하게(사실상 같게) 구하는 방법을 제시했다. 이 중에서 특히 두 번째로 직결되는 것이 바로 수학계 최고의 떡밥인 리만 가설이다.

리만 가설은 소수 정리의 증명을 위한 보조 정리 정도로만 제시되었으나, 이것이 참이라는 것을 증명하는 일은 너무나도 어려웠다. 결국 소수 정리는 리만 가설 없이, 리만 가설과 굉장히 비슷하지만 더 포괄적이고 약한 사실을 증명하면서 그에 기반하여 증명되었다.

처음에는 소수 정리의 증명을 위해 필요한 사소한 보조 정리 정도로만 여겨졌던 리만 가설은 차츰 그 자체로 주목을 받게 되었다. 그 이유는 리만 가설이 사실일 경우, 수많은 중요 결과들이 자동으로 도출된다는 것이 밝혀졌기 때문이다. 리만 가설이 참일 경우에 수많은 사실들이 자동으로 해결되어 다른 수학 난제들이 아주 간단하게 해결된다는 것을 보인 이는 독일의 수학자 에드문트 란다우였다. 또한 란다우는 빅-O 표기법 (Big-O notation) 이라는 점근 표기법을 대중화시켰으며, 이와 같은 해석학적 사고 방식으로 정수론 문제들을 다룰 수 있다는 리만의 아이디어를 더 널리 보급시켰다.

한편, 영국의 수학자 G. H. 하디는 란다우의 책을 통해 리만 가설이 중요한 문제라는 사실을 알게 되었고, 리만 가설이 참일 가능성이 굉장히 높다는 결과를 얻어낸다. 즉, 리만 가설을 만족시키는 제타 함수의 비자명 복소 근이 무한히 많다는 사실을 보인 것이다. 하지만 이것은 제타 함수의 "모든" 비자명 복소 근이 리만 가설을 만족시킨다는 것은 아니었다. 이 이후로도 다양한 도전과 진전들이 있었으나 리만 가설은 아직도 해결되지 않은 상태이다. 그러나 리만 가설과 별개로, 리만 가설을 증명하려는 시도의 과정에서 해석적 정수론이라는 분야 자체가 크게 발달하게 되었다.

해석적 정수론은 대개 복소해석학을 사용한다. 복소수의 범위에서 다루는 것이 훨씬 더 간편하기 때문이다. 하지만 같은 정리를 복소수를 다루지 않고 증명하는 방법도 있는데, 이를 '초등적 증명'이라 한다. 초등적 증명은 더 단순한 도구만을 사용하게 되지만, 대부분 복소수를 사용할 때보다 훨씬 더 어렵다. 소수 정리 역시 초등적 증명이 만들어지는 것은 사실상 불가능할 것이라는 예측이 대부분이었다. 그런데, 아틀레 셀버그와 에르되시 팔이 그 증명을 독립적으로 발견하였다.[6]

해석적 정수론의 또다른 난제인 골드바흐 추측도 많이 연구되었는데, 대표적으로 소련 수학자 비노그라도프(Ivan Vinogradov)는 "충분히 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타내어진다"[7]는 사실을 증명하였고, 중국 수학자 첸징룬은 "충분히 큰 모든 짝수는 소수와 유사 소수의 합으로 나타내어진다"는 사실을 증명하였다. 참고로 첸징룬은 저 정리를 1966년 증명하였지만 중국에서 문화대혁명이 일어났기 때문에 1973년에야 발표했다.

최근에는 쌍둥이 소수 추측이 많이 연구되고 있는데, 중국 수학자 장이탕(Zhang Yitang)은 "차가 7천만[8]보다 작은 소수의 쌍은 무한히 많다" 는 사실을 증명하였고, 이 증명 덕분에 테렌스 타오를 비롯한 많은 해석적 정수론 학자들이 소수 사이 간격에 대한 연구에 매진하고 있다고 한다.

3. 특징

대수적 정수론보다는 진입장벽이 낮다. 대수학을 꽤나 많이 공부해야 시작할 수 있는 대수적 정수론과는 달리 미적분학, 정수론, 학부 수준 복소해석학을 보고 나면 해석적 정수론에 입문하기에 부족함은 없다. 그러나 입문이 용이하다는말이지 해석적 정수론이 쉽다는 말은 아니다. 오히려 해석적 정수론은 굉장히 어려운 분야에 속한다.

더 어려운 문제를 다룰 때마다 동원되는 복소해석학의 툴은 점점 더 어려워지며, 이해를 위해 알아야 하는 타 분야들도 점점 더 많아진다. 조합론, 대수학, 대수기하학 등의 전반적인 분야에 걸쳐 상당히 깊은 토대가 필요하다는 것이다. 물론 다른 분야를 알아야 하는 것은 현대 수학에서의 전반적 특징이지만, 해석적 정수론은 분명히 해석학과 정수론이라는 학부 시절에는 서로 전혀 상관없어보이던 분야가 융합된 것이다보니 타 분야에 대한 지식이 더 많이 필요한 것이다.

4. 세부 분야

  • 승법적 정수론: Multiplicative Number Theory
곱셈 위에서 정수의 여러 성질들을 연구한다. 예컨대 정수가 커질 수록 소인수들이 평균 몇개인지, 특정 승법적 수론함수의 합이 어떻게 행동하는지 등등. 애초에 소수라는 개념 자체가 승법(곱셈)의 정의에서 유도되는 것이니, 리만이 제시한 방법들과 리만 가설로부터, 아래에 나올 가법적 정수론보다 일차적으로는 결과들이 직결된다고 볼 수 있겠다.
  • 가법적 정수론: Additive Number Theory
어떤 꼴의 자연수를 어떤 꼴의 자연수들의 합으로 나타낼 수 있는지, 방법은 몇 가지인지 등을 연구하는 것. 골드바흐 추측, 웨어링의 문제[9] 등이 있다. 사실 이상하게도, 생각해 보면 우리는 쉬워보이는 덧셈보다는 적어도 그보다는 약간 어려워 보이는 곱셈에 관해 더 잘 알고 있음을 깨닫는다. 위에서 설명했듯, 소수라는 것이 곱셈에 의한 정의이니만큼 그 위에 덧셈을 추가한 문제가 어려워지는 것은 당연지사라 볼 수도 있겠다.

위의 두 정수론 분야는 사실 뚜렷히 나뉘어지는 것은 아니다. 특정 승법 함수의 합도 어떤면에서는 가법이며, 웨어링의 문제 같은 경우도 승법적 성질을 갖고 있다. 굳이 문제가 승법적인가 가법적인가로 불리는 것은 그 문제의 대표적 성질에 따른 것이지, 가법적이라 불리는 문제가 승법적 접근으로 풀릴 수도 있고, 승법적이라 불리는 문제가 가법적으로 풀릴수도 있다. 그 두가지 성질에 관해 동시에 많은 것을 알려주는 것이 바로 리만 가설이다.
  • Sieve Theory
어떤 집합에서 특별한 조건을 만족하는 수들을 골라내는 방법을 연구하는 것. 한국어로 직역하면 '체론'이지만 대수학의 '체론'(Field Theory)과 헷갈려서인지 '체론'으로 번역하는 경우는 없는 듯 하다. 거름망 이론
이는 위에서 말한 초등적 방법으로 많이 연구하는 분야이며, 정의를 보면 알겠지만 굉장히 광범위하다. 실제로 정수론의 많은 정리들을 Sieve의 형식으로 쓸 수 있으니.

5. 관련 전공서적

  • Introduction to Analytic Number Theory, Tom Apostol
springer에서 발매한 Undergraduate Texts in Mathematics 시리즈 중 하나. 기초정수론과 미적분학, 기초 복소함수론을 알면 볼 수 있으며, 해석적 정수론의 기초를 쌓는 데 굉장히 좋다.
  • Multiplicative Number Theory, Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan
Cambridge Studies in Advanced Mathematics 시리즈 중 하나. 보통 Apostol을 본 후 보는 책. 위에 설명한 승법적 정수론에 대해 다루는 책이며, 무려 500개 이상의 연습문제를 담았다! 연습문제가 없는 수학 전공서적도 허다한 것을 생각하면 엄청난 문제 숫자이다.
  • Multiplicative Number Theory, H. Davenport
springer의 Graduate Texts in Mathematics 시리즈 중 하나. 꽤나 얇으며 연습문제가 아예 없다!
  • Analytic Number Theory, Iwaniec & Kowalski
해석적 정수론의 정수. 영원한 Reference. AMS의 Mathscinet의 정보로 증명한다.
인용횟수, 저자, 책 이름, 출판년도
988 Silverman, Joseph H. The arithmetic of elliptic curves. 1986.
748 Titchmarsh, E. C. The theory of the Riemann zeta-function.1986.
700 Lidl, Rudolf; Niederreiter, 1997.
550 Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel Analytic number theory. 2004.
오후 8:14 2014-05-11에 추출한 정보다.
MSC 11의 정보이며, 2000년대 출간된 주제에 수많은 80~90년대 책들을 제치고 4위를 차지했다.

굉장히 어려운 해석적 정수론 서적. 거의 논문모음집 수준이며 연습문제는 거의 없다. 이 책을 완벽하게 읽고 이해할 수 있다면 이제 이 분야의 논문을 읽고 쓸 수준이라 생각해도 된다.

이 내용만 보면 저 세권만 읽으면 해석적 정수론 논문을 쓸수 있다 하니 쉽네? 라 생각할 수도 있을 것 같은데, 절대 그렇지 않다! 그 말은 루딘삼종세트만 보면 해석학 논문을 읽고 쓸 수 있으므로 해석학은 쉽다(...)라는 것과 마찬가지 수준. 일단 저 책들을 읽는 데 필요한 지식을 익히고 책을 읽는 것만 해도 얼마나 걸릴지 모른다...
  • Additive Number Theory 1,2, Melvyn B. Nathanson
springer의 Graduate Texts in Mathematics 시리즈 중 하나. 1권 The Classical Bases, 2권 Inverse Problems and Geometry of Sumsets로 이루어져 있으며, 가법적 정수론을 공부하기에 매우 좋다. 단점이라면 계산이 더럽고(...) 연습문제가 없는 것과 다를 바가 없다는 것 정도?

6. 대표적인 수학자들

매우 많지만, 관련된 교양 서적을 보면 나오는 인물 혹은 타 분야 사람들에게도 어느정도 알려져 있는 수학자들 위주로 써보면 다음과 같다.

7. 문제와 정리들



[1] 특히 로그 적분 함수 [math(\displaystyle \mathrm{li}\left(x\right))]는 심심하면 튀어나오는 수준이다. [2] 모든 자연수의 제곱의 역수의 합을 구하시오 [3] 다른 정수론 하위 분야인 대수적 정수론도 오일러가 페르마의 마지막 정리 중 n = 3 인 경우를 해결한 것이 시발점이 됐다. 현대 정수론의 두 하위 분야가 모두 오일러에 근간을 두고 있는 것이다. [4] [math(x)]보다 작은 소수의 개수는 [math(\dfrac{x}{\ln x})]에 수렴한다는 내용이다. [5] 이와 관련하여, 가우스가 10만 단위의 수를 암산으로 모두 해결했다는 것으로 그의 천재성을 보였다는 잘못된 정보가 흔히 있는데, 실제로는 하루에 15분 정도를 들여 구간마다 약 1000개 가량의 수를 골라서 소수의 개수를 셌다고 한다. 또한 가우스는 백만 단위의 소수표를 이미 가지고 있었으며, 이 과정을 암산으로 했다거나 손으로 직접 계산했다는 기록은 어디에도 없다. 가우스는 단지 하루에 15분 정도를 들였다고 언급했을 뿐이다. [6] 이것에 관련된 재미있는 일화가 있다. 셀버그는 공식 하나를 발견하고 이를 이용해서 소수 정리를 초등적으로 증명하려 했는데, 셀버그가 그 공식을 발표하는 것을 본 에르되시가 "그 공식을 이용해서 소수 정리의 초등적인 증명을 공동연구하자" 고 했지만, 영광을 혼자 차지하고 싶었던 셀버그는 "이걸로 안 될 것 같다"고 하면서 거절했다. 하지만 에르되시가 먼저 증명을 완성하고 만다! 그래도 셀버그도 후에 증명을 완성했고, 먼저 아이디어를 떠올린 셀버그의 공로를 인정해 둘 모두 소수 정리의 초등적인 증명의 발견자로 인정받고 있다. [7] 현재는 Harald Helffgott 에 의해 모든 홀수가 세 소수의 합으로 나타내어진다는 것이 증명됐다. [8] Zhang의 방법에 더 연구하여, 많은 수학자들에 의해 현재는 246까지 줄여졌다. Generalized Elliot-Halberstam conjecture을 가정하면 6까지 줄여졌다. [9] 자연수를 몇 개의 거듭제곱수들의 합으로 나타낼 수 있을까

분류