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1. 개요
topologist's sine curve위상수학자의 사인곡선이란 2차원 공간 [math(\mathbb R^2)] 위에 정의된 특수한 집합으로, 연결 공간이지만 경로 연결 공간이 아닌 대표적인 예시이다.
베이스 드럼 소리 파형이 이것과 비슷하게 생겼다.
2. 정의
함수 [math(f: \mathbb R - \left\{ 0 \right\} \to \mathbb R)]를[math(f(x) = \sin \dfrac 1x)]
라고 정의하자. 이 때 [math(f)]의 그래프 [math(T \subset \mathbb R^2)]은 다음과 같다.
[math(T = \left\{ (x, f(x)) \in \mathbb R^2 | x \in (0, 1] \right\} = \left\{ \left( x, \sin \dfrac 1x \right) \in \mathbb R^2 \ \bigg| \ x \in (0, 1] \right\})]
여기서 [math(T \subset \mathbb R^2)]의 폐포
[math(\overline T = \left\{ \left( x, \sin \dfrac 1x \right) \bigg| \ x \in (0, 1] \right\} \bigcup \left\{ (0, y) \ | \ y \in [-1, 1] \right\} \subset \mathbb R^2)]
을 위상수학자의 사인 곡선이라고 부른다.
3. 개형
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| ▲ 위상수학자의 사인 곡선의 개형. Wolfram Alpha |
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[math(\displaystyle \begin{cases} \begin{aligned}
\sin \theta = 0 & \Leftrightarrow \theta = n \pi, & \textsf{for some }n \in \mathbb Z \\ \sin \theta = 1 & \Leftrightarrow \theta = \left(2n + \dfrac 12 \right) \pi, & \textsf{for some }n \in \mathbb Z \\ \sin \theta = -1 & \Leftrightarrow \theta = \left(2n + \dfrac 32 \right) \pi, & \textsf{for some }n \in \mathbb Z \end{aligned} \end{cases} )] |
[math(T_\gamma = \left\{ \left( \dfrac 1{2n \pi + \phi}, \gamma \right) \bigg| \ n \in \mathbb N \right\})]
[math(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac 1{2n \pi + \phi} = 0)]이므로, [math(T_\gamma )]의 폐포는 [math(\overline {T_\gamma } = T_\gamma \ \cup \ \left\{ (0, \gamma ) \right\})]이다. 따라서 [math(\lim \limits_{x \to 0+} f(x))]는 존재하지 않는다.
4. 성질
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[보조정리 1] [math(\overline T)]는 연결 공간이다.
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[보조정리 2] [math(\overline T)]는 경로 연결 공간이 아니다.
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5. 의의
이 집합의 존재로 인해, 연결 공간과 경로 연결 공간은 같은 개념이 아님을 알 수 있다.추가로 모든 경로 연결 공간이 국소 경로 연결(locally path connected)[2]이지는 않다는 것을 보일 때에도 이 곡선이 사용된다. 다만 약간 변형된 버전이 사용된다. 위 곡선에서 오른쪽의 사인곡선을 적당한 중간에서 자른 다음, 자른 지점으로부터 빙 돌아 반대쪽 수직 선분 위의 아무 점을 잇는 곡선을 하나 그리자. 이 추가로 빙 돈 경로 덕분에 이제 전체 곡선은 경로 연결 공간이 되었지만, 국소 경로 연결은 아니다.[3]
[1]
이는 단위 구간 [math(I = [0, 1])]이
연결 공간이므로 성립한다.
[2]
임의의 점 [math(p)]와 [math(p)]의 임의의 열린 근방(open neighborhood)에 대하여 그 근방에 포함되는 경로 연결인 [math(p)]의 열린 근방이 존재하면, 그리고 그럴 때에만 해당 공간을 국소 경로 연결이라고 부른다. 동치인 조건으로는 그 공간의 모든 경로 연결 성분이 열린 집합인 것이다.
[3]
사인곡선의 적당한 부분을 지워서 (심지어 점 하나만 지워서) 얻은 열린 집합은 원래 위상수학자의 사인곡선과 별반 다를 게 없는, 따라서 경로 연결이 아닌 열린 집합이게 된다.